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Theorem oddprmdvds 13052

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
oddprmdvds	$/\$ $\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem oddprmdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12824	. . . 4
2		pcndvds2 13017	. . . 4 $/\$
3	1, 2	mpan 424	. . 3
4		pcdvds 13013	. . . 4 $/\$
5	1, 4	mpan 424	. . 3
6		2nn 9399	. . . . . . . . 9
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9
9		id 19	. . . . . . . . 9
10	8, 9	pccld 12998	. . . . . . . 8
11	7, 10	nnexpcld 11057	. . . . . . 7
12		nndivdvds 12482	. . . . . . 7 $/\$
13	11, 12	mpdan 421	. . . . . 6
14	13	adantr 276	. . . . 5 $/\$
15		elnn1uz2 9939	. . . . . . 7 $\/$
16		nncn 9245	. . . . . . . . . . . . 13
17	11	nncnd 9251	. . . . . . . . . . . . 13
18	11	nnap0d 9283	. . . . . . . . . . . . 13 #
19	16, 17, 18	3jca 1204	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ #
21		diveqap1 8979	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	24	eqeq2d 2244	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
28	23, 26, 27	rspcedvd 2927	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12
30		pm2.24 626	. . . . . . . . . . . 12 $\$
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 $\$
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
33	22, 32	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
35		exprmfct 12835	. . . . . . . . 9
36		breq1 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	36	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
39	38	necon3bd 2455	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
41		prmnn 12807	. . . . . . . . . . . . . . 15
42	5, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15
43		nndivides 12483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
45		eqcom 2234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
48	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
49	47, 48	nnmulcld 9286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
50	49	nncnd 9251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
51	17, 18	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ #
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ #
53		divmulap 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ #
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
55	45, 54	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
58	57	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		eldifsn 3820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
62		breq1 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
65	64, 47	nnmulcld 9286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
66	65	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
67	41	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
69	66, 68	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsmul2 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
73		2nn0 9513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
75	74, 10	nn0expcld 11058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
76	75	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
77	76	nn0cnd 9555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
78		nncn 9245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
80	41	nncnd 9251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81	80	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
82	77, 79, 81	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		mulass 8258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	breqtrd 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		breq2 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	87, 89	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	61, 63, 90	rspcedvd 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
93	92	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
95	55, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
96	95	rexlimdva 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
97	44, 96	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
99	98	rexlimdva 2660	. . . . . . . . . . 11 $\$
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 $\$
101	100	impd 254	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
103	34, 102	jaoi 724	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $\$
104	15, 103	sylbi 121	. . . . . 6 $/\$ $\$
105	104	com12 30	. . . . 5 $/\$ $\$
106	14, 105	sylbid 150	. . . 4 $/\$ $\$
107	106	ex 115	. . 3 $\$
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 $\$
109	108	imp 124	1 $/\$ $\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2203

wne 2412

wrex 2521 $\$ cdif 3208

csn 3689 class class class wbr 4109

cfv 5352 (class class class)co 6050

cc 8125

cc0 8127

c1 8128

cmul 8132 # cap 8855

cdiv 8946

cn 9237

c2 9288

cn0 9496

cz 9577

cuz 9853

cexp 10900

cdvds 12473

cprime 12804

cpc 12982

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245 ax-arch 8246 ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-if 3621 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-isom 5361 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-recs 6536 df-frec 6622 df-1o 6647 df-2o 6648 df-er 6767 df-en 6976 df-sup 7275 df-inf 7276 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-2 9296 df-3 9297 df-4 9298 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854 df-q 9952 df-rp 9987 df-fz 10343 df-fzo 10477 df-fl 10630 df-mod 10685 df-seqfrec 10810 df-exp 10901 df-cj 11527 df-re 11528 df-im 11529 df-rsqrt 11683 df-abs 11684 df-dvds 12474 df-gcd 12650 df-prm 12805 df-pc 12983

This theorem is referenced by: (None)

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