Theorem isnsgrp 13488

Description: A condition for a structure not to be a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issgrpn0.b	|- B = ( Base ` M )
issgrpn0.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
isnsgrp	|- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> M e/ Smgrp ) )

Proof of Theorem isnsgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1026	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> X e. B )
2		oveq1 6024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( x .o. y ) = ( X .o. y ) )
3	2	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( ( X .o. y ) .o. z ) )
4		oveq1 6024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x .o. ( y .o. z ) ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
6	5	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
7	6	rexbidv 2533	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
8	7	rexbidv 2533	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
9	8	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ x = X ) -> ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
10		simpl2 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> Y e. B )
11		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( X .o. y ) = ( X .o. Y ) )
12	11	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( ( X .o. Y ) .o. z ) )
13		oveq1 6024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( y .o. z ) = ( Y .o. z ) )
14	13	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( X .o. ( y .o. z ) ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
16	15	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ y = Y ) -> ( -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
18	17	rexbidv 2533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ y = Y ) -> ( E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> E. z e. B -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
19		simpl3 1028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> Z e. B )
20		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( ( X .o. Y ) .o. Z ) )
21		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> ( Y .o. z ) = ( Y .o. Z ) )
22	21	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( X .o. ( Y .o. z ) ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
23	20, 22	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
24	23	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ z = Z ) -> ( -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
26		neneq 2424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
28	19, 25, 27	rspcedvd 2916	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. z e. B -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) )
29	10, 18, 28	rspcedvd 2916	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) )
30	1, 9, 29	rspcedvd 2916	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
31		rexnalim 2521	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
32	31	reximi 2629	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> E. y e. B -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
33		rexnalim 2521	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
35	34	reximi 2629	. . . . . 6 |- ( E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> E. x e. B -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
36		rexnalim 2521	. . . . . 6 |- ( E. x e. B -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
37	30, 35, 36	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
38	37	intnand 938	. . . 4 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
39		issgrpn0.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
40		issgrpn0.o	. . . . 5 |- .o. = ( +g ` M )
41	39, 40	issgrp 13485	. . . 4 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
42	38, 41	sylnibr 683	. . 3 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. M e. Smgrp )
43		df-nel 2498	. . 3 |- ( M e/ Smgrp <-> -. M e. Smgrp )
44	42, 43	sylibr 134	. 2 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> M e/ Smgrp )
45	44	ex 115	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> M e/ Smgrp ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   e/ wnel 2497   A.wral 2510   E.wrex 2511   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  Mgmcmgm 13436  Smgrpcsgrp 13483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-sgrp 13484

This theorem is referenced by: (None)