Theorem bj-charfunbi 16751

Description: In an ambient set X, if membership in A is stable, then it is decidable if and only if A has a characteristic function.

This characterization can be applied to singletons when the set X has stable equality, which is the case as soon as it has a tight apartness relation. (Contributed by BJ, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-charfunbi.ex	|- ( ph -> X e. V )
bj-charfunbi.st	|- ( ph -> A. x e. X STAB x e. A )

Assertion

Ref	Expression
bj-charfunbi	|- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A <-> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, X, x   ph, f, x

Allowed substitution hints:   V( x, f)

Proof of Theorem bj-charfunbi

Dummy variables g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2299	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
2	1	dcbid 850	. . . 4 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
3	2	cbvralvw 2790	. . 3 |- ( A. x e. X DECID x e. A <-> A. z e. X DECID z e. A )
4		eleq1w 2299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( z e. A <-> x e. A ) )
5	4	ifbid 3659	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> if ( z e. A , 1o , (/) ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
6	5	cbvmptv 4222	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) )
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
8	3	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. X DECID z e. A -> A. x e. X DECID x e. A )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> A. x e. X DECID x e. A )
10	7, 9	bj-charfundc 16748	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
11	10	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) ) )
12		2on 6686	. . . . . . . . . . 11 |- 2o e. On
13	12	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2o e. On )
14		bj-charfunbi.ex	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. V )
15	13, 14	elmapd 6926	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) <-> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o ) )
16	15	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
17	16	adantrd 279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
18	11, 17	syld 45	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
19	18	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) )
20		fveq1 5689	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) )
21	20	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o ) )
22	21	ralbidv 2550	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o ) )
23	20	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
24	23	ralbidv 2550	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) <-> A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
25	22, 24	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) /\ f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
27	10	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
28	19, 26, 27	rspcedvd 2935	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) )
29	28	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
30	3, 29	biimtrid 152	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
31		omex 4735	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
32		2ssom 6787	. . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
33		mapss 6963	. . . . . . . . 9 |- ( ( om e. _V /\ 2o C_ om ) -> ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X ) )
34	31, 32, 33	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X )
35		fveq1 5689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
36	35	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( g ` x ) = 1o ) )
37	36	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o ) )
38	35	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( g ` x ) = (/) ) )
39	38	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) <-> A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) )
40	37, 39	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) ) )
41	40	cbvrexvw 2791	. . . . . . . . 9 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) )
42		fveqeq2 5699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( g ` y ) = 1o ) )
43	42	cbvralvw 2790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o <-> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) = 1o )
44		1n0 6695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o =/= (/)
45	44	neii 2422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1o = (/)
46		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` y ) = 1o -> ( ( g ` y ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
47	45, 46	mtbiri 686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g ` y ) = 1o -> -. ( g ` y ) = (/) )
48	47	neqned 2427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` y ) = 1o -> ( g ` y ) =/= (/) )
49	48	ralimi 2613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) = 1o -> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) )
50	43, 49	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o -> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) )
51		fveqeq2 5699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( g ` x ) = (/) <-> ( g ` y ) = (/) ) )
52	51	cbvralvw 2790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) <-> A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) )
53	52	biimpi 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) -> A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) )
54	50, 53	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) -> ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
55	54	reximi 2647	. . . . . . . . 9 |- ( E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
56	41, 55	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
57		ssrexv 3313	. . . . . . . 8 |- ( ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X ) -> ( E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) ) )
58	34, 56, 57	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
59	58	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
60	59	bj-charfunr 16750	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) -> A. y e. X DECID -. y e. A )
61	60	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. y e. X DECID -. y e. A ) )
62		eleq1w 2299	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
63	62	notbid 677	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( -. x e. A <-> -. y e. A ) )
64	63	dcbid 850	. . . . 5 |- ( x = y -> (DECID -. x e. A <-> DECID -. y e. A ) )
65	64	cbvralvw 2790	. . . 4 |- ( A. x e. X DECID -. x e. A <-> A. y e. X DECID -. y e. A )
66	61, 65	imbitrrdi 162	. . 3 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. x e. X DECID -. x e. A ) )
67		bj-charfunbi.st	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X STAB x e. A )
68	67	r19.21bi 2638	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> STAB x e. A )
69		stdcn 859	. . . . 5 |- (STAB x e. A <-> (DECID -. x e. A -> DECID x e. A ) )
70	68, 69	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> (DECID -. x e. A -> DECID x e. A ) )
71	70	ralimdva 2617	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID -. x e. A -> A. x e. X DECID x e. A ) )
72	66, 71	syld 45	. 2 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. x e. X DECID x e. A ) )
73	30, 72	impbid 129	1 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A <-> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  STAB wstab 842  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   |-> cmpt 4187   Oncon0 4503   omcom 4732   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ^m cmap 6912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914

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