Theorem isrng 14011

Description: The predicate "is a non-unital ring." (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrng.b	|- B = ( Base ` R )
isrng.g	|- G = (mulGrp ` R )
isrng.p	|- .+ = ( +g ` R )
isrng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
isrng	|- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y, z   x, R, y, z   x, .x. , y, z   x, .+ , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)

Proof of Theorem isrng

Dummy variables b r t p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5648	. . . . . 6 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` R ) )
2		isrng.g	. . . . . 6 |- G = (mulGrp ` R )
3	1, 2	eqtr4di 2282	. . . . 5 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = G )
4	3	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( r = R -> ( (mulGrp ` r ) e. Smgrp <-> G e. Smgrp ) )
5		basfn 13204	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
6		vex 2806	. . . . . . 7 |- r e. _V
7		funfvex 5665	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
8	7	funfni 5439	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
9	5, 6, 8	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( Base ` r ) e. _V
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) e. _V )
11		fveq2 5648	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
12		isrng.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
13	11, 12	eqtr4di 2282	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
14		plusgslid 13258	. . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
15	14	slotex 13172	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( +g ` r ) e. _V )
16	15	elv 2807	. . . . . . 7 |- ( +g ` r ) e. _V
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) e. _V )
18		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
20		isrng.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` R )
21	19, 20	eqtr4di 2282	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) = .+ )
22		mulrslid 13278	. . . . . . . . . 10 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
23	22	slotex 13172	. . . . . . . . 9 |- ( r e. _V -> ( .r ` r ) e. _V )
24	23	elv 2807	. . . . . . . 8 |- ( .r ` r ) e. _V
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) e. _V )
26		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
29		isrng.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
30	28, 29	eqtr4di 2282	. . . . . . 7 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) = .x. )
31		simpllr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> b = B )
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> t = .x. )
33		eqidd 2232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> x = x )
34		oveq 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = .+ -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
35	34	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
36	32, 33, 35	oveq123d 6049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t ( y p z ) ) = ( x .x. ( y .+ z ) ) )
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> p = .+ )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> p = .+ )
39		oveq 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .x. -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
41		oveq 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .x. -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
43	38, 40, 42	oveq123d 6049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t y ) p ( x t z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
44	36, 43	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) <-> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
45		oveq 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = .+ -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
46	45	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
47		eqidd 2232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> z = z )
48	32, 46, 47	oveq123d 6049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x p y ) t z ) = ( ( x .+ y ) .x. z ) )
49		oveq 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .x. -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
51	38, 42, 50	oveq123d 6049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t z ) p ( y t z ) ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
52	48, 51	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) <-> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
53	44, 52	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
54	31, 53	raleqbidv 2747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
55	31, 54	raleqbidv 2747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
56	31, 55	raleqbidv 2747	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
57	25, 30, 56	sbcied2 3070	. . . . . 6 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
58	17, 21, 57	sbcied2 3070	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
59	10, 13, 58	sbcied2 3070	. . . 4 |- ( r = R -> ( [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
60	4, 59	anbi12d 473	. . 3 |- ( r = R -> ( ( (mulGrp ` r ) e. Smgrp /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) <-> ( G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
61		df-rng 14010	. . 3 |- Rng = { r e. Abel | ( (mulGrp ` r ) e. Smgrp /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) }
62	60, 61	elrab2 2966	. 2 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ ( G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
63		3anass 1009	. 2 |- ( ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) <-> ( R e. Abel /\ ( G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
64	62, 63	bitr4i 187	1 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ G e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   [.wsbc 3032   Fn wfn 5328   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   .rcmulr 13224  Smgrpcsgrp 13547   Abelcabl 13935  mulGrpcmgp 13997  Rngcrng 14009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-rng 14010

This theorem is referenced by:  rngabl  14012  rngmgp  14013  rngdi  14017  rngdir  14018  isrngd  14030  rngpropd  14032  ringrng  14113  rnglidlrng  14577