Theorem xmettx 13150

Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets, expressed as a binary topological product. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetxp.p	|- P = ( u e. ( X X. Y ) , v e. ( X X. Y ) |-> sup ( { ( ( 1st ` u ) M ( 1st ` v ) ) , ( ( 2nd ` u ) N ( 2nd ` v ) ) } , RR* , < ) )
xmetxp.1	|- ( ph -> M e. ( *Met ` X ) )
xmetxp.2	|- ( ph -> N e. ( *Met ` Y ) )
xmettx.j	|- J = ( MetOpen ` M )
xmettx.k	|- K = ( MetOpen ` N )
xmettx.l	|- L = ( MetOpen ` P )

Assertion

Ref	Expression
xmettx	|- ( ph -> L = ( J tX K ) )

Distinct variable groups:   u, M, v   u, N, v   u, X, v   u, Y, v

Allowed substitution hints:   ph( v, u)   P( v, u)   J( v, u)   K( v, u)   L( v, u)

Proof of Theorem xmettx

Dummy variables j k m n x y r s w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetxp.p	. . 3 |- P = ( u e. ( X X. Y ) , v e. ( X X. Y ) |-> sup ( { ( ( 1st ` u ) M ( 1st ` v ) ) , ( ( 2nd ` u ) N ( 2nd ` v ) ) } , RR* , < ) )
2		xmetxp.1	. . 3 |- ( ph -> M e. ( *Met ` X ) )
3		xmetxp.2	. . 3 |- ( ph -> N e. ( *Met ` Y ) )
4		xmettx.j	. . 3 |- J = ( MetOpen ` M )
5		xmettx.k	. . 3 |- K = ( MetOpen ` N )
6		xmettx.l	. . 3 |- L = ( MetOpen ` P )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	xmettxlem 13149	. 2 |- ( ph -> L C_ ( J tX K ) )
8		eqid 2165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) = ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) )
9	8	elrnmpog 5954	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. _V -> ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) <-> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) ) )
10	9	elv 2730	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) <-> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
11	10	biimpi 119	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) -> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
12	11	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) )
13		xpeq1 4618	. . . . . . . . . 10 |- ( r = x -> ( r X. s ) = ( x X. s ) )
14	13	eqeq2d 2177	. . . . . . . . 9 |- ( r = x -> ( w = ( r X. s ) <-> w = ( x X. s ) ) )
15		xpeq2 4619	. . . . . . . . . 10 |- ( s = y -> ( x X. s ) = ( x X. y ) )
16	15	eqeq2d 2177	. . . . . . . . 9 |- ( s = y -> ( w = ( x X. s ) <-> w = ( x X. y ) ) )
17	14, 16	cbvrex2v 2706	. . . . . . . 8 |- ( E. r e. J E. s e. K w = ( r X. s ) <-> E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) )
18	12, 17	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) )
19		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> w = ( x X. y ) )
20		simplll 523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> ph )
21		simplrl 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> x e. J )
22		simplrr 526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> y e. K )
23	4	mopntopon 13083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
24	2, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
26		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x e. J )
27		toponss 12664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x e. J ) -> x C_ X )
28	25, 26, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x C_ X )
29	5	mopntopon 13083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
30	3, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
31	30	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
32		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y e. K )
33		toponss 12664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ y e. K ) -> y C_ Y )
34	31, 32, 33	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y C_ Y )
35		xpss12 4711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x C_ X /\ y C_ Y ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
36	28, 34, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
37	1, 2, 3	xmetxp 13147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) )
38		unirnbl 13063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> U. ran ( ball ` P ) = ( X X. Y ) )
41	36, 40	sseqtrrd 3181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) )
42	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
43		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> x e. J )
44		xp1st 6133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( x X. y ) -> ( 1st ` j ) e. x )
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 1st ` j ) e. x )
46	4	mopni2 13123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. J /\ ( 1st ` j ) e. x ) -> E. m e. RR+ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
47	42, 43, 45, 46	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. m e. RR+ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
48	3	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
49		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> y e. K )
50		xp2nd 6134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( x X. y ) -> ( 2nd ` j ) e. y )
51	50	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. y )
52	5	mopni2 13123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ y e. K /\ ( 2nd ` j ) e. y ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> E. n e. RR+ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
55		blf 13050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> ( ball ` P ) : ( ( X X. Y ) X. RR* ) --> ~P ( X X. Y ) )
56	37, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ball ` P ) : ( ( X X. Y ) X. RR* ) --> ~P ( X X. Y ) )
57	56	ffnd 5338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) )
58	57	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) )
59	36	sselda 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> j e. ( X X. Y ) )
60	59	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> j e. ( X X. Y ) )
61		rpxr 9597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. RR+ -> m e. RR* )
62	61	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> m e. RR* )
63	62	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> m e. RR* )
64		rpxr 9597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. RR+ -> n e. RR* )
65	64	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> n e. RR* )
66		xrmincl 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* )
67	63, 65, 66	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* )
68		fnovrn 5989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ball ` P ) Fn ( ( X X. Y ) X. RR* ) /\ j e. ( X X. Y ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` P ) )
69	58, 60, 67, 68	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) e. ran ( ball ` P ) )
70		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( j e. k <-> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) )
71		sseq1 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( k C_ ( x X. y ) <-> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) )
72	70, 71	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) -> ( ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) <-> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) ) )
73	72	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) /\ k = ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) -> ( ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) <-> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) ) )
74	37	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) )
75		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> m e. RR+ )
76		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> n e. RR+ )
77		xrminrpcl 11215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ )
78	75, 76, 77	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ )
79		blcntr 13056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) /\ j e. ( X X. Y ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR+ ) -> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) )
80	74, 60, 78, 79	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) )
81	42	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
82	48	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
83	1, 81, 82, 67, 60	xmetxpbl 13148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) = ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) )
84	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> x C_ X )
85	84, 45	sseldd 3143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 1st ` j ) e. X )
86	85	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( 1st ` j ) e. X )
87		xrmin1inf 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m )
88	63, 65, 87	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m )
89		ssbl 13066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( 1st ` j ) e. X ) /\ (inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* /\ m e. RR* ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ m ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) )
90	81, 86, 67, 63, 88, 89	syl221anc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) )
91		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x )
92	90, 91	sstrd 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ x )
93	34	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> y C_ Y )
94	93, 51	sseldd 3143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. Y )
95	94	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( 2nd ` j ) e. Y )
96		xrmin2inf 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n )
97	63, 65, 96	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n )
98		ssbl 13066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ ( 2nd ` j ) e. Y ) /\ (inf ( { m , n } , RR* , < ) e. RR* /\ n e. RR* ) /\ inf ( { m , n } , RR* , < ) <_ n ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) )
99	82, 95, 67, 65, 97, 98	syl221anc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) )
100		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y )
101	99, 100	sstrd 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ y )
102		xpss12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ x /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ y ) -> ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) C_ ( x X. y ) )
103	92, 101, 102	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( ( ( 1st ` j ) ( ball ` M )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) X. ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) ) C_ ( x X. y ) )
104	83, 103	eqsstrd 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) )
105	80, 104	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> ( j e. ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) /\ ( j ( ball ` P )inf ( { m , n } , RR* , < ) ) C_ ( x X. y ) ) )
106	69, 73, 105	rspcedvd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) /\ ( n e. RR+ /\ ( ( 2nd ` j ) ( ball ` N ) n ) C_ y ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
107	54, 106	rexlimddv 2588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) /\ ( m e. RR+ /\ ( ( 1st ` j ) ( ball ` M ) m ) C_ x ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
108	47, 107	rexlimddv 2588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ j e. ( x X. y ) ) -> E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
109	108	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) )
110	41, 109	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) )
111		blex 13027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> ( ball ` P ) e. _V )
112	37, 111	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ball ` P ) e. _V )
113	112	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ball ` P ) e. _V )
114		rnexg 4869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ball ` P ) e. _V -> ran ( ball ` P ) e. _V )
115		eltg2 12693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran ( ball ` P ) e. _V -> ( ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) ) )
116	113, 114, 115	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ( ( x X. y ) C_ U. ran ( ball ` P ) /\ A. j e. ( x X. y ) E. k e. ran ( ball ` P ) ( j e. k /\ k C_ ( x X. y ) ) ) ) )
117	110, 116	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
118	20, 21, 22, 117	syl12anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> ( x X. y ) e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
119	19, 118	eqeltrd 2243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ w = ( x X. y ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
120	119	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( w = ( x X. y ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
121	120	rexlimdvva 2591	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> ( E. x e. J E. y e. K w = ( x X. y ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
122	18, 121	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
123	122	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
124	123	ssrdv 3148	. . . 4 |- ( ph -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
125	4	mopntop 13084	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
126	2, 125	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
127	5	mopntop 13084	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> K e. Top )
128	3, 127	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Top )
129		mpoexga 6180	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
130	126, 128, 129	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
131		rnexg 4869	. . . . . 6 |- ( ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
132	130, 131	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V )
133	37, 111, 114	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( ball ` P ) e. _V )
134		tgss3 12718	. . . . 5 |- ( ( ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) e. _V /\ ran ( ball ` P ) e. _V ) -> ( ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
135	132, 133, 134	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) <-> ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) ) )
136	124, 135	mpbird 166	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
137		eqid 2165	. . . . 5 |- ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) )
138	137	txval 12895	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) )
139	126, 128, 138	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( r e. J , s e. K |-> ( r X. s ) ) ) )
140	6	mopnval 13082	. . . 4 |- ( P e. ( *Met ` ( X X. Y ) ) -> L = ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
141	37, 140	syl 14	. . 3 |- ( ph -> L = ( topGen ` ran ( ball ` P ) ) )
142	136, 139, 141	3sstr4d 3187	. 2 |- ( ph -> ( J tX K ) C_ L )
143	7, 142	eqssd 3159	1 |- ( ph -> L = ( J tX K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559   {cpr 3577   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   ran crn 4605   Fn wfn 5183   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   1stc1st 6106   2ndc2nd 6107   supcsup 6947  infcinf 6948   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934   RR+crp 9589   topGenctg 12571   *Metcxmet 12620   ballcbl 12622   MetOpencmopn 12625   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   tX ctx 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-tx 12893

This theorem is referenced by:  txmetcnp  13158