Theorem pw2dvdslemn 12333

Description: Lemma for pw2dvds 12334. If a natural number has some power of two which does not divide it, there is a highest power of two which does divide it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdslemn	|- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Distinct variable group:   m, N

Allowed substitution hint:   A( m)

Proof of Theorem pw2dvdslemn

Dummy variables w k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 997	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) )
2		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( w = 1 -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ 1 ) )
3	2	breq1d 4043	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ 1 ) || N ) )
4	3	notbid 668	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ 1 ) || N ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) ) )
6	5	imbi1d 231	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
7		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ k ) )
8	7	breq1d 4043	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ k ) || N ) )
9	8	notbid 668	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ k ) || N ) )
10	9	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) ) )
11	10	imbi1d 231	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
12		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
13	12	breq1d 4043	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
14	13	notbid 668	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
15	14	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) )
16	15	imbi1d 231	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
17		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ A ) )
18	17	breq1d 4043	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ A ) || N ) )
19	18	notbid 668	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ A ) || N ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) ) )
21	20	imbi1d 231	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
22		0nn0 9264	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
23	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> 0 e. NN0 )
24		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ 0 ) )
25	24	breq1d 4043	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( ( 2 ^ m ) || N <-> ( 2 ^ 0 ) || N ) )
26		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 0 -> ( m + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
27	26	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( 2 ^ ( m + 1 ) ) = ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) )
28	27	breq1d 4043	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) )
29	28	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) )
30	25, 29	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ 0 ) || N /\ -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) /\ m = 0 ) -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ 0 ) || N /\ -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) ) )
32		2cnd 9063	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> 2 e. CC )
33	32	exp0d 10759	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> ( 2 ^ 0 ) = 1 )
34		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> N e. NN )
35	34	nnzd 9447	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> N e. ZZ )
36		1dvds 11970	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> 1 || N )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> 1 || N )
38	33, 37	eqbrtrd 4055	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> ( 2 ^ 0 ) || N )
39		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> -. ( 2 ^ 1 ) || N )
40		0p1e1 9104	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
41	40	oveq2i 5933	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) = ( 2 ^ 1 )
42	41	breq1i 4040	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N <-> ( 2 ^ 1 ) || N )
43	39, 42	sylnibr 678	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N )
44	38, 43	jca 306	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> ( ( 2 ^ 0 ) || N /\ -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) )
45	23, 31, 44	rspcedvd 2874	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
46		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> k e. NN )
47	46	nnnn0d 9302	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> k e. NN0 )
48		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ k ) )
49	48	breq1d 4043	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( 2 ^ m ) || N <-> ( 2 ^ k ) || N ) )
50		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( m + 1 ) = ( k + 1 ) )
51	50	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( 2 ^ ( m + 1 ) ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
52	51	breq1d 4043	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
53	52	notbid 668	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
54	49, 53	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ k ) || N /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) )
55	54	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) /\ m = k ) -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ k ) || N /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) )
56		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> ( 2 ^ k ) || N )
57		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N )
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> ( ( 2 ^ k ) || N /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
59	47, 55, 58	rspcedvd 2874	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
60	59	adantllr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
61		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> N e. NN )
62	61	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) )
63		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) )
64	62, 63	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
65		2nn 9152	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
66		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> k e. NN )
67	66	nnnn0d 9302	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> k e. NN0 )
68		nnexpcl 10644	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
69	65, 67, 68	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
70	61	nnzd 9447	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> N e. ZZ )
71		dvdsdc 11963	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID ( 2 ^ k ) || N )
72	69, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> DECID ( 2 ^ k ) || N )
73		exmiddc 837	. . . . . . 7 |- (DECID ( 2 ^ k ) || N -> ( ( 2 ^ k ) || N \/ -. ( 2 ^ k ) || N ) )
74	72, 73	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> ( ( 2 ^ k ) || N \/ -. ( 2 ^ k ) || N ) )
75	60, 64, 74	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
76	75	exp31 364	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
77	6, 11, 16, 21, 45, 76	nnind 9006	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) )
78	77	3ad2ant2 1021	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) )
79	1, 78	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   NNcn 8990   2c2 9041   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ^cexp 10630   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  pw2dvds  12334