Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-charfunbi Unicode version
Theorem bj-charfunbi 13846
Description: In an ambient set X, if membership in A is stable, then it is decidable if and only if A has a characteristic function.

This characterization can be applied to singletons when the set X has stable equality, which is the case as soon as it has a tight apartness relation. (Contributed by BJ, 6-Aug-2024.)

Hypotheses
Ref Expression
bj-charfunbi.ex |- ( ph -> X e. V )
bj-charfunbi.st |- ( ph -> A. x e. X STAB x e. A )
Assertion
Ref Expression
bj-charfunbi |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A <-> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, x   f, X, x   ph, f, x
Allowed substitution hints:   V( x, f)
Proof of Theorem bj-charfunbi
Dummy variables g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2231 . . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
21dcbid 833 . . . 4 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
32cbvralvw 2700 . . 3 |- ( A. x e. X DECID x e. A <-> A. z e. X DECID z e. A )
4 eleq1w 2231 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( z e. A <-> x e. A ) )
54ifbid 3547 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> if ( z e. A , 1o , (/) ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
65cbvmptv 4085 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) )
76a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
83biimpri 132 . . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. X DECID z e. A -> A. x e. X DECID x e. A )
98adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> A. x e. X DECID x e. A )
107, 9bj-charfundc 13843 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
1110ex 114 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) ) )
12 2on 6404 . . . . . . . . . . 11 |- 2o e. On
1312a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2o e. On )
14 bj-charfunbi.ex . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. V )
1513, 14elmapd 6640 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) <-> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o ) )
1615biimprd 157 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
1716adantrd 277 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
1811, 17syld 45 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
1918imp 123 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) )
20 fveq1 5495 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) )
2120eqeq1d 2179 . . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o ) )
2221ralbidv 2470 . . . . . . 7 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o ) )
2320eqeq1d 2179 . . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
2423ralbidv 2470 . . . . . . 7 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) <-> A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
2522, 24anbi12d 470 . . . . . 6 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
2625adantl 275 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) /\ f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
2710simprd 113 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
2819, 26, 27rspcedvd 2840 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) )
2928ex 114 . . 3 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
303, 29syl5bi 151 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
31 omex 4577 . . . . . . . . 9 |- om e. _V
32 2ssom 6503 . . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
33 mapss 6669 . . . . . . . . 9 |- ( ( om e. _V /\ 2o C_ om ) -> ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X ) )
3431, 32, 33mp2an 424 . . . . . . . 8 |- ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X )
35 fveq1 5495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
3635eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( g ` x ) = 1o ) )
3736ralbidv 2470 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o ) )
3835eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( g ` x ) = (/) ) )
3938ralbidv 2470 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) <-> A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) )
4037, 39anbi12d 470 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) ) )
4140cbvrexvw 2701 . . . . . . . . 9 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) )
42 fveqeq2 5505 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( g ` y ) = 1o ) )
4342cbvralvw 2700 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o <-> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) = 1o )
44 1n0 6411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o =/= (/)
4544neii 2342 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1o = (/)
46 eqeq1 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` y ) = 1o -> ( ( g ` y ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
4745, 46mtbiri 670 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g ` y ) = 1o -> -. ( g ` y ) = (/) )
4847neqned 2347 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` y ) = 1o -> ( g ` y ) =/= (/) )
4948ralimi 2533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) = 1o -> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) )
5043, 49sylbi 120 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o -> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) )
51 fveqeq2 5505 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( g ` x ) = (/) <-> ( g ` y ) = (/) ) )
5251cbvralvw 2700 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) <-> A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) )
5352biimpi 119 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) -> A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) )
5450, 53anim12i 336 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) -> ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
5554reximi 2567 . . . . . . . . 9 |- ( E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
5641, 55sylbi 120 . . . . . . . 8 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
57 ssrexv 3212 . . . . . . . 8 |- ( ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X ) -> ( E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) ) )
5834, 56, 57mpsyl 65 . . . . . . 7 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
5958adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
6059bj-charfunr 13845 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) -> A. y e. X DECID -. y e. A )
6160ex 114 . . . 4 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. y e. X DECID -. y e. A ) )
62 eleq1w 2231 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
6362notbid 662 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( -. x e. A <-> -. y e. A ) )
6463dcbid 833 . . . . 5 |- ( x = y -> (DECID -. x e. A <-> DECID -. y e. A ) )
6564cbvralvw 2700 . . . 4 |- ( A. x e. X DECID -. x e. A <-> A. y e. X DECID -. y e. A )
6661, 65syl6ibr 161 . . 3 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. x e. X DECID -. x e. A ) )
67 bj-charfunbi.st . . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X STAB x e. A )
6867r19.21bi 2558 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> STAB x e. A )
69 stdcn 842 . . . . 5 |- (STAB x e. A <-> (DECID -. x e. A -> DECID x e. A ) )
7068, 69sylib 121 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> (DECID -. x e. A -> DECID x e. A ) )
7170ralimdva 2537 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID -. x e. A -> A. x e. X DECID x e. A ) )
7266, 71syld 45 . 2 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. x e. X DECID x e. A ) )
7330, 72impbid 128 1 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A <-> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  STAB wstab 825  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   |-> cmpt 4050   Oncon0 4348   omcom 4574   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ^m cmap 6626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator