Theorem ringid 13162

Description: The multiplication operation of a unital ring has (one or more) identity elements. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringid.b	|- B = ( Base ` R )
ringid.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringid	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> E. u e. B ( ( u .x. X ) = X /\ ( X .x. u ) = X ) )

Distinct variable groups:   u, B   u, R   u, X   u, .x.

Proof of Theorem ringid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringid.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2177	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3	1, 2	ringidcl 13156	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( 1r ` R ) e. B )
5		oveq1 5881	. . . . 5 |- ( u = ( 1r ` R ) -> ( u .x. X ) = ( ( 1r ` R ) .x. X ) )
6	5	eqeq1d 2186	. . . 4 |- ( u = ( 1r ` R ) -> ( ( u .x. X ) = X <-> ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X ) )
7		oveq2 5882	. . . . 5 |- ( u = ( 1r ` R ) -> ( X .x. u ) = ( X .x. ( 1r ` R ) ) )
8	7	eqeq1d 2186	. . . 4 |- ( u = ( 1r ` R ) -> ( ( X .x. u ) = X <-> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X ) )
9	6, 8	anbi12d 473	. . 3 |- ( u = ( 1r ` R ) -> ( ( ( u .x. X ) = X /\ ( X .x. u ) = X ) <-> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X /\ ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X ) ) )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ u = ( 1r ` R ) ) -> ( ( ( u .x. X ) = X /\ ( X .x. u ) = X ) <-> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X /\ ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X ) ) )
11		ringid.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
12	1, 11, 2	ringidmlem 13158	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X /\ ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X ) )
13	4, 10, 12	rspcedvd 2847	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> E. u e. B ( ( u .x. X ) = X /\ ( X .x. u ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   .rcmulr 12531   1rcur 13095   Ringcrg 13132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-mgp 13084  df-ur 13096  df-ring 13134

This theorem is referenced by:  ringadd2  13163