Theorem dfgrp3m 13431

Description: Alternate definition of a group as semigroup (with at least one element) which is also a quasigroup, i.e. a magma in which solutions x and y of the equations ( a .+ x ) = b and ( x .+ a ) = b exist. Theorem 3.2 of [Bruck] p. 28. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp3.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3m	|- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )

Distinct variable groups:   B, l, r, w, x, y   G, l, r, w, x, y   .+ , l, r, w, x, y

Proof of Theorem dfgrp3m

Dummy variables a i u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsgrp 13357	. . 3 |- ( G e. Grp -> G e. Smgrp )
2		dfgrp3.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2205	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	2, 3	grpidcl 13361	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
5		elex2 2788	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. B -> E. w w e. B )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( G e. Grp -> E. w w e. B )
7		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Grp )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> y e. B )
9	8	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
10		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> x e. B )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
12		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
13	2, 12	grpsubcl 13412	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( y ( -g ` G ) x ) e. B )
14	7, 9, 11, 13	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y ( -g ` G ) x ) e. B )
15		oveq1 5951	. . . . . . . 8 |- ( l = ( y ( -g ` G ) x ) -> ( l .+ x ) = ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) )
16	15	eqeq1d 2214	. . . . . . 7 |- ( l = ( y ( -g ` G ) x ) -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y ) )
17	16	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ l = ( y ( -g ` G ) x ) ) -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y ) )
18		dfgrp3.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
19	2, 18, 12	grpnpcan 13424	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y )
20	7, 9, 11, 19	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y )
21	14, 17, 20	rspcedvd 2883	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. l e. B ( l .+ x ) = y )
22		eqid 2205	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
23	2, 22	grpinvcl 13380	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. B )
24	23	adantrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. B )
25	2, 18, 7, 24, 9	grpcld 13346	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) e. B )
26		oveq2 5952	. . . . . . . 8 |- ( r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) -> ( x .+ r ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
27	26	eqeq1d 2214	. . . . . . 7 |- ( r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y ) )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y ) )
29	2, 18, 3, 22	grprinv 13383	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( 0g ` G ) )
30	29	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( 0g ` G ) )
31	30	oveq1d 5959	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ y ) )
32	2, 18	grpass 13341	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
33	7, 11, 24, 9, 32	syl13anc 1252	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
34		grpmnd 13339	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
35	2, 18, 3	mndlid 13267	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
36	34, 8, 35	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
37	31, 33, 36	3eqtr3d 2246	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y )
38	25, 28, 37	rspcedvd 2883	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. r e. B ( x .+ r ) = y )
39	21, 38	jca 306	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
40	39	ralrimivva 2588	. . 3 |- ( G e. Grp -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
41	1, 6, 40	3jca 1180	. 2 |- ( G e. Grp -> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
42		simp1 1000	. . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp )
43	2, 18	dfgrp3mlem 13430	. . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )
44	2, 18	dfgrp2 13359	. . 3 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) ) )
45	42, 43, 44	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Grp )
46	41, 45	impbii 126	1 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   0gc0g 13088  Smgrpcsgrp 13233   Mndcmnd 13248   Grpcgrp 13332   invgcminusg 13333   -gcsg 13334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337

This theorem is referenced by:  dfgrp3me  13432