Theorem rngmgp 13435

Description: A non-unital ring is a semigroup under multiplication. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngmgp.g	|- G = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
rngmgp	|- ( R e. Rng -> G e. Smgrp )

Proof of Theorem rngmgp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		rngmgp.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
3		eqid 2193	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2193	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isrng 13433	. 2 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp2bi 1015	1 |- ( R e. Rng -> G e. Smgrp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   .rcmulr 12699  Smgrpcsgrp 12987   Abelcabl 13358  mulGrpcmgp 13419  Rngcrng 13431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-rng 13432

This theorem is referenced by:  rngmgpf  13436  rngass  13438  rngcl  13443  rnglidlmsgrp  13996