ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isnsgrp Unicode version

Theorem isnsgrp 12676
Description: A condition for a structure not to be a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
issgrpn0.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
issgrpn0.o  |-  .o.  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
isnsgrp  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) )  ->  M  e/ Smgrp ) )

Proof of Theorem isnsgrp
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  X  e.  B
)
2 oveq1 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .o.  y )  =  ( X  .o.  y ) )
32oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( ( X  .o.  y )  .o.  z ) )
4 oveq1 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .o.  ( y  .o.  z ) )  =  ( X  .o.  (
y  .o.  z )
) )
53, 4eqeq12d 2190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  ( ( X  .o.  y )  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) ) ) )
65notbid 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  -.  (
( X  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z
) ) ) )
76rexbidv 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  E. z  e.  B  -.  (
( X  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z
) ) ) )
87rexbidv 2476 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  (
( X  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z
) ) ) )
98adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  /\  x  =  X )  ->  ( E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  (
( X  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z
) ) ) )
10 simpl2 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  Y  e.  B
)
11 oveq2 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .o.  y )  =  ( X  .o.  Y
) )
1211oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( ( X  .o.  Y )  .o.  z ) )
13 oveq1 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .o.  z )  =  ( Y  .o.  z ) )
1413oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) ) )
1512, 14eqeq12d 2190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  ( ( X  .o.  Y )  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) ) ) )
1615notbid 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  ( -.  ( ( X  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  -.  (
( X  .o.  Y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z
) ) ) )
1716adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  /\  y  =  Y )  ->  ( -.  ( ( X  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  -.  (
( X  .o.  Y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z
) ) ) )
1817rexbidv 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  /\  y  =  Y )  ->  ( E. z  e.  B  -.  ( ( X  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) )  <->  E. z  e.  B  -.  (
( X  .o.  Y
)  .o.  z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z
) ) ) )
19 simpl3 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  Z  e.  B
)
20 oveq2 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .o.  Y
)  .o.  z )  =  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z ) )
21 oveq2 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .o.  z )  =  ( Y  .o.  Z
) )
2221oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )
2320, 22eqeq12d 2190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .o.  Y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) )  <->  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) ) )
2423notbid 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  ( -.  ( ( X  .o.  Y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) )  <->  -.  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) ) )
2524adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  /\  z  =  Z )  ->  ( -.  ( ( X  .o.  Y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) )  <->  -.  (
( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) ) )
26 neneq 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  .o.  Y
)  .o.  Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) )  ->  -.  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )
2726adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  -.  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )
2819, 25, 27rspcedvd 2845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  E. z  e.  B  -.  ( ( X  .o.  Y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( Y  .o.  z ) ) )
2910, 18, 28rspcedvd 2845 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( X  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( X  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
301, 9, 29rspcedvd 2845 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
31 rexnalim 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  ->  -.  A. z  e.  B  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
3231reximi 2572 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  ->  E. y  e.  B  -.  A. z  e.  B  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
33 rexnalim 2464 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  -.  A. z  e.  B  ( ( x  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z
) )  ->  -.  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z
) ) )
3432, 33syl 14 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  ->  -.  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
3534reximi 2572 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  E. z  e.  B  -.  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) )  ->  E. x  e.  B  -.  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .o.  y )  .o.  z
)  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
36 rexnalim 2464 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  B  -.  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z
) )  ->  -.  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z
) ) )
3730, 35, 363syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  -.  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .o.  y )  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) )
3837intnand 931 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  -.  ( M  e. Mgm  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .o.  y )  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z ) ) ) )
39 issgrpn0.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
40 issgrpn0.o . . . . 5  |-  .o.  =  ( +g  `  M )
4139, 40issgrp 12673 . . . 4  |-  ( M  e. Smgrp 
<->  ( M  e. Mgm  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .o.  y
)  .o.  z )  =  ( x  .o.  ( y  .o.  z
) ) ) )
4238, 41sylnibr 677 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  -.  M  e. Smgrp )
43 df-nel 2441 . . 3  |-  ( M  e/ Smgrp 
<->  -.  M  e. Smgrp )
4442, 43sylibr 134 . 2  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) ) )  ->  M  e/ Smgrp )
4544ex 115 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( ( X  .o.  Y )  .o. 
Z )  =/=  ( X  .o.  ( Y  .o.  Z ) )  ->  M  e/ Smgrp ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146    =/= wne 2345    e/ wnel 2440   A.wral 2453   E.wrex 2454   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12427   +g cplusg 12491  Mgmcmgm 12637  Smgrpcsgrp 12671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-ov 5868  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-plusg 12504  df-sgrp 12672
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator