Theorem oddprmdvds 12261

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmdvds	|- ( ( K e. NN /\ -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )

Distinct variable group:   n, K, p

Proof of Theorem oddprmdvds

Dummy variables m q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12038	. . . 4 |- 2 e. Prime
2		pcndvds2 12227	. . . 4 |- ( ( 2 e. Prime /\ K e. NN ) -> -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
3	1, 2	mpan 421	. . 3 |- ( K e. NN -> -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
4		pcdvds 12223	. . . 4 |- ( ( 2 e. Prime /\ K e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K )
5	1, 4	mpan 421	. . 3 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K )
6		2nn 9009	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 2 e. NN )
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> 2 e. Prime )
9		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. NN )
10	8, 9	pccld 12209	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( 2 pCnt K ) e. NN0 )
11	7, 10	nnexpcld 10599	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN )
12		nndivdvds 11722	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
13	11, 12	mpdan 418	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
14	13	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
15		elnn1uz2 9536	. . . . . . 7 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN <-> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 \/ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
16		nncn 8856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> K e. CC )
17	11	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC )
18	11	nnap0d 8894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 )
19	16, 17, 18	3jca 1166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
21		diveqap1 8592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
23	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( 2 pCnt K ) e. NN0 )
24		oveq2 5844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 2 pCnt K ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) )
25	24	eqeq2d 2176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 2 pCnt K ) -> ( K = ( 2 ^ n ) <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
26	25	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) /\ n = ( 2 pCnt K ) ) -> ( K = ( 2 ^ n ) <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
27		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) )
28	23, 26, 27	rspcedvd 2831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) )
29	28	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) )
30		pm2.24 611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
33	22, 32	sylbid 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
35		exprmfct 12049	. . . . . . . . 9 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
36		breq1 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = 2 -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
37	36	biimpcd 158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q = 2 -> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
38	37	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( q = 2 -> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
39	38	necon3bd 2377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> q =/= 2 ) )
40	39	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> q =/= 2 ) ) )
41		prmnn 12021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
42	5, 13	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN -> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN )
43		nndivides 11723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( q e. NN /\ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
44	41, 42, 43	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
45		eqcom 2166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) )
46	16	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> K e. CC )
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
48	41	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. NN )
49	47, 48	nnmulcld 8897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( m x. q ) e. NN )
50	49	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( m x. q ) e. CC )
51	17, 18	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
52	51	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
53		divmulap 8562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. CC /\ ( m x. q ) e. CC /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
55	45, 54	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
56		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> q e. Prime )
57	56	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. Prime )
58	57	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( q e. Prime /\ q =/= 2 ) )
59		eldifsn 3697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( q e. Prime /\ q =/= 2 ) )
60	58, 59	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q e. ( Prime \ { 2 } ) )
61	60	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q e. ( Prime \ { 2 } ) )
62		breq1 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = q -> ( p || K <-> q || K ) )
63	62	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) /\ p = q ) -> ( p || K <-> q || K ) )
64	11	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN )
65	64, 47	nnmulcld 8897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. NN )
66	65	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ )
67	41	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
68	67	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. ZZ )
69	66, 68	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) )
70	69	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) )
71		dvdsmul2 11740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> q || ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q || ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) )
73		2nn0 9122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 2 e. NN0
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( K e. NN -> 2 e. NN0 )
75	74, 10	nn0expcld 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN0 )
76	75	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN0 )
77	76	nn0cnd 9160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC )
78		nncn 8856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( m e. NN -> m e. CC )
79	78	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> m e. CC )
80	41	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( q e. Prime -> q e. CC )
81	80	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. CC )
82	77, 79, 81	3jca 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) )
83	82	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) )
84		mulass 7875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) = ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) = ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
86	72, 85	breqtrd 4002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
87	86	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
88		breq2 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) <-> q || K ) )
89	88	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> ( q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) <-> q || K ) )
90	87, 89	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q || K )
91	61, 63, 90	rspcedvd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
93	92	exp31 362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( q =/= 2 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
95	55, 94	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
96	95	rexlimdva 2581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
97	44, 96	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
99	98	rexlimdva 2581	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( K e. NN -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
101	100	impd 252	. . . . . . . . 9 |- ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
103	34, 102	jaoi 706	. . . . . . 7 |- ( ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 \/ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
104	15, 103	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
105	104	com12 30	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
106	14, 105	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
107	106	ex 114	. . 3 |- ( K e. NN -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 |- ( K e. NN -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
109	108	imp 123	1 |- ( ( K e. NN /\ -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   =/= wne 2334   E.wrex 2443   \ cdif 3108   {csn 3570   class class class wbr 3976   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   CCcc 7742   0cc0 7744   1c1 7745   x. cmul 7749   # cap 8470   / cdiv 8559   NNcn 8848   2c2 8899   NN0cn0 9105   ZZcz 9182   ZZ>=cuz 9457   ^cexp 10444   || cdvds 11713   Primecprime 12018   pCnt cpc 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-1o 6375  df-2o 6376  df-er 6492  df-en 6698  df-sup 6940  df-inf 6941  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-fl 10195  df-mod 10248  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-dvds 11714  df-gcd 11861  df-prm 12019  df-pc 12194

This theorem is referenced by: (None)