Theorem ringid 14170

Description: The multiplication operation of a unital ring has (one or more) identity elements. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringid.b	|- B = ( Base ` R )
ringid.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringid	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> E. u e. B ( ( u .x. X ) = X /\ ( X .x. u ) = X ) )

Distinct variable groups:   u, B   u, R   u, X   u, .x.

Proof of Theorem ringid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringid.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2232	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3	1, 2	ringidcl 14164	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( 1r ` R ) e. B )
5		oveq1 6057	. . . . 5 |- ( u = ( 1r ` R ) -> ( u .x. X ) = ( ( 1r ` R ) .x. X ) )
6	5	eqeq1d 2241	. . . 4 |- ( u = ( 1r ` R ) -> ( ( u .x. X ) = X <-> ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X ) )
7		oveq2 6058	. . . . 5 |- ( u = ( 1r ` R ) -> ( X .x. u ) = ( X .x. ( 1r ` R ) ) )
8	7	eqeq1d 2241	. . . 4 |- ( u = ( 1r ` R ) -> ( ( X .x. u ) = X <-> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X ) )
9	6, 8	anbi12d 473	. . 3 |- ( u = ( 1r ` R ) -> ( ( ( u .x. X ) = X /\ ( X .x. u ) = X ) <-> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X /\ ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X ) ) )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ u = ( 1r ` R ) ) -> ( ( ( u .x. X ) = X /\ ( X .x. u ) = X ) <-> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X /\ ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X ) ) )
11		ringid.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
12	1, 11, 2	ringidmlem 14166	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X /\ ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X ) )
13	4, 10, 12	rspcedvd 2927	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> E. u e. B ( ( u .x. X ) = X /\ ( X .x. u ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   .rcmulr 13291   1rcur 14103   Ringcrg 14140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142

This theorem is referenced by:  ringadd2  14171