Theorem rngacl 13704

Description: Closure of the addition operation of a non-unital ring. (Contributed by AV, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngacl.b	|- B = ( Base ` R )
rngacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rngacl	|- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem rngacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnggrp 13700	. 2 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )
2		rngacl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		rngacl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
4	2, 3	grpcl 13340	. 2 |- ( ( R e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1283	1 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   Grpcgrp 13332  Rngcrng 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-abl 13623  df-rng 13695

This theorem is referenced by:  imasrng  13718  qusrng  13720  opprrng  13839