Theorem xmettx 15097

Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets, expressed as a binary topological product. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetxp.p	|- P = ( u e. ( X X. Y ) , v e. ( X X. Y ) |-> sup ( { ( ( 1st ` u ) M ( 1st ` v ) ) , ( ( 2nd ` u ) N ( 2nd ` v ) ) } , RR* , < ) )
xmetxp.1	|- ( ph -> M e. ( *Met ` X ) )
xmetxp.2	|- ( ph -> N e. ( *Met ` Y ) )
xmettx.j	|- J = ( MetOpen ` M )
xmettx.k	|- K = ( MetOpen ` N )
xmettx.l	|- L = ( MetOpen ` P )

Assertion

Ref	Expression
xmettx	|- ( ph -> L = ( J tX K ) )

Distinct variable groups:   u, M, v   u, N, v   u, X, v   u, Y, v

Allowed substitution hints:   ph( v, u)   P( v, u)   J( v, u)   K( v, u)   L( v, u)

Proof of Theorem xmettx

Dummy variables j k m n x y r s w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetxp.p	. . 3 |- P = ( u e. ( X X. Y ) , v e. ( X X. Y ) |-> sup ( { ( ( 1st ` u ) M ( 1st ` v ) ) , ( ( 2nd ` u ) N ( 2nd ` v ) ) } , RR* , < ) )
2		xmetxp.1	. . 3 |- ( ph -> M e. ( *Met ` X ) )
3		xmetxp.2	. . 3 |- ( ph -> N e. ( *Met ` Y ) )
4		xmettx.j	. . 3 |- J = ( MetOpen ` M )
5		xmettx.k	. . 3 |- K = ( MetOpen ` N )
6		xmettx.l	. . 3 |- L = ( MetOpen ` P )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	xmettxlem 15096	. 2 |- ( ph -> L C_ ( J tX K ) )
8		eqid 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) = ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) )
9	8	elrnmpog 6081	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. _V -> ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) <-> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) ) )
10	9	elv 2780	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) <-> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
11	10	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) -> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
13		xpeq1 4707	. . . . . . . . . 10 |- ( r = x -> ( r X. s ) = ( x X. s ) )
14	13	eqeq2d 2219	. . . . . . . . 9 |- ( r = x -> ( w = ( r X. s ) <-> w = ( x X. s ) ) )
15		xpeq2 4708	. . . . . . . . . 10 |- ( s = y -> ( x X. s ) = ( x X. y ) )
16	15	eqeq2d 2219	. . . . . . . . 9 |- ( s = y -> ( w = ( x X. s ) <-> w = ( x X. y ) ) )
17	14, 16	cbvrex2v 2756	. . . . . . . 8 |- ( E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) <-> E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) )
18	12, 17	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) )
19		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> w = ( x X. y ) )
20		simplll 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> ph )
21		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> x e. J )
22		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> y e. K )
23	4	mopntopon 15030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
24	2, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
26		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x e. J )
27		toponss 14613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x e. J ) -> x C_ X )
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x C_ X )
29	5	mopntopon 15030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
30	3, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
32		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y e. K )
33		toponss 14613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ y e. K ) -> y C_ Y )
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y C_ Y )
35		xpss12 4800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x C_ X /\ y C_ Y ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
36	28, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
37	1, 2, 3	xmetxp 15094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) )
38		unirnbl 15010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
41	36, 40	sseqtrrd 3240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) )
42	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
43		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> x e. J )
44		xp1st 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( x X. y ) -> ( 1st ` j ) e. x )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 1st ` j ) e. x )
46	4	mopni2 15070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. J /\ ( 1st ` j ) e. x ) -> E. m e. RR+ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
47	42, 43, 45, 46	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. m e. RR+ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
48	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
49		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> y e. K )
50		xp2nd 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( x X. y ) -> ( 2nd ` j ) e. y )
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. y )
52	5	mopni2 15070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ y e. K /\ ( 2nd ` j ) e. y ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
55		blf 14997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> ( ball ` P ) : ( ( X X. Y ) X. RR* ) --> ~P ( X X. Y ) )
56	37, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ball ` P ) : ( ( X X. Y ) X. RR* ) --> ~P ( X X. Y ) )
57	56	ffnd 5446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) )
58	57	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) )
59	36	sselda 3201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> j e. ( X X. Y ) )
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> j e. ( X X. Y ) )
61		rpxr 9818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. RR+ -> m e. RR* )
62	61	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> m e. RR* )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> m e. RR* )
64		rpxr 9818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. RR+ -> n e. RR* )
65	64	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> n e. RR* )
66		xrmincl 11692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* )
67	63, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* )
68		fnovrn 6117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) /\ j e. ( X X. Y ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` P ) )
69	58, 60, 67, 68	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` P ) )
70		eleq2 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( j e. k <-> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) )
71		sseq1 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( k C_ ( x X. y ) <-> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) )
72	70, 71	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) <-> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) ) )
73	72	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) /\ k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) -> ( ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) <-> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) ) )
74	37	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) )
75		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> m e. RR+ )
76		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> n e. RR+ )
77		xrminrpcl 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ )
78	75, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ )
79		blcntr 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) /\ j e. ( X X. Y ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ ) -> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) )
80	74, 60, 78, 79	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) )
81	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
82	48	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
83	1, 81, 82, 67, 60	xmetxpbl 15095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) = ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) )
84	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> x C_ X )
85	84, 45	sseldd 3202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 1st ` j ) e. X )
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( 1st ` j ) e. X )
87		xrmin1inf 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m )
88	63, 65, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m )
89		ssbl 15013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( 1st ` j ) e. X ) /\ (inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* /\ m e. RR* ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) )
90	81, 86, 67, 63, 88, 89	syl221anc 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) )
91		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
92	90, 91	sstrd 3211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ x )
93	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> y C_ Y )
94	93, 51	sseldd 3202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. Y )
95	94	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. Y )
96		xrmin2inf 11694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n )
97	63, 65, 96	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n )
98		ssbl 15013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ ( 2nd ` j ) e. Y ) /\ (inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* /\ n e. RR* ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) )
99	82, 95, 67, 65, 97, 98	syl221anc 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) )
100		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
101	99, 100	sstrd 3211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ y )
102		xpss12 4800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ x /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ y ) -> ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) C_ ( x X. y ) )
103	92, 101, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) C_ ( x X. y ) )
104	83, 103	eqsstrd 3237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) )
105	80, 104	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) )
106	69, 73, 105	rspcedvd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
107	54, 106	rexlimddv 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
108	47, 107	rexlimddv 2630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
109	108	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
110	41, 109	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) )
111		blex 14974	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> ( ball ` P ) e. _V )
112	37, 111	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ball ` P ) e. _V )
113	112	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ball ` P ) e. _V )
114		rnexg 4962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ball ` P ) e. _V -> ran ( ball ` P ) e. _V )
115		eltg2 14640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran ( ball ` P ) e. _V -> ( ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) ) )
116	113, 114, 115	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) ) )
117	110, 116	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
118	20, 21, 22, 117	syl12anc 1248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
119	19, 118	eqeltrd 2284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
120	119	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( w = ( x X. y ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
121	120	rexlimdvva 2633	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> ( E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
122	18, 121	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
123	122	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
124	123	ssrdv 3207	. . . 4 |- ( ph -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
125	4	mopntop 15031	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
126	2, 125	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
127	5	mopntop 15031	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> K e. Top )
128	3, 127	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Top )
129		mpoexga 6321	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
131		rnexg 4962	. . . . . 6 |- ( ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
132	130, 131	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
133	37, 111, 114	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( ball ` P ) e. _V )
134		tgss3 14665	. . . . 5 |- ( ( ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V /\ ran ( ball ` P ) e. _V ) -> ( ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
135	132, 133, 134	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
136	124, 135	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
137		eqid 2207	. . . . 5 |- ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) )
138	137	txval 14842	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) )
139	126, 128, 138	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) )
140	6	mopnval 15029	. . . 4 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> L = ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
141	37, 140	syl 14	. . 3 |- ( ph -> L = ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
142	136, 139, 141	3sstr4d 3246	. 2 |- ( ph -> ( J tX K ) C_ L )
143	7, 142	eqssd 3218	1 |- ( ph -> L = ( J tX K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   {cpr 3644   U.cuni 3864   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   ran crn 4694   Fn wfn 5285   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969   1stc1st 6247   2ndc2nd 6248   supcsup 7110  infcinf 7111   RR*cxr 8141   < clt 8142   <_ cle 8143   RR+crp 9810   topGenctg 13201   *Metcxmet 14413   ballcbl 14415   MetOpencmopn 14418   Topctop 14584  TopOnctopon 14597   tX ctx 14839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-tx 14840

This theorem is referenced by:  txmetcnp  15105