Theorem isrng 13490

Description: The predicate "is a non-unital ring." (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrng.b	|- B = ( Base ` R )
isrng.g	|- G = (mulGrp ` R )
isrng.p	|- .+ = ( +g ` R )
isrng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
isrng	|- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y, z   x, R, y, z   x, .x. , y, z   x, .+ , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)

Proof of Theorem isrng

Dummy variables b r t p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5558	. . . . . 6 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` R ) )
2		isrng.g	. . . . . 6 |- G = (mulGrp ` R )
3	1, 2	eqtr4di 2247	. . . . 5 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = G )
4	3	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( r = R -> ( (mulGrp ` r ) e. Smgrp <-> G e. Smgrp ) )
5		basfn 12736	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
6		vex 2766	. . . . . . 7 |- r e. _V
7		funfvex 5575	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
8	7	funfni 5358	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
9	5, 6, 8	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( Base ` r ) e. _V
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) e. _V )
11		fveq2 5558	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
12		isrng.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
13	11, 12	eqtr4di 2247	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
14		plusgslid 12790	. . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
15	14	slotex 12705	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( +g ` r ) e. _V )
16	15	elv 2767	. . . . . . 7 |- ( +g ` r ) e. _V
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) e. _V )
18		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
20		isrng.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` R )
21	19, 20	eqtr4di 2247	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) = .+ )
22		mulrslid 12809	. . . . . . . . . 10 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
23	22	slotex 12705	. . . . . . . . 9 |- ( r e. _V -> ( .r ` r ) e. _V )
24	23	elv 2767	. . . . . . . 8 |- ( .r ` r ) e. _V
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) e. _V )
26		fveq2 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
29		isrng.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
30	28, 29	eqtr4di 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) = .x. )
31		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> b = B )
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> t = .x. )
33		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> x = x )
34		oveq 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = .+ -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
35	34	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
36	32, 33, 35	oveq123d 5943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t ( y p z ) ) = ( x .x. ( y .+ z ) ) )
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> p = .+ )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> p = .+ )
39		oveq 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .x. -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
41		oveq 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .x. -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
43	38, 40, 42	oveq123d 5943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t y ) p ( x t z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
44	36, 43	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) <-> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
45		oveq 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = .+ -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
46	45	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
47		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> z = z )
48	32, 46, 47	oveq123d 5943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x p y ) t z ) = ( ( x .+ y ) .x. z ) )
49		oveq 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .x. -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
51	38, 42, 50	oveq123d 5943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t z ) p ( y t z ) ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
52	48, 51	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) <-> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
53	44, 52	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
54	31, 53	raleqbidv 2709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
55	31, 54	raleqbidv 2709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
56	31, 55	raleqbidv 2709	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
57	25, 30, 56	sbcied2 3027	. . . . . 6 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
58	17, 21, 57	sbcied2 3027	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
59	10, 13, 58	sbcied2 3027	. . . 4 |- ( r = R -> ( [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
60	4, 59	anbi12d 473	. . 3 |- ( r = R -> ( ( (mulGrp ` r ) e. Smgrp /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) <-> ( G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
61		df-rng 13489	. . 3 |- Rng = { r e. Abel | ( (mulGrp ` r ) e. Smgrp /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) }
62	60, 61	elrab2 2923	. 2 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ ( G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
63		3anass 984	. 2 |- ( ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) <-> ( R e. Abel /\ ( G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
64	62, 63	bitr4i 187	1 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   [.wsbc 2989   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756  Smgrpcsgrp 13044   Abelcabl 13415  mulGrpcmgp 13476  Rngcrng 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-rng 13489

This theorem is referenced by:  rngabl  13491  rngmgp  13492  rngdi  13496  rngdir  13497  isrngd  13509  rngpropd  13511  ringrng  13592  rnglidlrng  14054