Theorem oddprmdvds 13111

Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmdvds	|- ( ( K e. NN /\ -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )

Distinct variable group:   n, K, p

Proof of Theorem oddprmdvds

Dummy variables m q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 12883	. . . 4 |- 2 e. Prime
2		pcndvds2 13076	. . . 4 |- ( ( 2 e. Prime /\ K e. NN ) -> -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
3	1, 2	mpan 428	. . 3 |- ( K e. NN -> -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
4		pcdvds 13072	. . . 4 |- ( ( 2 e. Prime /\ K e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K )
5	1, 4	mpan 428	. . 3 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K )
6		2nn 9445	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 2 e. NN )
8	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> 2 e. Prime )
9		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. NN )
10	8, 9	pccld 13057	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( 2 pCnt K ) e. NN0 )
11	7, 10	nnexpcld 11111	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN )
12		nndivdvds 12541	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
13	11, 12	mpdan 425	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) )
15		elnn1uz2 9986	. . . . . . 7 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN <-> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 \/ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
16		nncn 9291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> K e. CC )
17	11	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC )
18	11	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 )
19	16, 17, 18	3jca 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
21		diveqap1 9025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
23	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( 2 pCnt K ) e. NN0 )
24		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 2 pCnt K ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) )
25	24	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 2 pCnt K ) -> ( K = ( 2 ^ n ) <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) /\ n = ( 2 pCnt K ) ) -> ( K = ( 2 ^ n ) <-> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) )
28	23, 26, 27	rspcedvd 2935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) )
30		pm2.24 630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( K = ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
33	22, 32	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
35		exprmfct 12894	. . . . . . . . 9 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) )
36		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = 2 -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
37	36	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q = 2 -> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( q = 2 -> 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
39	38	necon3bd 2463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> q =/= 2 ) )
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> q =/= 2 ) ) )
41		prmnn 12866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
42	5, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN -> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN )
43		nndivides 12542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( q e. NN /\ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) )
45		eqcom 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) )
46	16	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> K e. CC )
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
48	41	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. NN )
49	47, 48	nnmulcld 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( m x. q ) e. NN )
50	49	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( m x. q ) e. CC )
51	17, 18	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
52	51	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) )
53		divmulap 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. CC /\ ( m x. q ) e. CC /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) # 0 ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
54	46, 50, 52, 53	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = ( m x. q ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
55	45, 54	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> q e. Prime )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. Prime )
58	57	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( q e. Prime /\ q =/= 2 ) )
59		eldifsn 3836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( q e. Prime /\ q =/= 2 ) )
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q e. ( Prime \ { 2 } ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q e. ( Prime \ { 2 } ) )
62		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = q -> ( p || K <-> q || K ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) /\ p = q ) -> ( p || K <-> q || K ) )
64	11	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN )
65	64, 47	nnmulcld 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. NN )
66	65	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ )
67	41	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
68	67	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. ZZ )
69	66, 68	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) )
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) )
71		dvdsmul2 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> q || ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q || ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) )
73		2nn0 9559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 2 e. NN0
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( K e. NN -> 2 e. NN0 )
75	74, 10	nn0expcld 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN0 )
76	75	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. NN0 )
77	76	nn0cnd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC )
78		nncn 9291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( m e. NN -> m e. CC )
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> m e. CC )
80	41	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( q e. Prime -> q e. CC )
81	80	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> q e. CC )
82	77, 79, 81	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) )
84		mulass 8300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) e. CC /\ m e. CC /\ q e. CC ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) = ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. m ) x. q ) = ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
86	72, 85	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) -> q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) )
88		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) <-> q || K ) )
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> ( q || ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) <-> q || K ) )
90	87, 89	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> q || K )
91	61, 63, 90	rspcedvd 2935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )
92	91	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) /\ q =/= 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
93	92	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( q =/= 2 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) x. ( m x. q ) ) = K -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
95	55, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
96	95	rexlimdva 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( E. m e. NN ( m x. q ) = ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
97	44, 96	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( q =/= 2 -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
98	40, 97	syldd 67	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
99	98	rexlimdva 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
100	99	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( K e. NN -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
101	100	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( E. q e. Prime q || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
102	35, 101	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
103	34, 102	jaoi 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) = 1 \/ ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
104	15, 103	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN -> ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
105	104	com12 30	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) e. NN -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
106	14, 105	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) )
107	106	ex 115	. . 3 |- ( K e. NN -> ( -. 2 || ( K / ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 pCnt K ) ) || K -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) ) ) )
108	3, 5, 107	mp2d 47	. 2 |- ( K e. NN -> ( -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K ) )
109	108	imp 124	1 |- ( ( K e. NN /\ -. E. n e. NN0 K = ( 2 ^ n ) ) -> E. p e. ( Prime \ { 2 } ) p || K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   \ cdif 3217   {csn 3705   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ^cexp 10953   || cdvds 12532   Primecprime 12863   pCnt cpc 13041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-prm 12864  df-pc 13042

This theorem is referenced by: (None)