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Theorem xmettx 13980
Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets, expressed as a binary topological product. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetxp.p  |-  P  =  ( u  e.  ( X  X.  Y ) ,  v  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  sup ( { ( ( 1st `  u
) M ( 1st `  v ) ) ,  ( ( 2nd `  u
) N ( 2nd `  v ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
xmetxp.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
xmetxp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
xmettx.j  |-  J  =  ( MetOpen `  M )
xmettx.k  |-  K  =  ( MetOpen `  N )
xmettx.l  |-  L  =  ( MetOpen `  P )
Assertion
Ref Expression
xmettx  |-  ( ph  ->  L  =  ( J 
tX  K ) )
Distinct variable groups:    u, M, v   
u, N, v    u, X, v    u, Y, v
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    P( v, u)    J( v, u)    K( v, u)    L( v, u)

Proof of Theorem xmettx
Dummy variables  j  k  m  n  x  y  r  s  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetxp.p . . 3  |-  P  =  ( u  e.  ( X  X.  Y ) ,  v  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  sup ( { ( ( 1st `  u
) M ( 1st `  v ) ) ,  ( ( 2nd `  u
) N ( 2nd `  v ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
2 xmetxp.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
3 xmetxp.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
4 xmettx.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  M )
5 xmettx.k . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  N )
6 xmettx.l . . 3  |-  L  =  ( MetOpen `  P )
71, 2, 3, 4, 5, 6xmettxlem 13979 . 2  |-  ( ph  ->  L  C_  ( J  tX  K ) )
8 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  =  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )
98elrnmpog 5986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
r  e.  J , 
s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  <->  E. r  e.  J  E. s  e.  K  w  =  ( r  X.  s ) ) )
109elv 2741 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  <->  E. r  e.  J  E. s  e.  K  w  =  ( r  X.  s ) )
1110biimpi 120 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  ->  E. r  e.  J  E. s  e.  K  w  =  ( r  X.  s ) )
1211adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) ) )  ->  E. r  e.  J  E. s  e.  K  w  =  ( r  X.  s ) )
13 xpeq1 4640 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  x  ->  (
r  X.  s )  =  ( x  X.  s ) )
1413eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  x  ->  (
w  =  ( r  X.  s )  <->  w  =  ( x  X.  s
) ) )
15 xpeq2 4641 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  y  ->  (
x  X.  s )  =  ( x  X.  y ) )
1615eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  y  ->  (
w  =  ( x  X.  s )  <->  w  =  ( x  X.  y
) ) )
1714, 16cbvrex2v 2717 . . . . . . . 8  |-  ( E. r  e.  J  E. s  e.  K  w  =  ( r  X.  s )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  w  =  ( x  X.  y
) )
1812, 17sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  w  =  ( x  X.  y ) )
19 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  ->  w  =  ( x  X.  y ) )
20 simplll 533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  ->  ph )
21 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  ->  x  e.  J )
22 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  -> 
y  e.  K )
234mopntopon 13913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
242, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
26 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  x  e.  J )
27 toponss 13496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  J )  ->  x  C_  X )
2825, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  x  C_  X )
295mopntopon 13913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
303, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3130adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
32 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
y  e.  K )
33 toponss 13496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  y  e.  K )  ->  y  C_  Y )
3431, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
y  C_  Y )
35 xpss12 4733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  X  /\  y  C_  Y )  -> 
( x  X.  y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
3628, 34, 35syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x  X.  y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
371, 2, 3xmetxp 13977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y ) ) )
38 unirnbl 13893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y
) )  ->  U. ran  ( ball `  P )  =  ( X  X.  Y ) )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U. ran  ( ball `  P )  =  ( X  X.  Y ) )
4039adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  U. ran  ( ball `  P
)  =  ( X  X.  Y ) )
4136, 40sseqtrrd 3194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x  X.  y
)  C_  U. ran  ( ball `  P ) )
422ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
43 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  x  e.  J )
44 xp1st 6165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( x  X.  y )  ->  ( 1st `  j )  e.  x )
4544adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  ( 1st `  j )  e.  x )
464mopni2 13953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  J  /\  ( 1st `  j
)  e.  x )  ->  E. m  e.  RR+  ( ( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x )
4742, 43, 45, 46syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  E. m  e.  RR+  ( ( 1st `  j ) ( ball `  M ) m ) 
C_  x )
483ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
49 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  y  e.  K )
50 xp2nd 6166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( x  X.  y )  ->  ( 2nd `  j )  e.  y )
5150adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  ( 2nd `  j )  e.  y )
525mopni2 13953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  y  e.  K  /\  ( 2nd `  j
)  e.  y )  ->  E. n  e.  RR+  ( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y )
5348, 49, 51, 52syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  E. n  e.  RR+  ( ( 2nd `  j ) ( ball `  N ) n ) 
C_  y )
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  ->  E. n  e.  RR+  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y )
55 blf 13880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y
) )  ->  ( ball `  P ) : ( ( X  X.  Y )  X.  RR* )
--> ~P ( X  X.  Y ) )
5637, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ball `  P
) : ( ( X  X.  Y )  X.  RR* ) --> ~P ( X  X.  Y ) )
5756ffnd 5366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ball `  P
)  Fn  ( ( X  X.  Y )  X.  RR* ) )
5857ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ball `  P )  Fn  ( ( X  X.  Y )  X.  RR* ) )
5936sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  j  e.  ( X  X.  Y
) )
6059ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
j  e.  ( X  X.  Y ) )
61 rpxr 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  RR+  ->  m  e. 
RR* )
6261ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  ->  m  e.  RR* )
6362adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  m  e.  RR* )
64 rpxr 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e. 
RR* )
6564ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  n  e.  RR* )
66 xrmincl 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6763, 65, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
68 fnovrn 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ball `  P
)  Fn  ( ( X  X.  Y )  X.  RR* )  /\  j  e.  ( X  X.  Y
)  /\ inf ( {
m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
j ( ball `  P
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  e. 
ran  ( ball `  P
) )
6958, 60, 67, 68syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  e.  ran  ( ball `  P ) )
70 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( j (
ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( j  e.  k  <->  j  e.  ( j ( ball `  P
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
71 sseq1 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( j (
ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( k  C_  ( x  X.  y
)  <->  ( j (
ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( x  X.  y ) ) )
7270, 71anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( j (
ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( (
j  e.  k  /\  k  C_  ( x  X.  y ) )  <->  ( j  e.  ( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  /\  ( j
( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( x  X.  y ) ) ) )
7372adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  j  e.  ( x  X.  y ) )  /\  ( m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  /\  k  =  ( j
( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  (
( j  e.  k  /\  k  C_  (
x  X.  y ) )  <->  ( j  e.  ( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  /\  ( j
( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( x  X.  y ) ) ) )
7437ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y ) ) )
75 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  m  e.  RR+ )
76 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  n  e.  RR+ )
77 xrminrpcl 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR+ )
7875, 76, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR+ )
79 blcntr 13886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y ) )  /\  j  e.  ( X  X.  Y )  /\ inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR+ )  ->  j  e.  ( j ( ball `  P
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) )
8074, 60, 78, 79syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
j  e.  ( j ( ball `  P
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) )
8142ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
8248ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
831, 81, 82, 67, 60xmetxpbl 13978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  =  ( ( ( 1st `  j
) ( ball `  M
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  X.  ( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
8428adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  x  C_  X )
8584, 45sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  ( 1st `  j )  e.  X )
8685ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( 1st `  j
)  e.  X )
87 xrmin1inf 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  m )
8863, 65, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  m )
89 ssbl 13896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( 1st `  j )  e.  X
)  /\  (inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  m  e.  RR* )  /\ inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  m )  -> 
( ( 1st `  j
) ( ball `  M
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( ( 1st `  j
) ( ball `  M
) m ) )
9081, 86, 67, 63, 88, 89syl221anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 1st `  j
) ( ball `  M
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( ( 1st `  j
) ( ball `  M
) m ) )
91 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x )
9290, 91sstrd 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 1st `  j
) ( ball `  M
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  x )
9334adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  y  C_  Y )
9493, 51sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  ( 2nd `  j )  e.  Y )
9594ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( 2nd `  j
)  e.  Y )
96 xrmin2inf 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  n )
9763, 65, 96syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  n )
98 ssbl 13896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  ( 2nd `  j )  e.  Y
)  /\  (inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  /\ inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  n )  -> 
( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n ) )
9982, 95, 67, 65, 97, 98syl221anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n ) )
100 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y )
10199, 100sstrd 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  y )
102 xpss12 4733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( 1st `  j
) ( ball `  M
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  x  /\  ( ( 2nd `  j ) ( ball `  N )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  C_  y )  ->  ( ( ( 1st `  j ) ( ball `  M )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  X.  ( ( 2nd `  j ) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) ) 
C_  ( x  X.  y ) )
10392, 101, 102syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( ( 1st `  j ) ( ball `  M )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  X.  ( ( 2nd `  j ) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) ) 
C_  ( x  X.  y ) )
10483, 103eqsstrd 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  C_  ( x  X.  y ) )
10580, 104jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( j  e.  ( j ( ball `  P
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  /\  ( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  C_  ( x  X.  y ) ) )
10669, 73, 105rspcedvd 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  E. k  e.  ran  ( ball `  P )
( j  e.  k  /\  k  C_  (
x  X.  y ) ) )
10754, 106rexlimddv 2599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  ->  E. k  e.  ran  ( ball `  P )
( j  e.  k  /\  k  C_  (
x  X.  y ) ) )
10847, 107rexlimddv 2599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  E. k  e.  ran  ( ball `  P
) ( j  e.  k  /\  k  C_  ( x  X.  y
) ) )
109108ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  A. j  e.  (
x  X.  y ) E. k  e.  ran  ( ball `  P )
( j  e.  k  /\  k  C_  (
x  X.  y ) ) )
11041, 109jca 306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( x  X.  y )  C_  U. ran  ( ball `  P )  /\  A. j  e.  ( x  X.  y ) E. k  e.  ran  ( ball `  P )
( j  e.  k  /\  k  C_  (
x  X.  y ) ) ) )
111 blex 13857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y
) )  ->  ( ball `  P )  e. 
_V )
11237, 111syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ball `  P
)  e.  _V )
113112adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ball `  P )  e.  _V )
114 rnexg 4892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ball `  P )  e.  _V  ->  ran  ( ball `  P )  e.  _V )
115 eltg2 13523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  ( ball `  P
)  e.  _V  ->  ( ( x  X.  y
)  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) )  <->  ( (
x  X.  y ) 
C_  U. ran  ( ball `  P )  /\  A. j  e.  ( x  X.  y ) E. k  e.  ran  ( ball `  P
) ( j  e.  k  /\  k  C_  ( x  X.  y
) ) ) ) )
116113, 114, 1153syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( x  X.  y )  e.  (
topGen `  ran  ( ball `  P ) )  <->  ( (
x  X.  y ) 
C_  U. ran  ( ball `  P )  /\  A. j  e.  ( x  X.  y ) E. k  e.  ran  ( ball `  P
) ( j  e.  k  /\  k  C_  ( x  X.  y
) ) ) ) )
117110, 116mpbird 167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
11820, 21, 22, 117syl12anc 1236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
11919, 118eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  ->  w  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
120119ex 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( w  =  ( x  X.  y )  ->  w  e.  (
topGen `  ran  ( ball `  P ) ) ) )
121120rexlimdvva 2602 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) ) )  -> 
( E. x  e.  J  E. y  e.  K  w  =  ( x  X.  y )  ->  w  e.  (
topGen `  ran  ( ball `  P ) ) ) )
12218, 121mpd 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) ) )  ->  w  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
123122ex 115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) )  ->  w  e.  ( topGen `  ran  ( ball `  P ) ) ) )
124123ssrdv 3161 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  P ) ) )
1254mopntop 13914 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
1262, 125syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
1275mopntop 13914 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  Top )
1283, 127syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
129 mpoexga 6212 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) )  e.  _V )
130126, 128, 129syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) )  e.  _V )
131 rnexg 4892 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  J , 
s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  e.  _V  ->  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) )  e.  _V )
132130, 131syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V )
13337, 111, 1143syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( ball `  P
)  e.  _V )
134 tgss3 13548 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V  /\  ran  ( ball `  P )  e.  _V )  ->  ( ( topGen ` 
ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) ) 
C_  ( topGen `  ran  ( ball `  P )
)  <->  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  P ) ) ) )
135132, 133, 134syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  P ) )  <->  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) 
C_  ( topGen `  ran  ( ball `  P )
) ) )
136124, 135mpbird 167 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  C_  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
137 eqid 2177 . . . . 5  |-  ran  (
r  e.  J , 
s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  =  ran  (
r  e.  J , 
s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )
138137txval 13725 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
139126, 128, 138syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
1406mopnval 13912 . . . 4  |-  ( P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y
) )  ->  L  =  ( topGen `  ran  ( ball `  P )
) )
14137, 140syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  L  =  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
142136, 139, 1413sstr4d 3200 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  C_  L )
1437, 142eqssd 3172 1  |-  ( ph  ->  L  =  ( J 
tX  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737    C_ wss 3129   ~Pcpw 3575   {cpr 3593   U.cuni 3809   class class class wbr 4003    X. cxp 4624   ran crn 4627    Fn wfn 5211   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    e. cmpo 5876   1stc1st 6138   2ndc2nd 6139   supcsup 6980  infcinf 6981   RR*cxr 7990    < clt 7991    <_ cle 7992   RR+crp 9652   topGenctg 12702   *Metcxmet 13410   ballcbl 13412   MetOpencmopn 13415   Topctop 13467  TopOnctopon 13480    tX ctx 13722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-tx 13723
This theorem is referenced by:  txmetcnp  13988
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