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Theorem bj-charfunbi 13693
Description: In an ambient set X, if membership in A is stable, then it is decidable if and only if A has a characteristic function.

This characterization can be applied to singletons when the set X has stable equality, which is the case as soon as it has a tight apartness relation. (Contributed by BJ, 6-Aug-2024.)

Hypotheses
Ref Expression
bj-charfunbi.ex |- ( ph -> X e. V )
bj-charfunbi.st |- ( ph -> A. x e. X STAB x e. A )
Assertion
Ref Expression
bj-charfunbi |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A <-> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, x   f, X, x   ph, f, x
Allowed substitution hints:   V( x, f)
Proof of Theorem bj-charfunbi
Dummy variables g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2227 . . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
21dcbid 828 . . . 4 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
32cbvralvw 2696 . . 3 |- ( A. x e. X DECID x e. A <-> A. z e. X DECID z e. A )
4 eleq1w 2227 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( z e. A <-> x e. A ) )
54ifbid 3541 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> if ( z e. A , 1o , (/) ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
65cbvmptv 4078 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) )
76a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
83biimpri 132 . . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. X DECID z e. A -> A. x e. X DECID x e. A )
98adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> A. x e. X DECID x e. A )
107, 9bj-charfundc 13690 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
1110ex 114 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) ) )
12 2on 6393 . . . . . . . . . . 11 |- 2o e. On
1312a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2o e. On )
14 bj-charfunbi.ex . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. V )
1513, 14elmapd 6628 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) <-> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o ) )
1615biimprd 157 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
1716adantrd 277 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
1811, 17syld 45 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
1918imp 123 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) )
20 fveq1 5485 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) )
2120eqeq1d 2174 . . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o ) )
2221ralbidv 2466 . . . . . . 7 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o ) )
2320eqeq1d 2174 . . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
2423ralbidv 2466 . . . . . . 7 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) <-> A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
2522, 24anbi12d 465 . . . . . 6 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
2625adantl 275 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) /\ f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
2710simprd 113 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
2819, 26, 27rspcedvd 2836 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) )
2928ex 114 . . 3 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
303, 29syl5bi 151 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
31 omex 4570 . . . . . . . . 9 |- om e. _V
32 2ssom 13684 . . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
33 mapss 6657 . . . . . . . . 9 |- ( ( om e. _V /\ 2o C_ om ) -> ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X ) )
3431, 32, 33mp2an 423 . . . . . . . 8 |- ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X )
35 fveq1 5485 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
3635eqeq1d 2174 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( g ` x ) = 1o ) )
3736ralbidv 2466 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o ) )
3835eqeq1d 2174 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( g ` x ) = (/) ) )
3938ralbidv 2466 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) <-> A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) )
4037, 39anbi12d 465 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) ) )
4140cbvrexvw 2697 . . . . . . . . 9 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) )
42 fveqeq2 5495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( g ` y ) = 1o ) )
4342cbvralvw 2696 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o <-> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) = 1o )
44 1n0 6400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o =/= (/)
4544neii 2338 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1o = (/)
46 eqeq1 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` y ) = 1o -> ( ( g ` y ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
4745, 46mtbiri 665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g ` y ) = 1o -> -. ( g ` y ) = (/) )
4847neqned 2343 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` y ) = 1o -> ( g ` y ) =/= (/) )
4948ralimi 2529 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) = 1o -> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) )
5043, 49sylbi 120 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o -> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) )
51 fveqeq2 5495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( g ` x ) = (/) <-> ( g ` y ) = (/) ) )
5251cbvralvw 2696 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) <-> A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) )
5352biimpi 119 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) -> A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) )
5450, 53anim12i 336 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) -> ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
5554reximi 2563 . . . . . . . . 9 |- ( E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
5641, 55sylbi 120 . . . . . . . 8 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
57 ssrexv 3207 . . . . . . . 8 |- ( ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X ) -> ( E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) ) )
5834, 56, 57mpsyl 65 . . . . . . 7 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
5958adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
6059bj-charfunr 13692 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) -> A. y e. X DECID -. y e. A )
6160ex 114 . . . 4 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. y e. X DECID -. y e. A ) )
62 eleq1w 2227 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
6362notbid 657 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( -. x e. A <-> -. y e. A ) )
6463dcbid 828 . . . . 5 |- ( x = y -> (DECID -. x e. A <-> DECID -. y e. A ) )
6564cbvralvw 2696 . . . 4 |- ( A. x e. X DECID -. x e. A <-> A. y e. X DECID -. y e. A )
6661, 65syl6ibr 161 . . 3 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. x e. X DECID -. x e. A ) )
67 bj-charfunbi.st . . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X STAB x e. A )
6867r19.21bi 2554 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> STAB x e. A )
69 stdcn 837 . . . . 5 |- (STAB x e. A <-> (DECID -. x e. A -> DECID x e. A ) )
7068, 69sylib 121 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> (DECID -. x e. A -> DECID x e. A ) )
7170ralimdva 2533 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID -. x e. A -> A. x e. X DECID x e. A ) )
7266, 71syld 45 . 2 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. x e. X DECID x e. A ) )
7330, 72impbid 128 1 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A <-> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  STAB wstab 820  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   |-> cmpt 4043   Oncon0 4341   omcom 4567   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1oc1o 6377   2oc2o 6378   ^m cmap 6614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616
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