Theorem 2tp1odd 11581

Description: A number which is twice an integer increased by 1 is odd. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tp1odd	|- ( ( A e. ZZ /\ B = ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) -> -. 2 || B )

Proof of Theorem 2tp1odd

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
2		oveq2 5782	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. A ) )
3	2	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. A ) + 1 ) )
4	3	eqeq1d 2148	. . . . . 6 |- ( k = A -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. A ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. A ) + 1 ) = ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) )
5	4	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ k = A ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. A ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. A ) + 1 ) = ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) )
6		eqidd 2140	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( ( 2 x. A ) + 1 ) = ( ( 2 x. A ) + 1 ) )
7	1, 5, 6	rspcedvd 2795	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. A ) + 1 ) )
8		2z 9082	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> 2 e. ZZ )
10	9, 1	zmulcld 9179	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
11	10	peano2zd 9176	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( ( 2 x. A ) + 1 ) e. ZZ )
12		odd2np1 11570	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. A ) + 1 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( ( 2 x. A ) + 1 ) <-> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( -. 2 || ( ( 2 x. A ) + 1 ) <-> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) )
14	7, 13	mpbird 166	. . 3 |- ( A e. ZZ -> -. 2 || ( ( 2 x. A ) + 1 ) )
15	14	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B = ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) -> -. 2 || ( ( 2 x. A ) + 1 ) )
16		breq2 3933	. . 3 |- ( B = ( ( 2 x. A ) + 1 ) -> ( 2 || B <-> 2 || ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) )
17	16	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B = ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) -> ( 2 || B <-> 2 || ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) )
18	15, 17	mtbird 662	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B = ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) -> -. 2 || B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   2c2 8771   ZZcz 9054   || cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-dvds 11494

This theorem is referenced by: (None)