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Theorem xmettx 12585
Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets, expressed as a binary topological product. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetxp.p  |-  P  =  ( u  e.  ( X  X.  Y ) ,  v  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  sup ( { ( ( 1st `  u
) M ( 1st `  v ) ) ,  ( ( 2nd `  u
) N ( 2nd `  v ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
xmetxp.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
xmetxp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
xmettx.j  |-  J  =  ( MetOpen `  M )
xmettx.k  |-  K  =  ( MetOpen `  N )
xmettx.l  |-  L  =  ( MetOpen `  P )
Assertion
Ref Expression
xmettx  |-  ( ph  ->  L  =  ( J 
tX  K ) )
Distinct variable groups:    u, M, v   
u, N, v    u, X, v    u, Y, v
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    P( v, u)    J( v, u)    K( v, u)    L( v, u)

Proof of Theorem xmettx
Dummy variables  j  k  m  n  x  y  r  s  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetxp.p . . 3  |-  P  =  ( u  e.  ( X  X.  Y ) ,  v  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  sup ( { ( ( 1st `  u
) M ( 1st `  v ) ) ,  ( ( 2nd `  u
) N ( 2nd `  v ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
2 xmetxp.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
3 xmetxp.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
4 xmettx.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  M )
5 xmettx.k . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  N )
6 xmettx.l . . 3  |-  L  =  ( MetOpen `  P )
71, 2, 3, 4, 5, 6xmettxlem 12584 . 2  |-  ( ph  ->  L  C_  ( J  tX  K ) )
8 eqid 2115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  =  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )
98elrnmpog 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
r  e.  J , 
s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  <->  E. r  e.  J  E. s  e.  K  w  =  ( r  X.  s ) ) )
109elv 2662 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  <->  E. r  e.  J  E. s  e.  K  w  =  ( r  X.  s ) )
1110biimpi 119 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  ->  E. r  e.  J  E. s  e.  K  w  =  ( r  X.  s ) )
1211adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) ) )  ->  E. r  e.  J  E. s  e.  K  w  =  ( r  X.  s ) )
13 xpeq1 4521 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  x  ->  (
r  X.  s )  =  ( x  X.  s ) )
1413eqeq2d 2127 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  x  ->  (
w  =  ( r  X.  s )  <->  w  =  ( x  X.  s
) ) )
15 xpeq2 4522 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  y  ->  (
x  X.  s )  =  ( x  X.  y ) )
1615eqeq2d 2127 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  y  ->  (
w  =  ( x  X.  s )  <->  w  =  ( x  X.  y
) ) )
1714, 16cbvrex2v 2638 . . . . . . . 8  |-  ( E. r  e.  J  E. s  e.  K  w  =  ( r  X.  s )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  w  =  ( x  X.  y
) )
1812, 17sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  w  =  ( x  X.  y ) )
19 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  ->  w  =  ( x  X.  y ) )
20 simplll 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  ->  ph )
21 simplrl 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  ->  x  e.  J )
22 simplrr 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  -> 
y  e.  K )
234mopntopon 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
242, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2524adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
26 simprl 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  x  e.  J )
27 toponss 12099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  J )  ->  x  C_  X )
2825, 26, 27syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  x  C_  X )
295mopntopon 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
303, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3130adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
32 simprr 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
y  e.  K )
33 toponss 12099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  y  e.  K )  ->  y  C_  Y )
3431, 32, 33syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
y  C_  Y )
35 xpss12 4614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  X  /\  y  C_  Y )  -> 
( x  X.  y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
3628, 34, 35syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x  X.  y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
371, 2, 3xmetxp 12582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y ) ) )
38 unirnbl 12498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y
) )  ->  U. ran  ( ball `  P )  =  ( X  X.  Y ) )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U. ran  ( ball `  P )  =  ( X  X.  Y ) )
4039adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  U. ran  ( ball `  P
)  =  ( X  X.  Y ) )
4136, 40sseqtrrd 3104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x  X.  y
)  C_  U. ran  ( ball `  P ) )
422ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
43 simplrl 507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  x  e.  J )
44 xp1st 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( x  X.  y )  ->  ( 1st `  j )  e.  x )
4544adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  ( 1st `  j )  e.  x )
464mopni2 12558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  J  /\  ( 1st `  j
)  e.  x )  ->  E. m  e.  RR+  ( ( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x )
4742, 43, 45, 46syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  E. m  e.  RR+  ( ( 1st `  j ) ( ball `  M ) m ) 
C_  x )
483ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
49 simplrr 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  y  e.  K )
50 xp2nd 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( x  X.  y )  ->  ( 2nd `  j )  e.  y )
5150adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  ( 2nd `  j )  e.  y )
525mopni2 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  y  e.  K  /\  ( 2nd `  j
)  e.  y )  ->  E. n  e.  RR+  ( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y )
5348, 49, 51, 52syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  E. n  e.  RR+  ( ( 2nd `  j ) ( ball `  N ) n ) 
C_  y )
5453adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  ->  E. n  e.  RR+  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y )
55 blf 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y
) )  ->  ( ball `  P ) : ( ( X  X.  Y )  X.  RR* )
--> ~P ( X  X.  Y ) )
5637, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ball `  P
) : ( ( X  X.  Y )  X.  RR* ) --> ~P ( X  X.  Y ) )
5756ffnd 5241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ball `  P
)  Fn  ( ( X  X.  Y )  X.  RR* ) )
5857ad4antr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ball `  P )  Fn  ( ( X  X.  Y )  X.  RR* ) )
5936sselda 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  j  e.  ( X  X.  Y
) )
6059ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
j  e.  ( X  X.  Y ) )
61 rpxr 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  RR+  ->  m  e. 
RR* )
6261ad2antrl 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  ->  m  e.  RR* )
6362adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  m  e.  RR* )
64 rpxr 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e. 
RR* )
6564ad2antrl 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  n  e.  RR* )
66 xrmincl 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6763, 65, 66syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
68 fnovrn 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ball `  P
)  Fn  ( ( X  X.  Y )  X.  RR* )  /\  j  e.  ( X  X.  Y
)  /\ inf ( {
m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
j ( ball `  P
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  e. 
ran  ( ball `  P
) )
6958, 60, 67, 68syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  e.  ran  ( ball `  P ) )
70 eleq2 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( j (
ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( j  e.  k  <->  j  e.  ( j ( ball `  P
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
71 sseq1 3088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( j (
ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( k  C_  ( x  X.  y
)  <->  ( j (
ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( x  X.  y ) ) )
7270, 71anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( j (
ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( (
j  e.  k  /\  k  C_  ( x  X.  y ) )  <->  ( j  e.  ( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  /\  ( j
( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( x  X.  y ) ) ) )
7372adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  j  e.  ( x  X.  y ) )  /\  ( m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  /\  k  =  ( j
( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  (
( j  e.  k  /\  k  C_  (
x  X.  y ) )  <->  ( j  e.  ( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  /\  ( j
( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( x  X.  y ) ) ) )
7437ad4antr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y ) ) )
75 simplrl 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  m  e.  RR+ )
76 simprl 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  n  e.  RR+ )
77 xrminrpcl 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR+ )
7875, 76, 77syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR+ )
79 blcntr 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y ) )  /\  j  e.  ( X  X.  Y )  /\ inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR+ )  ->  j  e.  ( j ( ball `  P
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) )
8074, 60, 78, 79syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
j  e.  ( j ( ball `  P
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) )
8142ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
8248ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
831, 81, 82, 67, 60xmetxpbl 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  =  ( ( ( 1st `  j
) ( ball `  M
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  X.  ( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
8428adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  x  C_  X )
8584, 45sseldd 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  ( 1st `  j )  e.  X )
8685ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( 1st `  j
)  e.  X )
87 xrmin1inf 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  m )
8863, 65, 87syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  m )
89 ssbl 12501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( 1st `  j )  e.  X
)  /\  (inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  m  e.  RR* )  /\ inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  m )  -> 
( ( 1st `  j
) ( ball `  M
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( ( 1st `  j
) ( ball `  M
) m ) )
9081, 86, 67, 63, 88, 89syl221anc 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 1st `  j
) ( ball `  M
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( ( 1st `  j
) ( ball `  M
) m ) )
91 simplrr 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x )
9290, 91sstrd 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 1st `  j
) ( ball `  M
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  x )
9334adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  y  C_  Y )
9493, 51sseldd 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  ( 2nd `  j )  e.  Y )
9594ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( 2nd `  j
)  e.  Y )
96 xrmin2inf 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  n )
9763, 65, 96syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  n )
98 ssbl 12501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  ( *Met `  Y
)  /\  ( 2nd `  j )  e.  Y
)  /\  (inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  /\ inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )  <_  n )  -> 
( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n ) )
9982, 95, 67, 65, 97, 98syl221anc 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  ( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n ) )
100 simprr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y )
10199, 100sstrd 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( 2nd `  j
) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  y )
102 xpss12 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( 1st `  j
) ( ball `  M
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  C_  x  /\  ( ( 2nd `  j ) ( ball `  N )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  C_  y )  ->  ( ( ( 1st `  j ) ( ball `  M )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  X.  ( ( 2nd `  j ) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) ) 
C_  ( x  X.  y ) )
10392, 101, 102syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( ( ( 1st `  j ) ( ball `  M )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  X.  ( ( 2nd `  j ) ( ball `  N
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) ) ) 
C_  ( x  X.  y ) )
10483, 103eqsstrd 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  C_  ( x  X.  y ) )
10580, 104jca 302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  -> 
( j  e.  ( j ( ball `  P
)inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  ) )  /\  ( j ( ball `  P )inf ( { m ,  n } ,  RR* ,  <  )
)  C_  ( x  X.  y ) ) )
10669, 73, 105rspcedvd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  (
( 2nd `  j
) ( ball `  N
) n )  C_  y ) )  ->  E. k  e.  ran  ( ball `  P )
( j  e.  k  /\  k  C_  (
x  X.  y ) ) )
10754, 106rexlimddv 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K
) )  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  /\  (
m  e.  RR+  /\  (
( 1st `  j
) ( ball `  M
) m )  C_  x ) )  ->  E. k  e.  ran  ( ball `  P )
( j  e.  k  /\  k  C_  (
x  X.  y ) ) )
10847, 107rexlimddv 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  j  e.  ( x  X.  y
) )  ->  E. k  e.  ran  ( ball `  P
) ( j  e.  k  /\  k  C_  ( x  X.  y
) ) )
109108ralrimiva 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  A. j  e.  (
x  X.  y ) E. k  e.  ran  ( ball `  P )
( j  e.  k  /\  k  C_  (
x  X.  y ) ) )
11041, 109jca 302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( x  X.  y )  C_  U. ran  ( ball `  P )  /\  A. j  e.  ( x  X.  y ) E. k  e.  ran  ( ball `  P )
( j  e.  k  /\  k  C_  (
x  X.  y ) ) ) )
111 blex 12462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y
) )  ->  ( ball `  P )  e. 
_V )
11237, 111syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ball `  P
)  e.  _V )
113112adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ball `  P )  e.  _V )
114 rnexg 4772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ball `  P )  e.  _V  ->  ran  ( ball `  P )  e.  _V )
115 eltg2 12128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  ( ball `  P
)  e.  _V  ->  ( ( x  X.  y
)  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) )  <->  ( (
x  X.  y ) 
C_  U. ran  ( ball `  P )  /\  A. j  e.  ( x  X.  y ) E. k  e.  ran  ( ball `  P
) ( j  e.  k  /\  k  C_  ( x  X.  y
) ) ) ) )
116113, 114, 1153syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( x  X.  y )  e.  (
topGen `  ran  ( ball `  P ) )  <->  ( (
x  X.  y ) 
C_  U. ran  ( ball `  P )  /\  A. j  e.  ( x  X.  y ) E. k  e.  ran  ( ball `  P
) ( j  e.  k  /\  k  C_  ( x  X.  y
) ) ) ) )
117110, 116mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
11820, 21, 22, 117syl12anc 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
11919, 118eqeltrd 2192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  /\  w  =  ( x  X.  y ) )  ->  w  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
120119ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( w  =  ( x  X.  y )  ->  w  e.  (
topGen `  ran  ( ball `  P ) ) ) )
121120rexlimdvva 2532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) ) )  -> 
( E. x  e.  J  E. y  e.  K  w  =  ( x  X.  y )  ->  w  e.  (
topGen `  ran  ( ball `  P ) ) ) )
12218, 121mpd 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) ) )  ->  w  e.  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
123122ex 114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) )  ->  w  e.  ( topGen `  ran  ( ball `  P ) ) ) )
124123ssrdv 3071 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  P ) ) )
1254mopntop 12519 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
1262, 125syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
1275mopntop 12519 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  Top )
1283, 127syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
129 mpoexga 6076 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) )  e.  _V )
130126, 128, 129syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) )  e.  _V )
131 rnexg 4772 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  J , 
s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  e.  _V  ->  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) )  e.  _V )
132130, 131syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V )
13337, 111, 1143syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( ball `  P
)  e.  _V )
134 tgss3 12153 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V  /\  ran  ( ball `  P )  e.  _V )  ->  ( ( topGen ` 
ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) ) 
C_  ( topGen `  ran  ( ball `  P )
)  <->  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  P ) ) ) )
135132, 133, 134syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s
) ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  P ) )  <->  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) 
C_  ( topGen `  ran  ( ball `  P )
) ) )
136124, 135mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) )  C_  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
137 eqid 2115 . . . . 5  |-  ran  (
r  e.  J , 
s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )  =  ran  (
r  e.  J , 
s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) )
138137txval 12330 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
139126, 128, 138syl2anc 406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  J ,  s  e.  K  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
1406mopnval 12517 . . . 4  |-  ( P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y
) )  ->  L  =  ( topGen `  ran  ( ball `  P )
) )
14137, 140syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  L  =  ( topGen ` 
ran  ( ball `  P
) ) )
142136, 139, 1413sstr4d 3110 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  C_  L )
1437, 142eqssd 3082 1  |-  ( ph  ->  L  =  ( J 
tX  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   _Vcvv 2658    C_ wss 3039   ~Pcpw 3478   {cpr 3496   U.cuni 3704   class class class wbr 3897    X. cxp 4505   ran crn 4508    Fn wfn 5086   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    e. cmpo 5742   1stc1st 6002   2ndc2nd 6003   supcsup 6835  infcinf 6836   RR*cxr 7763    < clt 7764    <_ cle 7765   RR+crp 9393   topGenctg 12041   *Metcxmet 12055   ballcbl 12057   MetOpencmopn 12060   Topctop 12070  TopOnctopon 12083    tX ctx 12327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-map 6510  df-sup 6837  df-inf 6838  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-xneg 9510  df-xadd 9511  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-topgen 12047  df-psmet 12062  df-xmet 12063  df-bl 12065  df-mopn 12066  df-top 12071  df-topon 12084  df-bases 12116  df-tx 12328
This theorem is referenced by:  txmetcnp  12593
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