Theorem dfgrp3m 13231

Description: Alternate definition of a group as semigroup (with at least one element) which is also a quasigroup, i.e. a magma in which solutions x and y of the equations ( a .+ x ) = b and ( x .+ a ) = b exist. Theorem 3.2 of [Bruck] p. 28. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp3.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3m	|- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )

Distinct variable groups:   B, l, r, w, x, y   G, l, r, w, x, y   .+ , l, r, w, x, y

Proof of Theorem dfgrp3m

Dummy variables a i u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsgrp 13157	. . 3 |- ( G e. Grp -> G e. Smgrp )
2		dfgrp3.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2196	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	2, 3	grpidcl 13161	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
5		elex2 2779	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. B -> E. w w e. B )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( G e. Grp -> E. w w e. B )
7		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Grp )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> y e. B )
9	8	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
10		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> x e. B )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
12		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
13	2, 12	grpsubcl 13212	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( y ( -g ` G ) x ) e. B )
14	7, 9, 11, 13	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y ( -g ` G ) x ) e. B )
15		oveq1 5929	. . . . . . . 8 |- ( l = ( y ( -g ` G ) x ) -> ( l .+ x ) = ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) )
16	15	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( l = ( y ( -g ` G ) x ) -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y ) )
17	16	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ l = ( y ( -g ` G ) x ) ) -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y ) )
18		dfgrp3.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
19	2, 18, 12	grpnpcan 13224	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y )
20	7, 9, 11, 19	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y )
21	14, 17, 20	rspcedvd 2874	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. l e. B ( l .+ x ) = y )
22		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
23	2, 22	grpinvcl 13180	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. B )
24	23	adantrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. B )
25	2, 18, 7, 24, 9	grpcld 13146	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) e. B )
26		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) -> ( x .+ r ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
27	26	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y ) )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y ) )
29	2, 18, 3, 22	grprinv 13183	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( 0g ` G ) )
30	29	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( 0g ` G ) )
31	30	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ y ) )
32	2, 18	grpass 13141	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
33	7, 11, 24, 9, 32	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
34		grpmnd 13139	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
35	2, 18, 3	mndlid 13076	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
36	34, 8, 35	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
37	31, 33, 36	3eqtr3d 2237	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y )
38	25, 28, 37	rspcedvd 2874	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. r e. B ( x .+ r ) = y )
39	21, 38	jca 306	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
40	39	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( G e. Grp -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
41	1, 6, 40	3jca 1179	. 2 |- ( G e. Grp -> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
42		simp1 999	. . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp )
43	2, 18	dfgrp3mlem 13230	. . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )
44	2, 18	dfgrp2 13159	. . 3 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) ) )
45	42, 43, 44	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Grp )
46	41, 45	impbii 126	1 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927  Smgrpcsgrp 13044   Mndcmnd 13057   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133   -gcsg 13134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137

This theorem is referenced by:  dfgrp3me  13232