Theorem isnsgrp 12647

Description: A condition for a structure not to be a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issgrpn0.b	|- B = ( Base ` M )
issgrpn0.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
isnsgrp	|- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> M e/ Smgrp ) )

Proof of Theorem isnsgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 995	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> X e. B )
2		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( x .o. y ) = ( X .o. y ) )
3	2	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( ( X .o. y ) .o. z ) )
4		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x .o. ( y .o. z ) ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
6	5	notbid 662	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
7	6	rexbidv 2471	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
8	7	rexbidv 2471	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
9	8	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ x = X ) -> ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
10		simpl2 996	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> Y e. B )
11		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( X .o. y ) = ( X .o. Y ) )
12	11	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( ( X .o. Y ) .o. z ) )
13		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( y .o. z ) = ( Y .o. z ) )
14	13	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( X .o. ( y .o. z ) ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
16	15	notbid 662	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
17	16	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ y = Y ) -> ( -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
18	17	rexbidv 2471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ y = Y ) -> ( E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> E. z e. B -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
19		simpl3 997	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> Z e. B )
20		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( ( X .o. Y ) .o. Z ) )
21		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> ( Y .o. z ) = ( Y .o. Z ) )
22	21	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( X .o. ( Y .o. z ) ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
23	20, 22	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
24	23	notbid 662	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
25	24	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ z = Z ) -> ( -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
26		neneq 2362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
27	26	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
28	19, 25, 27	rspcedvd 2840	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. z e. B -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) )
29	10, 18, 28	rspcedvd 2840	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) )
30	1, 9, 29	rspcedvd 2840	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
31		rexnalim 2459	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
32	31	reximi 2567	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> E. y e. B -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
33		rexnalim 2459	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
35	34	reximi 2567	. . . . . 6 |- ( E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> E. x e. B -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
36		rexnalim 2459	. . . . . 6 |- ( E. x e. B -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
37	30, 35, 36	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
38	37	intnand 926	. . . 4 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
39		issgrpn0.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
40		issgrpn0.o	. . . . 5 |- .o. = ( +g ` M )
41	39, 40	issgrp 12644	. . . 4 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
42	38, 41	sylnibr 672	. . 3 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. M e. Smgrp )
43		df-nel 2436	. . 3 |- ( M e/ Smgrp <-> -. M e. Smgrp )
44	42, 43	sylibr 133	. 2 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> M e/ Smgrp )
45	44	ex 114	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> M e/ Smgrp ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   e/ wnel 2435   A.wral 2448   E.wrex 2449   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Basecbs 12416   +g cplusg 12480  Mgmcmgm 12608  Smgrpcsgrp 12642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-ov 5856  df-inn 8879  df-2 8937  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-sgrp 12643

This theorem is referenced by: (None)