Theorem dfgrp3m 13683

Description: Alternate definition of a group as semigroup (with at least one element) which is also a quasigroup, i.e. a magma in which solutions x and y of the equations ( a .+ x ) = b and ( x .+ a ) = b exist. Theorem 3.2 of [Bruck] p. 28. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp3.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3m	|- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )

Distinct variable groups:   B, l, r, w, x, y   G, l, r, w, x, y   .+ , l, r, w, x, y

Proof of Theorem dfgrp3m

Dummy variables a i u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsgrp 13609	. . 3 |- ( G e. Grp -> G e. Smgrp )
2		dfgrp3.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	2, 3	grpidcl 13613	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
5		elex2 2819	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. B -> E. w w e. B )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( G e. Grp -> E. w w e. B )
7		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Grp )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> y e. B )
9	8	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
10		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> x e. B )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
12		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
13	2, 12	grpsubcl 13664	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( y ( -g ` G ) x ) e. B )
14	7, 9, 11, 13	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y ( -g ` G ) x ) e. B )
15		oveq1 6025	. . . . . . . 8 |- ( l = ( y ( -g ` G ) x ) -> ( l .+ x ) = ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) )
16	15	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( l = ( y ( -g ` G ) x ) -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y ) )
17	16	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ l = ( y ( -g ` G ) x ) ) -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y ) )
18		dfgrp3.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
19	2, 18, 12	grpnpcan 13676	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y )
20	7, 9, 11, 19	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y )
21	14, 17, 20	rspcedvd 2916	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. l e. B ( l .+ x ) = y )
22		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
23	2, 22	grpinvcl 13632	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. B )
24	23	adantrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. B )
25	2, 18, 7, 24, 9	grpcld 13598	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) e. B )
26		oveq2 6026	. . . . . . . 8 |- ( r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) -> ( x .+ r ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
27	26	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y ) )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y ) )
29	2, 18, 3, 22	grprinv 13635	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( 0g ` G ) )
30	29	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( 0g ` G ) )
31	30	oveq1d 6033	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ y ) )
32	2, 18	grpass 13593	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
33	7, 11, 24, 9, 32	syl13anc 1275	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
34		grpmnd 13591	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
35	2, 18, 3	mndlid 13519	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
36	34, 8, 35	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
37	31, 33, 36	3eqtr3d 2272	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y )
38	25, 28, 37	rspcedvd 2916	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. r e. B ( x .+ r ) = y )
39	21, 38	jca 306	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
40	39	ralrimivva 2614	. . 3 |- ( G e. Grp -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
41	1, 6, 40	3jca 1203	. 2 |- ( G e. Grp -> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
42		simp1 1023	. . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Smgrp )
43	2, 18	dfgrp3mlem 13682	. . 3 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )
44	2, 18	dfgrp2 13611	. . 3 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) ) )
45	42, 43, 44	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Grp )
46	41, 45	impbii 126	1 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13083   +g cplusg 13161   0gc0g 13340  Smgrpcsgrp 13485   Mndcmnd 13500   Grpcgrp 13584   invgcminusg 13585   -gcsg 13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-plusg 13174  df-0g 13342  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-grp 13587  df-minusg 13588  df-sbg 13589

This theorem is referenced by:  dfgrp3me  13684