Theorem rspcedvd 2935

Description: Restricted existential specialization, using implicit substitution. Variant of rspcedv 2933. (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcedvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
rspcedvd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
rspcedvd.3	⊢ (𝜑 → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
rspcedvd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspcedvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcedvd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
2		rspcedvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		rspcedvd.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	2, 3	rspcedv 2933	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜒 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
5	1, 4	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823

This theorem is used by:  rspcime  2937  rspcedeq1vd  2939  rspcedeq2vd  2940  updjud  7423  elpq  10060  modqmuladd  10817  modqmuladdnn0  10819  modfzo0difsn  10846  wrdl1exs1  11412  negfi  12010  divconjdvds  12634  2tp1odd  12669  dfgcd2  12809  qredeu  12893  dvdsprmpweq  13136  oddprmdvds  13155  isnsgrp  13772  dfgrp2  13883  grplrinv  13913  grpidinv  13915  dfgrp3m  13955  ringid  14382  xmettx  15663  gausslemma2dlem1a  16299  2lgslem1b  16330  usgredg4  16578  wlkvtxiedg  16708  wlkvtxiedgg  16709  umgr2cwwkdifex  16788  bj-charfunbi  16959