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Theorem oddprmdvds 12619

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
oddprmdvds	$/\$ $\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem oddprmdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12391	. . . 4
2		pcndvds2 12584	. . . 4 $/\$
3	1, 2	mpan 424	. . 3
4		pcdvds 12580	. . . 4 $/\$
5	1, 4	mpan 424	. . 3
6		2nn 9197	. . . . . . . . 9
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9
9		id 19	. . . . . . . . 9
10	8, 9	pccld 12565	. . . . . . . 8
11	7, 10	nnexpcld 10838	. . . . . . 7
12		nndivdvds 12049	. . . . . . 7 $/\$
13	11, 12	mpdan 421	. . . . . 6
14	13	adantr 276	. . . . 5 $/\$
15		elnn1uz2 9727	. . . . . . 7 $\/$
16		nncn 9043	. . . . . . . . . . . . 13
17	11	nncnd 9049	. . . . . . . . . . . . 13
18	11	nnap0d 9081	. . . . . . . . . . . . 13 #
19	16, 17, 18	3jca 1179	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ #
21		diveqap1 8777	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24		oveq2 5951	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	24	eqeq2d 2216	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
28	23, 26, 27	rspcedvd 2882	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12
30		pm2.24 622	. . . . . . . . . . . 12 $\$
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 $\$
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
33	22, 32	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
35		exprmfct 12402	. . . . . . . . 9
36		breq1 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	36	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
39	38	necon3bd 2418	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
41		prmnn 12374	. . . . . . . . . . . . . . 15
42	5, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15
43		nndivides 12050	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
45		eqcom 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
48	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
49	47, 48	nnmulcld 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
50	49	nncnd 9049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
51	17, 18	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ #
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ #
53		divmulap 8747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ #
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
55	45, 54	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
58	57	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		eldifsn 3759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
62		breq1 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
65	64, 47	nnmulcld 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
66	65	nnzd 9493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
67	41	nnzd 9493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
69	66, 68	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsmul2 12067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
73		2nn0 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
75	74, 10	nn0expcld 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
76	75	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
77	76	nn0cnd 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
78		nncn 9043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
80	41	nncnd 9049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81	80	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
82	77, 79, 81	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		mulass 8055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	breqtrd 4069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		breq2 4047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	87, 89	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	61, 63, 90	rspcedvd 2882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
93	92	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
95	55, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
96	95	rexlimdva 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
97	44, 96	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
99	98	rexlimdva 2622	. . . . . . . . . . 11 $\$
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 $\$
101	100	impd 254	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
103	34, 102	jaoi 717	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $\$
104	15, 103	sylbi 121	. . . . . 6 $/\$ $\$
105	104	com12 30	. . . . 5 $/\$ $\$
106	14, 105	sylbid 150	. . . 4 $/\$ $\$
107	106	ex 115	. . 3 $\$
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 $\$
109	108	imp 124	1 $/\$ $\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 $/\$ w3a 980

wceq 1372

wcel 2175

wne 2375

wrex 2484 $\$ cdif 3162

csn 3632 class class class wbr 4043

cfv 5270 (class class class)co 5943

cc 7922

cc0 7924

c1 7925

cmul 7929 # cap 8653

cdiv 8744

cn 9035

c2 9086

cn0 9294

cz 9371

cuz 9647

cexp 10681

cdvds 12040

cprime 12371

cpc 12549

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1469 ax-7 1470 ax-gen 1471 ax-ie1 1515 ax-ie2 1516 ax-8 1526 ax-10 1527 ax-11 1528 ax-i12 1529 ax-bndl 1531 ax-4 1532 ax-17 1548 ax-i9 1552 ax-ial 1556 ax-i5r 1557 ax-13 2177 ax-14 2178 ax-ext 2186 ax-coll 4158 ax-sep 4161 ax-nul 4169 ax-pow 4217 ax-pr 4252 ax-un 4479 ax-setind 4584 ax-iinf 4635 ax-cnex 8015 ax-resscn 8016 ax-1cn 8017 ax-1re 8018 ax-icn 8019 ax-addcl 8020 ax-addrcl 8021 ax-mulcl 8022 ax-mulrcl 8023 ax-addcom 8024 ax-mulcom 8025 ax-addass 8026 ax-mulass 8027 ax-distr 8028 ax-i2m1 8029 ax-0lt1 8030 ax-1rid 8031 ax-0id 8032 ax-rnegex 8033 ax-precex 8034 ax-cnre 8035 ax-pre-ltirr 8036 ax-pre-ltwlin 8037 ax-pre-lttrn 8038 ax-pre-apti 8039 ax-pre-ltadd 8040 ax-pre-mulgt0 8041 ax-pre-mulext 8042 ax-arch 8043 ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1375 df-fal 1378 df-nf 1483 df-sb 1785 df-eu 2056 df-mo 2057 df-clab 2191 df-cleq 2197 df-clel 2200 df-nfc 2336 df-ne 2376 df-nel 2471 df-ral 2488 df-rex 2489 df-reu 2490 df-rmo 2491 df-rab 2492 df-v 2773 df-sbc 2998 df-csb 3093 df-dif 3167 df-un 3169 df-in 3171 df-ss 3178 df-nul 3460 df-if 3571 df-pw 3617 df-sn 3638 df-pr 3639 df-op 3641 df-uni 3850 df-int 3885 df-iun 3928 df-br 4044 df-opab 4105 df-mpt 4106 df-tr 4142 df-id 4339 df-po 4342 df-iso 4343 df-iord 4412 df-on 4414 df-ilim 4415 df-suc 4417 df-iom 4638 df-xp 4680 df-rel 4681 df-cnv 4682 df-co 4683 df-dm 4684 df-rn 4685 df-res 4686 df-ima 4687 df-iota 5231 df-fun 5272 df-fn 5273 df-f 5274 df-f1 5275 df-fo 5276 df-f1o 5277 df-fv 5278 df-isom 5279 df-riota 5898 df-ov 5946 df-oprab 5947 df-mpo 5948 df-1st 6225 df-2nd 6226 df-recs 6390 df-frec 6476 df-1o 6501 df-2o 6502 df-er 6619 df-en 6827 df-sup 7085 df-inf 7086 df-pnf 8108 df-mnf 8109 df-xr 8110 df-ltxr 8111 df-le 8112 df-sub 8244 df-neg 8245 df-reap 8647 df-ap 8654 df-div 8745 df-inn 9036 df-2 9094 df-3 9095 df-4 9096 df-n0 9295 df-z 9372 df-uz 9648 df-q 9740 df-rp 9775 df-fz 10130 df-fzo 10264 df-fl 10411 df-mod 10466 df-seqfrec 10591 df-exp 10682 df-cj 11095 df-re 11096 df-im 11097 df-rsqrt 11251 df-abs 11252 df-dvds 12041 df-gcd 12217 df-prm 12372 df-pc 12550

This theorem is referenced by: (None)

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