Theorem xmettx 13677

Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets, expressed as a binary topological product. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetxp.p	|- P = ( u e. ( X X. Y ) , v e. ( X X. Y ) |-> sup ( { ( ( 1st ` u ) M ( 1st ` v ) ) , ( ( 2nd ` u ) N ( 2nd ` v ) ) } , RR* , < ) )
xmetxp.1	|- ( ph -> M e. ( *Met ` X ) )
xmetxp.2	|- ( ph -> N e. ( *Met ` Y ) )
xmettx.j	|- J = ( MetOpen ` M )
xmettx.k	|- K = ( MetOpen ` N )
xmettx.l	|- L = ( MetOpen ` P )

Assertion

Ref	Expression
xmettx	|- ( ph -> L = ( J tX K ) )

Distinct variable groups:   u, M, v   u, N, v   u, X, v   u, Y, v

Allowed substitution hints:   ph( v, u)   P( v, u)   J( v, u)   K( v, u)   L( v, u)

Proof of Theorem xmettx

Dummy variables j k m n x y r s w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetxp.p	. . 3 |- P = ( u e. ( X X. Y ) , v e. ( X X. Y ) |-> sup ( { ( ( 1st ` u ) M ( 1st ` v ) ) , ( ( 2nd ` u ) N ( 2nd ` v ) ) } , RR* , < ) )
2		xmetxp.1	. . 3 |- ( ph -> M e. ( *Met ` X ) )
3		xmetxp.2	. . 3 |- ( ph -> N e. ( *Met ` Y ) )
4		xmettx.j	. . 3 |- J = ( MetOpen ` M )
5		xmettx.k	. . 3 |- K = ( MetOpen ` N )
6		xmettx.l	. . 3 |- L = ( MetOpen ` P )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	xmettxlem 13676	. 2 |- ( ph -> L C_ ( J tX K ) )
8		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) = ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) )
9	8	elrnmpog 5981	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. _V -> ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) <-> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) ) )
10	9	elv 2741	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) <-> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
11	10	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) -> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
13		xpeq1 4637	. . . . . . . . . 10 |- ( r = x -> ( r X. s ) = ( x X. s ) )
14	13	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 |- ( r = x -> ( w = ( r X. s ) <-> w = ( x X. s ) ) )
15		xpeq2 4638	. . . . . . . . . 10 |- ( s = y -> ( x X. s ) = ( x X. y ) )
16	15	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 |- ( s = y -> ( w = ( x X. s ) <-> w = ( x X. y ) ) )
17	14, 16	cbvrex2v 2717	. . . . . . . 8 |- ( E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) <-> E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) )
18	12, 17	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) )
19		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> w = ( x X. y ) )
20		simplll 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> ph )
21		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> x e. J )
22		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> y e. K )
23	4	mopntopon 13610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
24	2, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
26		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x e. J )
27		toponss 13191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x e. J ) -> x C_ X )
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x C_ X )
29	5	mopntopon 13610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
30	3, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
32		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y e. K )
33		toponss 13191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ y e. K ) -> y C_ Y )
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y C_ Y )
35		xpss12 4730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x C_ X /\ y C_ Y ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
36	28, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
37	1, 2, 3	xmetxp 13674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) )
38		unirnbl 13590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
41	36, 40	sseqtrrd 3194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) )
42	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
43		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> x e. J )
44		xp1st 6160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( x X. y ) -> ( 1st ` j ) e. x )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 1st ` j ) e. x )
46	4	mopni2 13650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. J /\ ( 1st ` j ) e. x ) -> E. m e. RR+ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
47	42, 43, 45, 46	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. m e. RR+ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
48	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
49		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> y e. K )
50		xp2nd 6161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( x X. y ) -> ( 2nd ` j ) e. y )
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. y )
52	5	mopni2 13650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ y e. K /\ ( 2nd ` j ) e. y ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
55		blf 13577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> ( ball ` P ) : ( ( X X. Y ) X. RR* ) --> ~P ( X X. Y ) )
56	37, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ball ` P ) : ( ( X X. Y ) X. RR* ) --> ~P ( X X. Y ) )
57	56	ffnd 5362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) )
58	57	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) )
59	36	sselda 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> j e. ( X X. Y ) )
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> j e. ( X X. Y ) )
61		rpxr 9648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. RR+ -> m e. RR* )
62	61	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> m e. RR* )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> m e. RR* )
64		rpxr 9648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. RR+ -> n e. RR* )
65	64	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> n e. RR* )
66		xrmincl 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* )
67	63, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* )
68		fnovrn 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) /\ j e. ( X X. Y ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` P ) )
69	58, 60, 67, 68	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` P ) )
70		eleq2 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( j e. k <-> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) )
71		sseq1 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( k C_ ( x X. y ) <-> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) )
72	70, 71	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) <-> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) ) )
73	72	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) /\ k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) -> ( ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) <-> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) ) )
74	37	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) )
75		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> m e. RR+ )
76		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> n e. RR+ )
77		xrminrpcl 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ )
78	75, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ )
79		blcntr 13583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) /\ j e. ( X X. Y ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ ) -> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) )
80	74, 60, 78, 79	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) )
81	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
82	48	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
83	1, 81, 82, 67, 60	xmetxpbl 13675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) = ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) )
84	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> x C_ X )
85	84, 45	sseldd 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 1st ` j ) e. X )
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( 1st ` j ) e. X )
87		xrmin1inf 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m )
88	63, 65, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m )
89		ssbl 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( 1st ` j ) e. X ) /\ (inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* /\ m e. RR* ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) )
90	81, 86, 67, 63, 88, 89	syl221anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) )
91		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
92	90, 91	sstrd 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ x )
93	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> y C_ Y )
94	93, 51	sseldd 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. Y )
95	94	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. Y )
96		xrmin2inf 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n )
97	63, 65, 96	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n )
98		ssbl 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ ( 2nd ` j ) e. Y ) /\ (inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* /\ n e. RR* ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) )
99	82, 95, 67, 65, 97, 98	syl221anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) )
100		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
101	99, 100	sstrd 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ y )
102		xpss12 4730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ x /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ y ) -> ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) C_ ( x X. y ) )
103	92, 101, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) C_ ( x X. y ) )
104	83, 103	eqsstrd 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) )
105	80, 104	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) )
106	69, 73, 105	rspcedvd 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
107	54, 106	rexlimddv 2599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
108	47, 107	rexlimddv 2599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
109	108	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
110	41, 109	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) )
111		blex 13554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> ( ball ` P ) e. _V )
112	37, 111	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ball ` P ) e. _V )
113	112	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ball ` P ) e. _V )
114		rnexg 4888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ball ` P ) e. _V -> ran ( ball ` P ) e. _V )
115		eltg2 13220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran ( ball ` P ) e. _V -> ( ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) ) )
116	113, 114, 115	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) ) )
117	110, 116	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
118	20, 21, 22, 117	syl12anc 1236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
119	19, 118	eqeltrd 2254	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
120	119	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( w = ( x X. y ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
121	120	rexlimdvva 2602	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> ( E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
122	18, 121	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
123	122	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
124	123	ssrdv 3161	. . . 4 |- ( ph -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
125	4	mopntop 13611	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
126	2, 125	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
127	5	mopntop 13611	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> K e. Top )
128	3, 127	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Top )
129		mpoexga 6207	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
131		rnexg 4888	. . . . . 6 |- ( ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
132	130, 131	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
133	37, 111, 114	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( ball ` P ) e. _V )
134		tgss3 13245	. . . . 5 |- ( ( ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V /\ ran ( ball ` P ) e. _V ) -> ( ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
135	132, 133, 134	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
136	124, 135	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
137		eqid 2177	. . . . 5 |- ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) )
138	137	txval 13422	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) )
139	126, 128, 138	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) )
140	6	mopnval 13609	. . . 4 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> L = ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
141	37, 140	syl 14	. . 3 |- ( ph -> L = ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
142	136, 139, 141	3sstr4d 3200	. 2 |- ( ph -> ( J tX K ) C_ L )
143	7, 142	eqssd 3172	1 |- ( ph -> L = ( J tX K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   ~Pcpw 3574   {cpr 3592   U.cuni 3807   class class class wbr 4000   X. cxp 4621   ran crn 4624   Fn wfn 5207   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   e. cmpo 5871   1stc1st 6133   2ndc2nd 6134   supcsup 6975  infcinf 6976   RR*cxr 7981   < clt 7982   <_ cle 7983   RR+crp 9640   topGenctg 12651   *Metcxmet 13147   ballcbl 13149   MetOpencmopn 13152   Topctop 13162  TopOnctopon 13175   tX ctx 13419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-tx 13420

This theorem is referenced by:  txmetcnp  13685