Theorem oddprmdvds 12892

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmdvds	|- ( ( K e. NN /\ -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )

Distinct variable group:   n, K, p

Proof of Theorem oddprmdvds

Dummy variables m q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12664	. . . 4 |- 2 e. Prime
2		pcndvds2 12857	. . . 4 |- ( ( 2 e. Prime /\ K e. NN ) -> -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( K e. NN -> -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
4		pcdvds 12853	. . . 4 |- ( ( 2 e. Prime /\ K e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K )
5	1, 4	mpan 424	. . 3 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K )
6		2nn 9283	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 2 e. NN )
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> 2 e. Prime )
9		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. NN )
10	8, 9	pccld 12838	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( 2 pCnt K ) e. NN0 )
11	7, 10	nnexpcld 10929	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN )
12		nndivdvds 12322	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
13	11, 12	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
15		elnn1uz2 9814	. . . . . . 7 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN <-> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 \/ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
16		nncn 9129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> K e. CC )
17	11	nncnd 9135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC )
18	11	nnap0d 9167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 )
19	16, 17, 18	3jca 1201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
21		diveqap1 8863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
23	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( 2 pCnt K ) e. NN0 )
24		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 2 pCnt K ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) )
25	24	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 2 pCnt K ) -> ( K = ( 2 ^ n ) <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) /\ n = ( 2 pCnt K ) ) -> ( K = ( 2 ^ n ) <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) )
28	23, 26, 27	rspcedvd 2913	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) )
30		pm2.24 624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
33	22, 32	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
35		exprmfct 12675	. . . . . . . . 9 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
36		breq1 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = 2 -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
37	36	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q = 2 -> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( q = 2 -> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
39	38	necon3bd 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> q =/= 2 ) )
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> q =/= 2 ) ) )
41		prmnn 12647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
42	5, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN -> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN )
43		nndivides 12323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( q e. NN /\ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
45		eqcom 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) )
46	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> K e. CC )
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
48	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. NN )
49	47, 48	nnmulcld 9170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( m x. q ) e. NN )
50	49	nncnd 9135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( m x. q ) e. CC )
51	17, 18	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
53		divmulap 8833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. CC /\ ( m x. q ) e. CC /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
55	45, 54	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> q e. Prime )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. Prime )
58	57	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( q e. Prime /\ q =/= 2 ) )
59		eldifsn 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( q e. Prime /\ q =/= 2 ) )
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q e. ( Prime \ { 2 } ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q e. ( Prime \ { 2 } ) )
62		breq1 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = q -> ( p || K <-> q || K ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) /\ p = q ) -> ( p || K <-> q || K ) )
64	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN )
65	64, 47	nnmulcld 9170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. NN )
66	65	nnzd 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ )
67	41	nnzd 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. ZZ )
69	66, 68	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) )
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) )
71		dvdsmul2 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> q || ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q || ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) )
73		2nn0 9397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 2 e. NN0
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( K e. NN -> 2 e. NN0 )
75	74, 10	nn0expcld 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN0 )
76	75	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN0 )
77	76	nn0cnd 9435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC )
78		nncn 9129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( m e. NN -> m e. CC )
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> m e. CC )
80	41	nncnd 9135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( q e. Prime -> q e. CC )
81	80	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. CC )
82	77, 79, 81	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) )
84		mulass 8141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) = ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) = ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
86	72, 85	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
88		breq2 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) <-> q || K ) )
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> ( q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) <-> q || K ) )
90	87, 89	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q || K )
91	61, 63, 90	rspcedvd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
93	92	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( q =/= 2 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
95	55, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
96	95	rexlimdva 2648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
97	44, 96	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
99	98	rexlimdva 2648	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( K e. NN -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
101	100	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
103	34, 102	jaoi 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 \/ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
104	15, 103	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
105	104	com12 30	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
106	14, 105	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
107	106	ex 115	. . 3 |- ( K e. NN -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 |- ( K e. NN -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
109	108	imp 124	1 |- ( ( K e. NN /\ -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   \ cdif 3194   {csn 3666   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   0cc0 8010   1c1 8011   x. cmul 8015   # cap 8739   / cdiv 8830   NNcn 9121   2c2 9172   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   ^cexp 10772   || cdvds 12313   Primecprime 12644   pCnt cpc 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-fl 10502  df-mod 10557  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-dvds 12314  df-gcd 12490  df-prm 12645  df-pc 12823

This theorem is referenced by: (None)