Theorem xmettx 12679

Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets, expressed as a binary topological product. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetxp.p	|- P = ( u e. ( X X. Y ) , v e. ( X X. Y ) |-> sup ( { ( ( 1st ` u ) M ( 1st ` v ) ) , ( ( 2nd ` u ) N ( 2nd ` v ) ) } , RR* , < ) )
xmetxp.1	|- ( ph -> M e. ( *Met ` X ) )
xmetxp.2	|- ( ph -> N e. ( *Met ` Y ) )
xmettx.j	|- J = ( MetOpen ` M )
xmettx.k	|- K = ( MetOpen ` N )
xmettx.l	|- L = ( MetOpen ` P )

Assertion

Ref	Expression
xmettx	|- ( ph -> L = ( J tX K ) )

Distinct variable groups:   u, M, v   u, N, v   u, X, v   u, Y, v

Allowed substitution hints:   ph( v, u)   P( v, u)   J( v, u)   K( v, u)   L( v, u)

Proof of Theorem xmettx

Dummy variables j k m n x y r s w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetxp.p	. . 3 |- P = ( u e. ( X X. Y ) , v e. ( X X. Y ) |-> sup ( { ( ( 1st ` u ) M ( 1st ` v ) ) , ( ( 2nd ` u ) N ( 2nd ` v ) ) } , RR* , < ) )
2		xmetxp.1	. . 3 |- ( ph -> M e. ( *Met ` X ) )
3		xmetxp.2	. . 3 |- ( ph -> N e. ( *Met ` Y ) )
4		xmettx.j	. . 3 |- J = ( MetOpen ` M )
5		xmettx.k	. . 3 |- K = ( MetOpen ` N )
6		xmettx.l	. . 3 |- L = ( MetOpen ` P )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	xmettxlem 12678	. 2 |- ( ph -> L C_ ( J tX K ) )
8		eqid 2139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) = ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) )
9	8	elrnmpog 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. _V -> ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) <-> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) ) )
10	9	elv 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) <-> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
11	10	biimpi 119	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) -> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
12	11	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
13		xpeq1 4553	. . . . . . . . . 10 |- ( r = x -> ( r X. s ) = ( x X. s ) )
14	13	eqeq2d 2151	. . . . . . . . 9 |- ( r = x -> ( w = ( r X. s ) <-> w = ( x X. s ) ) )
15		xpeq2 4554	. . . . . . . . . 10 |- ( s = y -> ( x X. s ) = ( x X. y ) )
16	15	eqeq2d 2151	. . . . . . . . 9 |- ( s = y -> ( w = ( x X. s ) <-> w = ( x X. y ) ) )
17	14, 16	cbvrex2v 2666	. . . . . . . 8 |- ( E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) <-> E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) )
18	12, 17	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) )
19		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> w = ( x X. y ) )
20		simplll 522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> ph )
21		simplrl 524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> x e. J )
22		simplrr 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> y e. K )
23	4	mopntopon 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
24	2, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
26		simprl 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x e. J )
27		toponss 12193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x e. J ) -> x C_ X )
28	25, 26, 27	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x C_ X )
29	5	mopntopon 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
30	3, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
31	30	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
32		simprr 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y e. K )
33		toponss 12193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ y e. K ) -> y C_ Y )
34	31, 32, 33	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y C_ Y )
35		xpss12 4646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x C_ X /\ y C_ Y ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
36	28, 34, 35	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
37	1, 2, 3	xmetxp 12676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) )
38		unirnbl 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
41	36, 40	sseqtrrd 3136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) )
42	2	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
43		simplrl 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> x e. J )
44		xp1st 6063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( x X. y ) -> ( 1st ` j ) e. x )
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 1st ` j ) e. x )
46	4	mopni2 12652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. J /\ ( 1st ` j ) e. x ) -> E. m e. RR+ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
47	42, 43, 45, 46	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. m e. RR+ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
48	3	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
49		simplrr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> y e. K )
50		xp2nd 6064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( x X. y ) -> ( 2nd ` j ) e. y )
51	50	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. y )
52	5	mopni2 12652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ y e. K /\ ( 2nd ` j ) e. y ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
55		blf 12579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> ( ball ` P ) : ( ( X X. Y ) X. RR* ) --> ~P ( X X. Y ) )
56	37, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ball ` P ) : ( ( X X. Y ) X. RR* ) --> ~P ( X X. Y ) )
57	56	ffnd 5273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) )
58	57	ad4antr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) )
59	36	sselda 3097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> j e. ( X X. Y ) )
60	59	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> j e. ( X X. Y ) )
61		rpxr 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. RR+ -> m e. RR* )
62	61	ad2antrl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> m e. RR* )
63	62	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> m e. RR* )
64		rpxr 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. RR+ -> n e. RR* )
65	64	ad2antrl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> n e. RR* )
66		xrmincl 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* )
67	63, 65, 66	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* )
68		fnovrn 5918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) /\ j e. ( X X. Y ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` P ) )
69	58, 60, 67, 68	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` P ) )
70		eleq2 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( j e. k <-> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) )
71		sseq1 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( k C_ ( x X. y ) <-> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) )
72	70, 71	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) <-> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) ) )
73	72	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) /\ k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) -> ( ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) <-> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) ) )
74	37	ad4antr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) )
75		simplrl 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> m e. RR+ )
76		simprl 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> n e. RR+ )
77		xrminrpcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ )
78	75, 76, 77	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ )
79		blcntr 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) /\ j e. ( X X. Y ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ ) -> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) )
80	74, 60, 78, 79	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) )
81	42	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
82	48	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
83	1, 81, 82, 67, 60	xmetxpbl 12677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) = ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) )
84	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> x C_ X )
85	84, 45	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 1st ` j ) e. X )
86	85	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( 1st ` j ) e. X )
87		xrmin1inf 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m )
88	63, 65, 87	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m )
89		ssbl 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( 1st ` j ) e. X ) /\ (inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* /\ m e. RR* ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) )
90	81, 86, 67, 63, 88, 89	syl221anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) )
91		simplrr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
92	90, 91	sstrd 3107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ x )
93	34	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> y C_ Y )
94	93, 51	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. Y )
95	94	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. Y )
96		xrmin2inf 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n )
97	63, 65, 96	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n )
98		ssbl 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ ( 2nd ` j ) e. Y ) /\ (inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* /\ n e. RR* ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) )
99	82, 95, 67, 65, 97, 98	syl221anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) )
100		simprr 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
101	99, 100	sstrd 3107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ y )
102		xpss12 4646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ x /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ y ) -> ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) C_ ( x X. y ) )
103	92, 101, 102	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) C_ ( x X. y ) )
104	83, 103	eqsstrd 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) )
105	80, 104	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) )
106	69, 73, 105	rspcedvd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
107	54, 106	rexlimddv 2554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
108	47, 107	rexlimddv 2554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
109	108	ralrimiva 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
110	41, 109	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) )
111		blex 12556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> ( ball ` P ) e. _V )
112	37, 111	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ball ` P ) e. _V )
113	112	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ball ` P ) e. _V )
114		rnexg 4804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ball ` P ) e. _V -> ran ( ball ` P ) e. _V )
115		eltg2 12222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran ( ball ` P ) e. _V -> ( ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) ) )
116	113, 114, 115	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) ) )
117	110, 116	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
118	20, 21, 22, 117	syl12anc 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
119	19, 118	eqeltrd 2216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
120	119	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( w = ( x X. y ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
121	120	rexlimdvva 2557	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> ( E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
122	18, 121	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
123	122	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
124	123	ssrdv 3103	. . . 4 |- ( ph -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
125	4	mopntop 12613	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
126	2, 125	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
127	5	mopntop 12613	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> K e. Top )
128	3, 127	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Top )
129		mpoexga 6110	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
130	126, 128, 129	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ph -> ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
131		rnexg 4804	. . . . . 6 |- ( ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
132	130, 131	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
133	37, 111, 114	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( ball ` P ) e. _V )
134		tgss3 12247	. . . . 5 |- ( ( ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V /\ ran ( ball ` P ) e. _V ) -> ( ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
135	132, 133, 134	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
136	124, 135	mpbird 166	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
137		eqid 2139	. . . . 5 |- ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) )
138	137	txval 12424	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) )
139	126, 128, 138	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) )
140	6	mopnval 12611	. . . 4 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> L = ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
141	37, 140	syl 14	. . 3 |- ( ph -> L = ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
142	136, 139, 141	3sstr4d 3142	. 2 |- ( ph -> ( J tX K ) C_ L )
143	7, 142	eqssd 3114	1 |- ( ph -> L = ( J tX K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   {cpr 3528   U.cuni 3736   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   ran crn 4540   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037   supcsup 6869  infcinf 6870   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801   RR+crp 9441   topGenctg 12135   *Metcxmet 12149   ballcbl 12151   MetOpencmopn 12154   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   tX ctx 12421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-tx 12422

This theorem is referenced by:  txmetcnp  12687