Theorem rngabl 13914

Description: A non-unital ring is an (additive) abelian group. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rngabl	|- ( R e. Rng -> R e. Abel )

Proof of Theorem rngabl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2229	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2229	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isrng 13913	. 2 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ (mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1036	1 |- ( R e. Rng -> R e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13048   +g cplusg 13126   .rcmulr 13127  Smgrpcsgrp 13450   Abelcabl 13838  mulGrpcmgp 13899  Rngcrng 13911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-plusg 13139  df-mulr 13140  df-rng 13912

This theorem is referenced by:  rnggrp  13917  rnglz  13924  rngansg  13929  rngressid  13933  imasrng  13935  opprrng  14056  subrngringnsg  14185  issubrng2  14190  rnglidlrng  14478  2idlcpblrng  14503  qus2idrng  14505