Theorem rspcedvd 2884

Description: Restricted existential specialization, using implicit substitution. Variant of rspcedv 2882. (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcedvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
rspcedvd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
rspcedvd.3	⊢ (𝜑 → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
rspcedvd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspcedvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcedvd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
2		rspcedvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		rspcedvd.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	2, 3	rspcedv 2882	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜒 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
5	1, 4	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-v 2775

This theorem is referenced by:  rspcime  2885  rspcedeq1vd  2887  rspcedeq2vd  2888  updjud  7191  elpq  9777  modqmuladd  10518  modqmuladdnn0  10520  modfzo0difsn  10547  wrdl1exs1  11091  negfi  11583  divconjdvds  12204  2tp1odd  12239  dfgcd2  12379  qredeu  12463  pw2dvdslemn  12531  dvdsprmpweq  12702  oddprmdvds  12721  gsumfzval  13267  gsumval2  13273  isnsgrp  13282  dfgrp2  13403  grplrinv  13433  grpidinv  13435  dfgrp3m  13475  ringid  13832  xmettx  15026  gausslemma2dlem1a  15579  2lgslem1b  15610  bj-charfunbi  15821