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Theorem oddprmdvds 12914

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
oddprmdvds	$/\$ $\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem oddprmdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12686	. . . 4
2		pcndvds2 12879	. . . 4 $/\$
3	1, 2	mpan 424	. . 3
4		pcdvds 12875	. . . 4 $/\$
5	1, 4	mpan 424	. . 3
6		2nn 9293	. . . . . . . . 9
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9
9		id 19	. . . . . . . . 9
10	8, 9	pccld 12860	. . . . . . . 8
11	7, 10	nnexpcld 10945	. . . . . . 7
12		nndivdvds 12344	. . . . . . 7 $/\$
13	11, 12	mpdan 421	. . . . . 6
14	13	adantr 276	. . . . 5 $/\$
15		elnn1uz2 9829	. . . . . . 7 $\/$
16		nncn 9139	. . . . . . . . . . . . 13
17	11	nncnd 9145	. . . . . . . . . . . . 13
18	11	nnap0d 9177	. . . . . . . . . . . . 13 #
19	16, 17, 18	3jca 1201	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ #
21		diveqap1 8873	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24		oveq2 6019	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	24	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
28	23, 26, 27	rspcedvd 2914	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12
30		pm2.24 624	. . . . . . . . . . . 12 $\$
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 $\$
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
33	22, 32	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
35		exprmfct 12697	. . . . . . . . 9
36		breq1 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	36	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
39	38	necon3bd 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
41		prmnn 12669	. . . . . . . . . . . . . . 15
42	5, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15
43		nndivides 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
45		eqcom 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
48	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
49	47, 48	nnmulcld 9180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
50	49	nncnd 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
51	17, 18	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ #
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ #
53		divmulap 8843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ #
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
55	45, 54	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
58	57	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		eldifsn 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
62		breq1 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
65	64, 47	nnmulcld 9180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
66	65	nnzd 9589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
67	41	nnzd 9589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
69	66, 68	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsmul2 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
73		2nn0 9407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
75	74, 10	nn0expcld 10946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
76	75	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
77	76	nn0cnd 9445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
78		nncn 9139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
80	41	nncnd 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81	80	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
82	77, 79, 81	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		mulass 8151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	breqtrd 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		breq2 4088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	87, 89	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	61, 63, 90	rspcedvd 2914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
93	92	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
95	55, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
96	95	rexlimdva 2648	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
97	44, 96	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
99	98	rexlimdva 2648	. . . . . . . . . . 11 $\$
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 $\$
101	100	impd 254	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
103	34, 102	jaoi 721	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $\$
104	15, 103	sylbi 121	. . . . . 6 $/\$ $\$
105	104	com12 30	. . . . 5 $/\$ $\$
106	14, 105	sylbid 150	. . . 4 $/\$ $\$
107	106	ex 115	. . 3 $\$
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 $\$
109	108	imp 124	1 $/\$ $\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

wrex 2509 $\$ cdif 3195

csn 3667 class class class wbr 4084

cfv 5322 (class class class)co 6011

cc 8018

cc0 8020

c1 8021

cmul 8025 # cap 8749

cdiv 8840

cn 9131

c2 9182

cn0 9390

cz 9467

cuz 9743

cexp 10788

cdvds 12335

cprime 12666

cpc 12844

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4200 ax-sep 4203 ax-nul 4211 ax-pow 4260 ax-pr 4295 ax-un 4526 ax-setind 4631 ax-iinf 4682 ax-cnex 8111 ax-resscn 8112 ax-1cn 8113 ax-1re 8114 ax-icn 8115 ax-addcl 8116 ax-addrcl 8117 ax-mulcl 8118 ax-mulrcl 8119 ax-addcom 8120 ax-mulcom 8121 ax-addass 8122 ax-mulass 8123 ax-distr 8124 ax-i2m1 8125 ax-0lt1 8126 ax-1rid 8127 ax-0id 8128 ax-rnegex 8129 ax-precex 8130 ax-cnre 8131 ax-pre-ltirr 8132 ax-pre-ltwlin 8133 ax-pre-lttrn 8134 ax-pre-apti 8135 ax-pre-ltadd 8136 ax-pre-mulgt0 8137 ax-pre-mulext 8138 ax-arch 8139 ax-caucvg 8140

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3890 df-int 3925 df-iun 3968 df-br 4085 df-opab 4147 df-mpt 4148 df-tr 4184 df-id 4386 df-po 4389 df-iso 4390 df-iord 4459 df-on 4461 df-ilim 4462 df-suc 4464 df-iom 4685 df-xp 4727 df-rel 4728 df-cnv 4729 df-co 4730 df-dm 4731 df-rn 4732 df-res 4733 df-ima 4734 df-iota 5282 df-fun 5324 df-fn 5325 df-f 5326 df-f1 5327 df-fo 5328 df-f1o 5329 df-fv 5330 df-isom 5331 df-riota 5964 df-ov 6014 df-oprab 6015 df-mpo 6016 df-1st 6296 df-2nd 6297 df-recs 6464 df-frec 6550 df-1o 6575 df-2o 6576 df-er 6695 df-en 6903 df-sup 7172 df-inf 7173 df-pnf 8204 df-mnf 8205 df-xr 8206 df-ltxr 8207 df-le 8208 df-sub 8340 df-neg 8341 df-reap 8743 df-ap 8750 df-div 8841 df-inn 9132 df-2 9190 df-3 9191 df-4 9192 df-n0 9391 df-z 9468 df-uz 9744 df-q 9842 df-rp 9877 df-fz 10232 df-fzo 10366 df-fl 10518 df-mod 10573 df-seqfrec 10698 df-exp 10789 df-cj 11390 df-re 11391 df-im 11392 df-rsqrt 11546 df-abs 11547 df-dvds 12336 df-gcd 12512 df-prm 12667 df-pc 12845

This theorem is referenced by: (None)

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