Theorem rngmgp 13492

Description: A non-unital ring is a semigroup under multiplication. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngmgp.g	|- G = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
rngmgp	|- ( R e. Rng -> G e. Smgrp )

Proof of Theorem rngmgp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		rngmgp.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
3		eqid 2196	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2196	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isrng 13490	. 2 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp2bi 1015	1 |- ( R e. Rng -> G e. Smgrp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756  Smgrpcsgrp 13044   Abelcabl 13415  mulGrpcmgp 13476  Rngcrng 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-rng 13489

This theorem is referenced by:  rngmgpf  13493  rngass  13495  rngcl  13500  rnglidlmsgrp  14053