Theorem rngabl 14212

Description: A non-unital ring is an (additive) abelian group. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rngabl	|- ( R e. Rng -> R e. Abel )

Proof of Theorem rngabl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2238	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2238	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isrng 14211	. 2 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ (mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1043	1 |- ( R e. Rng -> R e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   Basecbs 13333   +g cplusg 13411   .rcmulr 13412  Smgrpcsgrp 13696   Abelcabl 14068  mulGrpcmgp 14197  Rngcrng 14209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1re 8266  ax-addrcl 8269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6081  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-rng 14210

This theorem is referenced by:  rnggrp  14215  rnglz  14222  rngansg  14227  rngressid  14231  imasrng  14233  opprrng  14358  subrngringnsg  14489  issubrng2  14494  rnglidlrng  14810  2idlcpblrng  14835  qus2idrng  14837