Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-charfunbi Unicode version

Theorem bj-charfunbi 13846
Description: In an ambient set  X, if membership in  A is stable, then it is decidable if and only if  A has a characteristic function.

This characterization can be applied to singletons when the set  X has stable equality, which is the case as soon as it has a tight apartness relation. (Contributed by BJ, 6-Aug-2024.)

Hypotheses
Ref Expression
bj-charfunbi.ex  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
bj-charfunbi.st  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X STAB  x  e.  A )
Assertion
Ref Expression
bj-charfunbi  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X DECID  x  e.  A  <->  E. f  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x
)  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x   
f, X, x    ph, f, x
Allowed substitution hints:    V( x, f)

Proof of Theorem bj-charfunbi
Dummy variables  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2231 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
21dcbid 833 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  z  e.  A )
)
32cbvralvw 2700 . . 3  |-  ( A. x  e.  X DECID  x  e.  A 
<-> 
A. z  e.  X DECID  z  e.  A )
4 eleq1w 2231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  A  <->  x  e.  A ) )
54ifbid 3547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) )  =  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) )
65cbvmptv 4085 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) )
76a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X DECID  z  e.  A
)  ->  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) )
83biimpri 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  X DECID  z  e.  A  ->  A. x  e.  X DECID  x  e.  A )
98adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X DECID  z  e.  A
)  ->  A. x  e.  X DECID  x  e.  A
)
107, 9bj-charfundc 13843 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X DECID  z  e.  A
)  ->  ( (
z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) : X --> 2o  /\  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `  x )  =  (/) ) ) )
1110ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  X DECID  z  e.  A  -> 
( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) : X --> 2o  /\  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `  x
)  =  1o  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `  x
)  =  (/) ) ) ) )
12 2on 6404 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  e.  On
1312a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
14 bj-charfunbi.ex . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1513, 14elmapd 6640 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  X
)  <->  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) : X --> 2o ) )
1615biimprd 157 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) : X --> 2o  ->  (
z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  X ) ) )
1716adantrd 277 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) : X --> 2o  /\  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `  x )  =  (/) ) )  ->  (
z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  X ) ) )
1811, 17syld 45 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  X DECID  z  e.  A  -> 
( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  X ) ) )
1918imp 123 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X DECID  z  e.  A
)  ->  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  X ) )
20 fveq1 5495 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `
 x ) )
2120eqeq1d 2179 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( ( f `  x )  =  1o  <->  ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `  x
)  =  1o ) )
2221ralbidv 2470 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `  x
)  =  1o ) )
2320eqeq1d 2179 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( ( f `  x )  =  (/)  <->  (
( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `  x
)  =  (/) ) )
2423ralbidv 2470 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  ( X  \  A
) ( f `  x )  =  (/)  <->  A. x  e.  ( X  \  A ) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `
 x )  =  (/) ) )
2522, 24anbi12d 470 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) )  -> 
( ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x
)  =  (/) )  <->  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `
 x )  =  1o  /\  A. x  e.  ( X  \  A
) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `
 x )  =  (/) ) ) )
2625adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X DECID  z  e.  A )  /\  f  =  ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( f `
 x )  =  1o  /\  A. x  e.  ( X  \  A
) ( f `  x )  =  (/) ) 
<->  ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `
 x )  =  1o  /\  A. x  e.  ( X  \  A
) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `
 x )  =  (/) ) ) )
2710simprd 113 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X DECID  z  e.  A
)  ->  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `
 x )  =  1o  /\  A. x  e.  ( X  \  A
) ( ( z  e.  X  |->  if ( z  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) `
 x )  =  (/) ) )
2819, 26, 27rspcedvd 2840 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X DECID  z  e.  A
)  ->  E. f  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x
)  =  (/) ) )
2928ex 114 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  X DECID  z  e.  A  ->  E. f  e.  ( 2o  ^m  X ) ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( f `  x
)  =  1o  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) ( f `  x )  =  (/) ) ) )
303, 29syl5bi 151 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X DECID  x  e.  A  ->  E. f  e.  ( 2o  ^m  X ) ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( f `  x
)  =  1o  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) ( f `  x )  =  (/) ) ) )
31 omex 4577 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
32 2ssom 6503 . . . . . . . . 9  |-  2o  C_  om
33 mapss 6669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  _V  /\  2o  C_  om )  -> 
( 2o  ^m  X
)  C_  ( om  ^m  X ) )
3431, 32, 33mp2an 424 . . . . . . . 8  |-  ( 2o 
^m  X )  C_  ( om  ^m  X )
35 fveq1 5495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
3635eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  x
)  =  1o  <->  ( g `  x )  =  1o ) )
3736ralbidv 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( f `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( g `  x )  =  1o ) )
3835eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  <->  ( g `  x )  =  (/) ) )
3938ralbidv 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x )  =  (/)  <->  A. x  e.  ( X  \  A ) ( g `  x
)  =  (/) ) )
4037, 39anbi12d 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x
)  =  (/) )  <->  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( g `
 x )  =  1o  /\  A. x  e.  ( X  \  A
) ( g `  x )  =  (/) ) ) )
4140cbvrexvw 2701 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  ( 2o 
^m  X ) ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( f `  x
)  =  1o  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) ( f `  x )  =  (/) )  <->  E. g  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( g `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( g `  x
)  =  (/) ) )
42 fveqeq2 5505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  =  1o  <->  ( g `  y )  =  1o ) )
4342cbvralvw 2700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( g `
 x )  =  1o  <->  A. y  e.  ( X  i^i  A ) ( g `  y
)  =  1o )
44 1n0 6411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  =/=  (/)
4544neii 2342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  1o  =  (/)
46 eqeq1 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  y )  =  1o  ->  (
( g `  y
)  =  (/)  <->  1o  =  (/) ) )
4745, 46mtbiri 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g `  y )  =  1o  ->  -.  ( g `  y
)  =  (/) )
4847neqned 2347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  y )  =  1o  ->  (
g `  y )  =/=  (/) )
4948ralimi 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( X  i^i  A ) ( g `
 y )  =  1o  ->  A. y  e.  ( X  i^i  A
) ( g `  y )  =/=  (/) )
5043, 49sylbi 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( g `
 x )  =  1o  ->  A. y  e.  ( X  i^i  A
) ( g `  y )  =/=  (/) )
51 fveqeq2 5505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  =  (/)  <->  ( g `  y )  =  (/) ) )
5251cbvralvw 2700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( X  \  A ) ( g `
 x )  =  (/) 
<-> 
A. y  e.  ( X  \  A ) ( g `  y
)  =  (/) )
5352biimpi 119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( X  \  A ) ( g `
 x )  =  (/)  ->  A. y  e.  ( X  \  A ) ( g `  y
)  =  (/) )
5450, 53anim12i 336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( g `  x
)  =  1o  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) ( g `  x )  =  (/) )  ->  ( A. y  e.  ( X  i^i  A ) ( g `  y )  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ( X  \  A
) ( g `  y )  =  (/) ) )
5554reximi 2567 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  ( 2o 
^m  X ) ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( g `  x
)  =  1o  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) ( g `  x )  =  (/) )  ->  E. g  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. y  e.  ( X  i^i  A
) ( g `  y )  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ( X  \  A ) ( g `
 y )  =  (/) ) )
5641, 55sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  ( 2o 
^m  X ) ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( f `  x
)  =  1o  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) ( f `  x )  =  (/) )  ->  E. g  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. y  e.  ( X  i^i  A
) ( g `  y )  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ( X  \  A ) ( g `
 y )  =  (/) ) )
57 ssrexv 3212 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2o  ^m  X ) 
C_  ( om  ^m  X )  ->  ( E. g  e.  ( 2o  ^m  X ) ( A. y  e.  ( X  i^i  A ) ( g `  y
)  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ( X  \  A ) ( g `
 y )  =  (/) )  ->  E. g  e.  ( om  ^m  X
) ( A. y  e.  ( X  i^i  A
) ( g `  y )  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ( X  \  A ) ( g `
 y )  =  (/) ) ) )
5834, 56, 57mpsyl 65 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  ( 2o 
^m  X ) ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( f `  x
)  =  1o  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) ( f `  x )  =  (/) )  ->  E. g  e.  ( om  ^m  X
) ( A. y  e.  ( X  i^i  A
) ( g `  y )  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ( X  \  A ) ( g `
 y )  =  (/) ) )
5958adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. f  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x
)  =  (/) ) )  ->  E. g  e.  ( om  ^m  X ) ( A. y  e.  ( X  i^i  A
) ( g `  y )  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ( X  \  A ) ( g `
 y )  =  (/) ) )
6059bj-charfunr 13845 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. f  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x
)  =  (/) ) )  ->  A. y  e.  X DECID  -.  y  e.  A )
6160ex 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  X DECID  -.  y  e.  A )
)
62 eleq1w 2231 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
6362notbid 662 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  A  <->  -.  y  e.  A ) )
6463dcbid 833 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (DECID  -.  x  e.  A  <-> DECID  -.  y  e.  A
) )
6564cbvralvw 2700 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X DECID  -.  x  e.  A  <->  A. y  e.  X DECID  -.  y  e.  A )
6661, 65syl6ibr 161 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x
)  =  (/) )  ->  A. x  e.  X DECID  -.  x  e.  A )
)
67 bj-charfunbi.st . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X STAB  x  e.  A )
6867r19.21bi 2558 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  -> STAB  x  e.  A )
69 stdcn 842 . . . . 5  |-  (STAB  x  e.  A  <->  (DECID  -.  x  e.  A  -> DECID  x  e.  A ) )
7068, 69sylib 121 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (DECID  -.  x  e.  A  -> DECID  x  e.  A ) )
7170ralimdva 2537 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X DECID 
-.  x  e.  A  ->  A. x  e.  X DECID  x  e.  A ) )
7266, 71syld 45 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x
)  =  (/) )  ->  A. x  e.  X DECID  x  e.  A ) )
7330, 72impbid 128 1  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X DECID  x  e.  A  <->  E. f  e.  ( 2o  ^m  X
) ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( f `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( f `  x
)  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  STAB wstab 825  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730    \ cdif 3118    i^i cin 3120    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526    |-> cmpt 4050   Oncon0 4348   omcom 4574   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389    ^m cmap 6626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator