Theorem oddprmdvds 12354

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmdvds	|- ( ( K e. NN /\ -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )

Distinct variable group:   n, K, p

Proof of Theorem oddprmdvds

Dummy variables m q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12129	. . . 4 |- 2 e. Prime
2		pcndvds2 12320	. . . 4 |- ( ( 2 e. Prime /\ K e. NN ) -> -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( K e. NN -> -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
4		pcdvds 12316	. . . 4 |- ( ( 2 e. Prime /\ K e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K )
5	1, 4	mpan 424	. . 3 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K )
6		2nn 9082	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 2 e. NN )
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> 2 e. Prime )
9		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. NN )
10	8, 9	pccld 12302	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( 2 pCnt K ) e. NN0 )
11	7, 10	nnexpcld 10678	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN )
12		nndivdvds 11805	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
13	11, 12	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
15		elnn1uz2 9609	. . . . . . 7 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN <-> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 \/ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
16		nncn 8929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> K e. CC )
17	11	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC )
18	11	nnap0d 8967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 )
19	16, 17, 18	3jca 1177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
21		diveqap1 8664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
23	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( 2 pCnt K ) e. NN0 )
24		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 2 pCnt K ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) )
25	24	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 2 pCnt K ) -> ( K = ( 2 ^ n ) <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) /\ n = ( 2 pCnt K ) ) -> ( K = ( 2 ^ n ) <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) )
28	23, 26, 27	rspcedvd 2849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) )
30		pm2.24 621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
33	22, 32	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
35		exprmfct 12140	. . . . . . . . 9 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
36		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = 2 -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
37	36	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q = 2 -> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( q = 2 -> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
39	38	necon3bd 2390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> q =/= 2 ) )
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> q =/= 2 ) ) )
41		prmnn 12112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
42	5, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN -> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN )
43		nndivides 11806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( q e. NN /\ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
45		eqcom 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) )
46	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> K e. CC )
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
48	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. NN )
49	47, 48	nnmulcld 8970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( m x. q ) e. NN )
50	49	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( m x. q ) e. CC )
51	17, 18	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
53		divmulap 8634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. CC /\ ( m x. q ) e. CC /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
55	45, 54	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> q e. Prime )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. Prime )
58	57	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( q e. Prime /\ q =/= 2 ) )
59		eldifsn 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( q e. Prime /\ q =/= 2 ) )
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q e. ( Prime \ { 2 } ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q e. ( Prime \ { 2 } ) )
62		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = q -> ( p || K <-> q || K ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) /\ p = q ) -> ( p || K <-> q || K ) )
64	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN )
65	64, 47	nnmulcld 8970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. NN )
66	65	nnzd 9376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ )
67	41	nnzd 9376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. ZZ )
69	66, 68	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) )
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) )
71		dvdsmul2 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> q || ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q || ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) )
73		2nn0 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 2 e. NN0
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( K e. NN -> 2 e. NN0 )
75	74, 10	nn0expcld 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN0 )
76	75	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN0 )
77	76	nn0cnd 9233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC )
78		nncn 8929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( m e. NN -> m e. CC )
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> m e. CC )
80	41	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( q e. Prime -> q e. CC )
81	80	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. CC )
82	77, 79, 81	3jca 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) )
84		mulass 7944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) = ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) = ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
86	72, 85	breqtrd 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
88		breq2 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) <-> q || K ) )
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> ( q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) <-> q || K ) )
90	87, 89	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q || K )
91	61, 63, 90	rspcedvd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
93	92	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( q =/= 2 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
95	55, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
96	95	rexlimdva 2594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
97	44, 96	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
99	98	rexlimdva 2594	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( K e. NN -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
101	100	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
103	34, 102	jaoi 716	. . . . . . 7 |- ( ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 \/ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
104	15, 103	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
105	104	com12 30	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
106	14, 105	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
107	106	ex 115	. . 3 |- ( K e. NN -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 |- ( K e. NN -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
109	108	imp 124	1 |- ( ( K e. NN /\ -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   E.wrex 2456   \ cdif 3128   {csn 3594   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   # cap 8540   / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   ^cexp 10521   || cdvds 11796   Primecprime 12109   pCnt cpc 12286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110  df-pc 12287

This theorem is referenced by: (None)