Theorem dvdsprmpweq 12277

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprmpweq	|- ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A || ( P ^ N ) -> E. n e. NN0 A = ( P ^ n ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N   P, n

Proof of Theorem dvdsprmpweq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 992	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) -> P e. Prime )
2		simp2 993	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) -> A e. NN )
3	1, 2	pccld 12243	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( P pCnt A ) e. NN0 )
4	3	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) /\ A || ( P ^ N ) ) -> ( P pCnt A ) e. NN0 )
5		oveq2 5859	. . . . 5 |- ( n = ( P pCnt A ) -> ( P ^ n ) = ( P ^ ( P pCnt A ) ) )
6	5	eqeq2d 2182	. . . 4 |- ( n = ( P pCnt A ) -> ( A = ( P ^ n ) <-> A = ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
7	6	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) /\ A || ( P ^ N ) ) /\ n = ( P pCnt A ) ) -> ( A = ( P ^ n ) <-> A = ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
8		simpl3 997	. . . . 5 |- ( ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) /\ A || ( P ^ N ) ) -> N e. NN0 )
9		oveq2 5859	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( P ^ n ) = ( P ^ N ) )
10	9	breq2d 3999	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( A || ( P ^ n ) <-> A || ( P ^ N ) ) )
11	10	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) /\ A || ( P ^ N ) ) /\ n = N ) -> ( A || ( P ^ n ) <-> A || ( P ^ N ) ) )
12		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) /\ A || ( P ^ N ) ) -> A || ( P ^ N ) )
13	8, 11, 12	rspcedvd 2840	. . . 4 |- ( ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) /\ A || ( P ^ N ) ) -> E. n e. NN0 A || ( P ^ n ) )
14		pcprmpw2 12275	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN ) -> ( E. n e. NN0 A || ( P ^ n ) <-> A = ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
15	14	3adant3 1012	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( E. n e. NN0 A || ( P ^ n ) <-> A = ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
16	15	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) /\ A || ( P ^ N ) ) -> ( E. n e. NN0 A || ( P ^ n ) <-> A = ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
17	13, 16	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) /\ A || ( P ^ N ) ) -> A = ( P ^ ( P pCnt A ) ) )
18	4, 7, 17	rspcedvd 2840	. 2 |- ( ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) /\ A || ( P ^ N ) ) -> E. n e. NN0 A = ( P ^ n ) )
19	18	ex 114	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A || ( P ^ N ) -> E. n e. NN0 A = ( P ^ n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   NNcn 8867   NN0cn0 9124   ^cexp 10464   || cdvds 11738   Primecprime 12050   pCnt cpc 12227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-2o 6394  df-er 6510  df-en 6716  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-xnn0 9188  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-fl 10215  df-mod 10268  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-dvds 11739  df-gcd 11887  df-prm 12051  df-pc 12228

This theorem is referenced by:  dvdsprmpweqnn  12278  dvdsprmpweqle  12279