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Theorem oddprmdvds 13077

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
oddprmdvds	$/\$ $\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem oddprmdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12849	. . . 4
2		pcndvds2 13042	. . . 4 $/\$
3	1, 2	mpan 424	. . 3
4		pcdvds 13038	. . . 4 $/\$
5	1, 4	mpan 424	. . 3
6		2nn 9416	. . . . . . . . 9
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9
9		id 19	. . . . . . . . 9
10	8, 9	pccld 13023	. . . . . . . 8
11	7, 10	nnexpcld 11082	. . . . . . 7
12		nndivdvds 12507	. . . . . . 7 $/\$
13	11, 12	mpdan 421	. . . . . 6
14	13	adantr 276	. . . . 5 $/\$
15		elnn1uz2 9957	. . . . . . 7 $\/$
16		nncn 9262	. . . . . . . . . . . . 13
17	11	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . 13
18	11	nnap0d 9300	. . . . . . . . . . . . 13 #
19	16, 17, 18	3jca 1204	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ #
21		diveqap1 8996	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	24	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
28	23, 26, 27	rspcedvd 2929	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12
30		pm2.24 626	. . . . . . . . . . . 12 $\$
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 $\$
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
33	22, 32	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
35		exprmfct 12860	. . . . . . . . 9
36		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	36	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
39	38	necon3bd 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
41		prmnn 12832	. . . . . . . . . . . . . . 15
42	5, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15
43		nndivides 12508	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
45		eqcom 2236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
48	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
49	47, 48	nnmulcld 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
50	49	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
51	17, 18	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ #
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ #
53		divmulap 8966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ #
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
55	45, 54	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
58	57	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		eldifsn 3825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
62		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
65	64, 47	nnmulcld 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
66	65	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
67	41	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
69	66, 68	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsmul2 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
73		2nn0 9530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
75	74, 10	nn0expcld 11083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
76	75	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
77	76	nn0cnd 9572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
78		nncn 9262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
80	41	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81	80	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
82	77, 79, 81	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		mulass 8274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	breqtrd 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		breq2 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	87, 89	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	61, 63, 90	rspcedvd 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
93	92	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
95	55, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
96	95	rexlimdva 2662	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
97	44, 96	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
99	98	rexlimdva 2662	. . . . . . . . . . 11 $\$
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 $\$
101	100	impd 254	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
103	34, 102	jaoi 724	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $\$
104	15, 103	sylbi 121	. . . . . 6 $/\$ $\$
105	104	com12 30	. . . . 5 $/\$ $\$
106	14, 105	sylbid 150	. . . 4 $/\$ $\$
107	106	ex 115	. . 3 $\$
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 $\$
109	108	imp 124	1 $/\$ $\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205

wne 2414

wrex 2523 $\$ cdif 3211

csn 3694 class class class wbr 4114

cfv 5357 (class class class)co 6058

cc 8141

cc0 8143

c1 8144

cmul 8148 # cap 8872

cdiv 8963

cn 9254

c2 9305

cn0 9513

cz 9594

cuz 9871

cexp 10924

cdvds 12498

cprime 12829

cpc 13007

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262 ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-isom 5366 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-frec 6635 df-1o 6660 df-2o 6661 df-er 6780 df-en 6989 df-sup 7288 df-inf 7289 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-2 9313 df-3 9314 df-4 9315 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-q 9970 df-rp 10005 df-fz 10362 df-fzo 10499 df-fl 10654 df-mod 10709 df-seqfrec 10834 df-exp 10925 df-cj 11552 df-re 11553 df-im 11554 df-rsqrt 11708 df-abs 11709 df-dvds 12499 df-gcd 12675 df-prm 12830 df-pc 13008

This theorem is referenced by: (None)

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