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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pw2dvdslemn | Unicode version |
Description: Lemma for pw2dvds 11418. If a natural number has some power of two which does not divide it, there is a highest power of two which does divide it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.) |
Ref | Expression |
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pw2dvdslemn |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 3simpb 941 |
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2 | oveq2 5660 |
. . . . . . . 8
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3 | 2 | breq1d 3855 |
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4 | 3 | notbid 627 |
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5 | 4 | anbi2d 452 |
. . . . 5
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6 | 5 | imbi1d 229 |
. . . 4
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7 | oveq2 5660 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | breq1d 3855 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | notbid 627 |
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10 | 9 | anbi2d 452 |
. . . . 5
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11 | 10 | imbi1d 229 |
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12 | oveq2 5660 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | breq1d 3855 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | notbid 627 |
. . . . . 6
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15 | 14 | anbi2d 452 |
. . . . 5
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16 | 15 | imbi1d 229 |
. . . 4
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17 | oveq2 5660 |
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18 | 17 | breq1d 3855 |
. . . . . . 7
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19 | 18 | notbid 627 |
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20 | 19 | anbi2d 452 |
. . . . 5
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21 | 20 | imbi1d 229 |
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22 | 0nn0 8686 |
. . . . . 6
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23 | 22 | a1i 9 |
. . . . 5
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24 | oveq2 5660 |
. . . . . . . 8
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25 | 24 | breq1d 3855 |
. . . . . . 7
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26 | oveq1 5659 |
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27 | 26 | oveq2d 5668 |
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28 | 27 | breq1d 3855 |
. . . . . . . 8
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29 | 28 | notbid 627 |
. . . . . . 7
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30 | 25, 29 | anbi12d 457 |
. . . . . 6
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31 | 30 | adantl 271 |
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32 | 2cnd 8493 |
. . . . . . . 8
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33 | 32 | exp0d 10076 |
. . . . . . 7
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34 | simpl 107 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | nnzd 8865 |
. . . . . . . 8
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36 | 1dvds 11084 |
. . . . . . . 8
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37 | 35, 36 | syl 14 |
. . . . . . 7
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38 | 33, 37 | eqbrtrd 3865 |
. . . . . 6
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39 | simpr 108 |
. . . . . . 7
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40 | 0p1e1 8534 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | oveq2i 5663 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | breq1i 3852 |
. . . . . . 7
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43 | 39, 42 | sylnibr 637 |
. . . . . 6
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44 | 38, 43 | jca 300 |
. . . . 5
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45 | 23, 31, 44 | rspcedvd 2728 |
. . . 4
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46 | simpll 496 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46 | nnnn0d 8724 |
. . . . . . . 8
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48 | oveq2 5660 |
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49 | 48 | breq1d 3855 |
. . . . . . . . . 10
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50 | oveq1 5659 |
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51 | 50 | oveq2d 5668 |
. . . . . . . . . . . 12
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52 | 51 | breq1d 3855 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | 52 | notbid 627 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 49, 53 | anbi12d 457 |
. . . . . . . . 9
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55 | 54 | adantl 271 |
. . . . . . . 8
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. . . . . . . . 9
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57 | simplrr 503 |
. . . . . . . . 9
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58 | 56, 57 | jca 300 |
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59 | 47, 55, 58 | rspcedvd 2728 |
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60 | 59 | adantllr 465 |
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61 | simprl 498 |
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63 | simpllr 501 |
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66 | simpll 496 |
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71 | dvdsdc 11078 |
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73 | exmiddc 782 |
. . . . . . 7
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74 | 72, 73 | syl 14 |
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75 | 60, 64, 74 | mpjaodan 747 |
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76 | 75 | exp31 356 |
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77 | 6, 11, 16, 21, 45, 76 | nnind 8436 |
. . 3
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78 | 77 | 3ad2ant2 965 |
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79 | 1, 78 | mpd 13 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 579 ax-in2 580 ax-io 665 ax-5 1381 ax-7 1382 ax-gen 1383 ax-ie1 1427 ax-ie2 1428 ax-8 1440 ax-10 1441 ax-11 1442 ax-i12 1443 ax-bndl 1444 ax-4 1445 ax-13 1449 ax-14 1450 ax-17 1464 ax-i9 1468 ax-ial 1472 ax-i5r 1473 ax-ext 2070 ax-coll 3954 ax-sep 3957 ax-nul 3965 ax-pow 4009 ax-pr 4036 ax-un 4260 ax-setind 4353 ax-iinf 4403 ax-cnex 7434 ax-resscn 7435 ax-1cn 7436 ax-1re 7437 ax-icn 7438 ax-addcl 7439 ax-addrcl 7440 ax-mulcl 7441 ax-mulrcl 7442 ax-addcom 7443 ax-mulcom 7444 ax-addass 7445 ax-mulass 7446 ax-distr 7447 ax-i2m1 7448 ax-0lt1 7449 ax-1rid 7450 ax-0id 7451 ax-rnegex 7452 ax-precex 7453 ax-cnre 7454 ax-pre-ltirr 7455 ax-pre-ltwlin 7456 ax-pre-lttrn 7457 ax-pre-apti 7458 ax-pre-ltadd 7459 ax-pre-mulgt0 7460 ax-pre-mulext 7461 ax-arch 7462 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 781 df-3or 925 df-3an 926 df-tru 1292 df-fal 1295 df-nf 1395 df-sb 1693 df-eu 1951 df-mo 1952 df-clab 2075 df-cleq 2081 df-clel 2084 df-nfc 2217 df-ne 2256 df-nel 2351 df-ral 2364 df-rex 2365 df-reu 2366 df-rmo 2367 df-rab 2368 df-v 2621 df-sbc 2841 df-csb 2934 df-dif 3001 df-un 3003 df-in 3005 df-ss 3012 df-nul 3287 df-if 3394 df-pw 3431 df-sn 3452 df-pr 3453 df-op 3455 df-uni 3654 df-int 3689 df-iun 3732 df-br 3846 df-opab 3900 df-mpt 3901 df-tr 3937 df-id 4120 df-po 4123 df-iso 4124 df-iord 4193 df-on 4195 df-ilim 4196 df-suc 4198 df-iom 4406 df-xp 4444 df-rel 4445 df-cnv 4446 df-co 4447 df-dm 4448 df-rn 4449 df-res 4450 df-ima 4451 df-iota 4980 df-fun 5017 df-fn 5018 df-f 5019 df-f1 5020 df-fo 5021 df-f1o 5022 df-fv 5023 df-riota 5608 df-ov 5655 df-oprab 5656 df-mpt2 5657 df-1st 5911 df-2nd 5912 df-recs 6070 df-frec 6156 df-pnf 7522 df-mnf 7523 df-xr 7524 df-ltxr 7525 df-le 7526 df-sub 7653 df-neg 7654 df-reap 8050 df-ap 8057 df-div 8138 df-inn 8421 df-2 8479 df-n0 8672 df-z 8749 df-uz 9018 df-q 9103 df-rp 9133 df-fl 9673 df-mod 9726 df-iseq 9849 df-seq3 9850 df-exp 9951 df-dvds 11071 |
This theorem is referenced by: pw2dvds 11418 |
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