Theorem oddprmdvds 12284

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmdvds	|- ( ( K e. NN /\ -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )

Distinct variable group:   n, K, p

Proof of Theorem oddprmdvds

Dummy variables m q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12059	. . . 4 |- 2 e. Prime
2		pcndvds2 12250	. . . 4 |- ( ( 2 e. Prime /\ K e. NN ) -> -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
3	1, 2	mpan 421	. . 3 |- ( K e. NN -> -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
4		pcdvds 12246	. . . 4 |- ( ( 2 e. Prime /\ K e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K )
5	1, 4	mpan 421	. . 3 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K )
6		2nn 9018	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 2 e. NN )
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> 2 e. Prime )
9		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. NN )
10	8, 9	pccld 12232	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( 2 pCnt K ) e. NN0 )
11	7, 10	nnexpcld 10610	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN )
12		nndivdvds 11736	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
13	11, 12	mpdan 418	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
14	13	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
15		elnn1uz2 9545	. . . . . . 7 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN <-> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 \/ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
16		nncn 8865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> K e. CC )
17	11	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC )
18	11	nnap0d 8903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 )
19	16, 17, 18	3jca 1167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
21		diveqap1 8601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
23	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( 2 pCnt K ) e. NN0 )
24		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 2 pCnt K ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) )
25	24	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 2 pCnt K ) -> ( K = ( 2 ^ n ) <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
26	25	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) /\ n = ( 2 pCnt K ) ) -> ( K = ( 2 ^ n ) <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
27		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) )
28	23, 26, 27	rspcedvd 2836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) )
29	28	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) )
30		pm2.24 611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
33	22, 32	sylbid 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
35		exprmfct 12070	. . . . . . . . 9 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
36		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = 2 -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
37	36	biimpcd 158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q = 2 -> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
38	37	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( q = 2 -> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
39	38	necon3bd 2379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> q =/= 2 ) )
40	39	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> q =/= 2 ) ) )
41		prmnn 12042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
42	5, 13	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN -> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN )
43		nndivides 11737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( q e. NN /\ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
44	41, 42, 43	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
45		eqcom 2167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) )
46	16	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> K e. CC )
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
48	41	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. NN )
49	47, 48	nnmulcld 8906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( m x. q ) e. NN )
50	49	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( m x. q ) e. CC )
51	17, 18	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
52	51	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
53		divmulap 8571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. CC /\ ( m x. q ) e. CC /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
55	45, 54	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
56		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> q e. Prime )
57	56	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. Prime )
58	57	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( q e. Prime /\ q =/= 2 ) )
59		eldifsn 3703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( q e. Prime /\ q =/= 2 ) )
60	58, 59	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q e. ( Prime \ { 2 } ) )
61	60	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q e. ( Prime \ { 2 } ) )
62		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = q -> ( p || K <-> q || K ) )
63	62	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) /\ p = q ) -> ( p || K <-> q || K ) )
64	11	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN )
65	64, 47	nnmulcld 8906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. NN )
66	65	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ )
67	41	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
68	67	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. ZZ )
69	66, 68	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) )
70	69	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) )
71		dvdsmul2 11754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> q || ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q || ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) )
73		2nn0 9131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 2 e. NN0
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( K e. NN -> 2 e. NN0 )
75	74, 10	nn0expcld 10611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN0 )
76	75	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN0 )
77	76	nn0cnd 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC )
78		nncn 8865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( m e. NN -> m e. CC )
79	78	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> m e. CC )
80	41	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( q e. Prime -> q e. CC )
81	80	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. CC )
82	77, 79, 81	3jca 1167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) )
83	82	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) )
84		mulass 7884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) = ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) = ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
86	72, 85	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
87	86	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
88		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) <-> q || K ) )
89	88	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> ( q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) <-> q || K ) )
90	87, 89	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q || K )
91	61, 63, 90	rspcedvd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
93	92	exp31 362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( q =/= 2 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
95	55, 94	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
96	95	rexlimdva 2583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
97	44, 96	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
99	98	rexlimdva 2583	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( K e. NN -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
101	100	impd 252	. . . . . . . . 9 |- ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
103	34, 102	jaoi 706	. . . . . . 7 |- ( ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 \/ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
104	15, 103	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
105	104	com12 30	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
106	14, 105	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
107	106	ex 114	. . 3 |- ( K e. NN -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 |- ( K e. NN -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
109	108	imp 123	1 |- ( ( K e. NN /\ -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   E.wrex 2445   \ cdif 3113   {csn 3576   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   x. cmul 7758   # cap 8479   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ^cexp 10454   || cdvds 11727   Primecprime 12039   pCnt cpc 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876  df-prm 12040  df-pc 12217

This theorem is referenced by: (None)