Theorem isnsgrp 12676

Description: A condition for a structure not to be a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issgrpn0.b	|- B = ( Base ` M )
issgrpn0.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
isnsgrp	|- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> M e/ Smgrp ) )

Proof of Theorem isnsgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1000	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> X e. B )
2		oveq1 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( x .o. y ) = ( X .o. y ) )
3	2	oveq1d 5880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( ( X .o. y ) .o. z ) )
4		oveq1 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x .o. ( y .o. z ) ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2190	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
6	5	notbid 667	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
7	6	rexbidv 2476	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
8	7	rexbidv 2476	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
9	8	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ x = X ) -> ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
10		simpl2 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> Y e. B )
11		oveq2 5873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( X .o. y ) = ( X .o. Y ) )
12	11	oveq1d 5880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( ( X .o. Y ) .o. z ) )
13		oveq1 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( y .o. z ) = ( Y .o. z ) )
14	13	oveq2d 5881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( X .o. ( y .o. z ) ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2190	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
16	15	notbid 667	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ y = Y ) -> ( -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
18	17	rexbidv 2476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ y = Y ) -> ( E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> E. z e. B -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
19		simpl3 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> Z e. B )
20		oveq2 5873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( ( X .o. Y ) .o. Z ) )
21		oveq2 5873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> ( Y .o. z ) = ( Y .o. Z ) )
22	21	oveq2d 5881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( X .o. ( Y .o. z ) ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
23	20, 22	eqeq12d 2190	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
24	23	notbid 667	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ z = Z ) -> ( -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
26		neneq 2367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
28	19, 25, 27	rspcedvd 2845	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. z e. B -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) )
29	10, 18, 28	rspcedvd 2845	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) )
30	1, 9, 29	rspcedvd 2845	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
31		rexnalim 2464	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
32	31	reximi 2572	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> E. y e. B -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
33		rexnalim 2464	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
35	34	reximi 2572	. . . . . 6 |- ( E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> E. x e. B -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
36		rexnalim 2464	. . . . . 6 |- ( E. x e. B -. A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
37	30, 35, 36	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
38	37	intnand 931	. . . 4 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
39		issgrpn0.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
40		issgrpn0.o	. . . . 5 |- .o. = ( +g ` M )
41	39, 40	issgrp 12673	. . . 4 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
42	38, 41	sylnibr 677	. . 3 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. M e. Smgrp )
43		df-nel 2441	. . 3 |- ( M e/ Smgrp <-> -. M e. Smgrp )
44	42, 43	sylibr 134	. 2 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> M e/ Smgrp )
45	44	ex 115	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> M e/ Smgrp ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   =/= wne 2345   e/ wnel 2440   A.wral 2453   E.wrex 2454   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12427   +g cplusg 12491  Mgmcmgm 12637  Smgrpcsgrp 12671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-ov 5868  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-plusg 12504  df-sgrp 12672

This theorem is referenced by: (None)