Theorem rspcedvd 2935

Description: Restricted existential specialization, using implicit substitution. Variant of rspcedv 2933. (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcedvd.1	|- ( ph -> A e. B )
rspcedvd.2	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
rspcedvd.3	|- ( ph -> ch )

Assertion

Ref	Expression
rspcedvd	|- ( ph -> E. x e. B ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x   ch, x

Allowed substitution hint:   ps( x)

Proof of Theorem rspcedvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcedvd.3	. 2 |- ( ph -> ch )
2		rspcedvd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. B )
3		rspcedvd.2	. . 3 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
4	2, 3	rspcedv 2933	. 2 |- ( ph -> ( ch -> E. x e. B ps ) )
5	1, 4	mpd 13	1 |- ( ph -> E. x e. B ps )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823

This theorem is used by:  rspcime  2937  rspcedeq1vd  2939  rspcedeq2vd  2940  updjud  7428  elpq  10065  modqmuladd  10823  modqmuladdnn0  10825  modfzo0difsn  10852  wrdl1exs1  11418  negfi  12016  divconjdvds  12640  2tp1odd  12675  dfgcd2  12815  qredeu  12899  dvdsprmpweq  13142  oddprmdvds  13161  isnsgrp  13779  dfgrp2  13890  grplrinv  13920  grpidinv  13922  dfgrp3m  13962  ringid  14437  xmettx  15753  gausslemma2dlem1a  16399  2lgslem1b  16430  usgredg4  16678  wlkvtxiedg  16808  wlkvtxiedgg  16809  umgr2cwwkdifex  16888  bj-charfunbi  17059