Theorem isnsgrp 12704

Description: A condition for a structure not to be a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issgrpn0.b	|- B = ( Base ` M )
issgrpn0.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
isnsgrp	|- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> M e/ Smgrp ) )

Proof of Theorem isnsgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1000	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> X e. B )
2		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( x .o. y ) = ( X .o. y ) )
3	2	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( ( X .o. y ) .o. z ) )
4		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x .o. ( y .o. z ) ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
6	5	notbid 667	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
7	6	rexbidv 2478	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
8	7	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
9	8	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ x = X ) -> ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
10		simpl2 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> Y e. B )
11		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( X .o. y ) = ( X .o. Y ) )
12	11	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( ( X .o. Y ) .o. z ) )
13		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( y .o. z ) = ( Y .o. z ) )
14	13	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( X .o. ( y .o. z ) ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
16	15	notbid 667	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ y = Y ) -> ( -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
18	17	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ y = Y ) -> ( E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> E. z e. B -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
19		simpl3 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> Z e. B )
20		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( ( X .o. Y ) .o. Z ) )
21		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> ( Y .o. z ) = ( Y .o. Z ) )
22	21	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( X .o. ( Y .o. z ) ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
23	20, 22	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
24	23	notbid 667	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ z = Z ) -> ( -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
26		neneq 2369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
28	19, 25, 27	rspcedvd 2847	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. z e. B -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) )
29	10, 18, 28	rspcedvd 2847	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) )
30	1, 9, 29	rspcedvd 2847	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
31		rexnalim 2466	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
32	31	reximi 2574	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> E. y e. B -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
33		rexnalim 2466	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
35	34	reximi 2574	. . . . . 6 |- ( E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> E. x e. B -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
36		rexnalim 2466	. . . . . 6 |- ( E. x e. B -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
37	30, 35, 36	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
38	37	intnand 931	. . . 4 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
39		issgrpn0.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
40		issgrpn0.o	. . . . 5 |- .o. = ( +g ` M )
41	39, 40	issgrp 12701	. . . 4 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
42	38, 41	sylnibr 677	. . 3 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. M e. Smgrp )
43		df-nel 2443	. . 3 |- ( M e/ Smgrp <-> -. M e. Smgrp )
44	42, 43	sylibr 134	. 2 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> M e/ Smgrp )
45	44	ex 115	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> M e/ Smgrp ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   e/ wnel 2442   A.wral 2455   E.wrex 2456   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Basecbs 12445   +g cplusg 12518  Mgmcmgm 12665  Smgrpcsgrp 12699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-ov 5872  df-inn 8909  df-2 8967  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-plusg 12531  df-sgrp 12700

This theorem is referenced by: (None)