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Theorem bj-charfunbi 15457
Description: In an ambient set X, if membership in A is stable, then it is decidable if and only if A has a characteristic function.

This characterization can be applied to singletons when the set X has stable equality, which is the case as soon as it has a tight apartness relation. (Contributed by BJ, 6-Aug-2024.)

Hypotheses
Ref Expression
bj-charfunbi.ex |- ( ph -> X e. V )
bj-charfunbi.st |- ( ph -> A. x e. X STAB x e. A )
Assertion
Ref Expression
bj-charfunbi |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A <-> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, x   f, X, x   ph, f, x
Allowed substitution hints:   V( x, f)
Proof of Theorem bj-charfunbi
Dummy variables g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2257 . . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
21dcbid 839 . . . 4 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
32cbvralvw 2733 . . 3 |- ( A. x e. X DECID x e. A <-> A. z e. X DECID z e. A )
4 eleq1w 2257 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( z e. A <-> x e. A ) )
54ifbid 3582 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> if ( z e. A , 1o , (/) ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
65cbvmptv 4129 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) )
76a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
83biimpri 133 . . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. X DECID z e. A -> A. x e. X DECID x e. A )
98adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> A. x e. X DECID x e. A )
107, 9bj-charfundc 15454 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
1110ex 115 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) ) )
12 2on 6483 . . . . . . . . . . 11 |- 2o e. On
1312a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2o e. On )
14 bj-charfunbi.ex . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. V )
1513, 14elmapd 6721 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) <-> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o ) )
1615biimprd 158 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
1716adantrd 279 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) : X --> 2o /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
1811, 17syld 45 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) ) )
1918imp 124 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m X ) )
20 fveq1 5557 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) )
2120eqeq1d 2205 . . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o ) )
2221ralbidv 2497 . . . . . . 7 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o ) )
2320eqeq1d 2205 . . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
2423ralbidv 2497 . . . . . . 7 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) <-> A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
2522, 24anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
2625adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) /\ f = ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) ) )
2710simprd 114 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( ( z e. X |-> if ( z e. A , 1o , (/) ) ) ` x ) = (/) ) )
2819, 26, 27rspcedvd 2874 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. X DECID z e. A ) -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) )
2928ex 115 . . 3 |- ( ph -> ( A. z e. X DECID z e. A -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
303, 29biimtrid 152 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A -> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
31 omex 4629 . . . . . . . . 9 |- om e. _V
32 2ssom 6582 . . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
33 mapss 6750 . . . . . . . . 9 |- ( ( om e. _V /\ 2o C_ om ) -> ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X ) )
3431, 32, 33mp2an 426 . . . . . . . 8 |- ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X )
35 fveq1 5557 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
3635eqeq1d 2205 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( g ` x ) = 1o ) )
3736ralbidv 2497 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o ) )
3835eqeq1d 2205 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( g ` x ) = (/) ) )
3938ralbidv 2497 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) <-> A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) )
4037, 39anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) ) )
4140cbvrexvw 2734 . . . . . . . . 9 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) <-> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) )
42 fveqeq2 5567 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( g ` y ) = 1o ) )
4342cbvralvw 2733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o <-> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) = 1o )
44 1n0 6490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o =/= (/)
4544neii 2369 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1o = (/)
46 eqeq1 2203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` y ) = 1o -> ( ( g ` y ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
4745, 46mtbiri 676 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g ` y ) = 1o -> -. ( g ` y ) = (/) )
4847neqned 2374 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` y ) = 1o -> ( g ` y ) =/= (/) )
4948ralimi 2560 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) = 1o -> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) )
5043, 49sylbi 121 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o -> A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) )
51 fveqeq2 5567 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( g ` x ) = (/) <-> ( g ` y ) = (/) ) )
5251cbvralvw 2733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) <-> A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) )
5352biimpi 120 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) -> A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) )
5450, 53anim12i 338 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) -> ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
5554reximi 2594 . . . . . . . . 9 |- ( E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( g ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( g ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
5641, 55sylbi 121 . . . . . . . 8 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
57 ssrexv 3248 . . . . . . . 8 |- ( ( 2o ^m X ) C_ ( om ^m X ) -> ( E. g e. ( 2o ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) ) )
5834, 56, 57mpsyl 65 . . . . . . 7 |- ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
5958adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) -> E. g e. ( om ^m X ) ( A. y e. ( X i^i A ) ( g ` y ) =/= (/) /\ A. y e. ( X \ A ) ( g ` y ) = (/) ) )
6059bj-charfunr 15456 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) -> A. y e. X DECID -. y e. A )
6160ex 115 . . . 4 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. y e. X DECID -. y e. A ) )
62 eleq1w 2257 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
6362notbid 668 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( -. x e. A <-> -. y e. A ) )
6463dcbid 839 . . . . 5 |- ( x = y -> (DECID -. x e. A <-> DECID -. y e. A ) )
6564cbvralvw 2733 . . . 4 |- ( A. x e. X DECID -. x e. A <-> A. y e. X DECID -. y e. A )
6661, 65imbitrrdi 162 . . 3 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. x e. X DECID -. x e. A ) )
67 bj-charfunbi.st . . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X STAB x e. A )
6867r19.21bi 2585 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> STAB x e. A )
69 stdcn 848 . . . . 5 |- (STAB x e. A <-> (DECID -. x e. A -> DECID x e. A ) )
7068, 69sylib 122 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> (DECID -. x e. A -> DECID x e. A ) )
7170ralimdva 2564 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID -. x e. A -> A. x e. X DECID x e. A ) )
7266, 71syld 45 . 2 |- ( ph -> ( E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) -> A. x e. X DECID x e. A ) )
7330, 72impbid 129 1 |- ( ph -> ( A. x e. X DECID x e. A <-> E. f e. ( 2o ^m X ) ( A. x e. ( X i^i A ) ( f ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( f ` x ) = (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  STAB wstab 831  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   \ cdif 3154   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ifcif 3561   |-> cmpt 4094   Oncon0 4398   omcom 4626   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1oc1o 6467   2oc2o 6468   ^m cmap 6707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-map 6709
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