ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringid Unicode version

Theorem ringid 13162
Description: The multiplication operation of a unital ring has (one or more) identity elements. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringid.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
ringid.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
ringid  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  E. u  e.  B  ( (
u  .x.  X )  =  X  /\  ( X  .x.  u )  =  X ) )
Distinct variable groups:    u, B    u, R    u, X    u,  .x.

Proof of Theorem ringid
StepHypRef Expression
1 ringid.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2177 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2ringidcl 13156 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
43adantr 276 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
5 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( u  =  ( 1r `  R )  ->  (
u  .x.  X )  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  X ) )
65eqeq1d 2186 . . . 4  |-  ( u  =  ( 1r `  R )  ->  (
( u  .x.  X
)  =  X  <->  ( ( 1r `  R )  .x.  X )  =  X ) )
7 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( u  =  ( 1r `  R )  ->  ( X  .x.  u )  =  ( X  .x.  ( 1r `  R ) ) )
87eqeq1d 2186 . . . 4  |-  ( u  =  ( 1r `  R )  ->  (
( X  .x.  u
)  =  X  <->  ( X  .x.  ( 1r `  R
) )  =  X ) )
96, 8anbi12d 473 . . 3  |-  ( u  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( u  .x.  X )  =  X  /\  ( X  .x.  u )  =  X )  <->  ( ( ( 1r `  R ) 
.x.  X )  =  X  /\  ( X 
.x.  ( 1r `  R ) )  =  X ) ) )
109adantl 277 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  /\  u  =  ( 1r `  R ) )  ->  ( (
( u  .x.  X
)  =  X  /\  ( X  .x.  u )  =  X )  <->  ( (
( 1r `  R
)  .x.  X )  =  X  /\  ( X  .x.  ( 1r `  R ) )  =  X ) ) )
11 ringid.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
121, 11, 2ringidmlem 13158 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .x.  X
)  =  X  /\  ( X  .x.  ( 1r
`  R ) )  =  X ) )
134, 10, 12rspcedvd 2847 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  E. u  e.  B  ( (
u  .x.  X )  =  X  /\  ( X  .x.  u )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   .rcmulr 12531   1rcur 13095   Ringcrg 13132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-mgp 13084  df-ur 13096  df-ring 13134
This theorem is referenced by:  ringadd2  13163
  Copyright terms: Public domain W3C validator