ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tp1odd Unicode version

Theorem 2tp1odd 11570
Description: A number which is twice an integer increased by 1 is odd. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tp1odd  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  =  ( (
2  x.  A )  +  1 ) )  ->  -.  2  ||  B )

Proof of Theorem 2tp1odd
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ZZ )
2 oveq2 5775 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  A ) )
32oveq1d 5782 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  A )  +  1 ) )
43eqeq1d 2146 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  A )  +  1 )  <->  ( (
2  x.  A )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  A )  +  1 ) ) )
54adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  k  =  A )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  A
)  +  1 )  <-> 
( ( 2  x.  A )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  A )  +  1 ) ) )
6 eqidd 2138 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  A
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  A )  +  1 ) )
71, 5, 6rspcedvd 2790 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  A
)  +  1 ) )
8 2z 9075 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
98a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
109, 1zmulcld 9172 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
2  x.  A )  e.  ZZ )
1110peano2zd 9169 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
12 odd2np1 11559 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( ( 2  x.  A )  +  1 )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  A
)  +  1 ) ) )
1311, 12syl 14 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( ( 2  x.  A )  +  1 )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  A
)  +  1 ) ) )
147, 13mpbird 166 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -.  2  ||  ( ( 2  x.  A )  +  1 ) )
1514adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  =  ( (
2  x.  A )  +  1 ) )  ->  -.  2  ||  ( ( 2  x.  A )  +  1 ) )
16 breq2 3928 . . 3  |-  ( B  =  ( ( 2  x.  A )  +  1 )  ->  (
2  ||  B  <->  2  ||  ( ( 2  x.  A )  +  1 ) ) )
1716adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  =  ( (
2  x.  A )  +  1 ) )  ->  ( 2  ||  B 
<->  2  ||  ( ( 2  x.  A )  +  1 ) ) )
1815, 17mtbird 662 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  =  ( (
2  x.  A )  +  1 ) )  ->  -.  2  ||  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2415   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   1c1 7614    + caddc 7616    x. cmul 7618   2c2 8764   ZZcz 9047    || cdvds 11482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-dvds 11483
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator