Theorem isrng 13771

Description: The predicate "is a non-unital ring." (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrng.b	|- B = ( Base ` R )
isrng.g	|- G = (mulGrp ` R )
isrng.p	|- .+ = ( +g ` R )
isrng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
isrng	|- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y, z   x, R, y, z   x, .x. , y, z   x, .+ , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)

Proof of Theorem isrng

Dummy variables b r t p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5589	. . . . . 6 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` R ) )
2		isrng.g	. . . . . 6 |- G = (mulGrp ` R )
3	1, 2	eqtr4di 2257	. . . . 5 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = G )
4	3	eleq1d 2275	. . . 4 |- ( r = R -> ( (mulGrp ` r ) e. Smgrp <-> G e. Smgrp ) )
5		basfn 12965	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
6		vex 2776	. . . . . . 7 |- r e. _V
7		funfvex 5606	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
8	7	funfni 5385	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
9	5, 6, 8	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( Base ` r ) e. _V
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) e. _V )
11		fveq2 5589	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
12		isrng.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
13	11, 12	eqtr4di 2257	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
14		plusgslid 13019	. . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
15	14	slotex 12934	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( +g ` r ) e. _V )
16	15	elv 2777	. . . . . . 7 |- ( +g ` r ) e. _V
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) e. _V )
18		fveq2 5589	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
20		isrng.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` R )
21	19, 20	eqtr4di 2257	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) = .+ )
22		mulrslid 13039	. . . . . . . . . 10 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
23	22	slotex 12934	. . . . . . . . 9 |- ( r e. _V -> ( .r ` r ) e. _V )
24	23	elv 2777	. . . . . . . 8 |- ( .r ` r ) e. _V
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) e. _V )
26		fveq2 5589	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
29		isrng.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
30	28, 29	eqtr4di 2257	. . . . . . 7 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) = .x. )
31		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> b = B )
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> t = .x. )
33		eqidd 2207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> x = x )
34		oveq 5963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = .+ -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
35	34	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
36	32, 33, 35	oveq123d 5978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t ( y p z ) ) = ( x .x. ( y .+ z ) ) )
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> p = .+ )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> p = .+ )
39		oveq 5963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .x. -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
41		oveq 5963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .x. -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
43	38, 40, 42	oveq123d 5978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t y ) p ( x t z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
44	36, 43	eqeq12d 2221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) <-> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
45		oveq 5963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = .+ -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
46	45	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
47		eqidd 2207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> z = z )
48	32, 46, 47	oveq123d 5978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x p y ) t z ) = ( ( x .+ y ) .x. z ) )
49		oveq 5963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .x. -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
51	38, 42, 50	oveq123d 5978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t z ) p ( y t z ) ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
52	48, 51	eqeq12d 2221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) <-> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
53	44, 52	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
54	31, 53	raleqbidv 2719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
55	31, 54	raleqbidv 2719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
56	31, 55	raleqbidv 2719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
57	25, 30, 56	sbcied2 3040	. . . . . 6 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
58	17, 21, 57	sbcied2 3040	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
59	10, 13, 58	sbcied2 3040	. . . 4 |- ( r = R -> ( [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
60	4, 59	anbi12d 473	. . 3 |- ( r = R -> ( ( (mulGrp ` r ) e. Smgrp /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) <-> ( G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
61		df-rng 13770	. . 3 |- Rng = { r e. Abel | ( (mulGrp ` r ) e. Smgrp /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) }
62	60, 61	elrab2 2936	. 2 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ ( G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
63		3anass 985	. 2 |- ( ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) <-> ( R e. Abel /\ ( G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
64	62, 63	bitr4i 187	1 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   _Vcvv 2773   [.wsbc 3002   Fn wfn 5275   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Basecbs 12907   +g cplusg 12984   .rcmulr 12985  Smgrpcsgrp 13308   Abelcabl 13696  mulGrpcmgp 13757  Rngcrng 13769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-rng 13770

This theorem is referenced by:  rngabl  13772  rngmgp  13773  rngdi  13777  rngdir  13778  isrngd  13790  rngpropd  13792  ringrng  13873  rnglidlrng  14335