Theorem pw2dvdslemn 11417

Description: Lemma for pw2dvds 11418. If a natural number has some power of two which does not divide it, there is a highest power of two which does divide it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdslemn	|- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Distinct variable group:   m, N

Allowed substitution hint:   A( m)

Proof of Theorem pw2dvdslemn

Dummy variables w k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 941	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) )
2		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( w = 1 -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ 1 ) )
3	2	breq1d 3855	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ 1 ) || N ) )
4	3	notbid 627	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ 1 ) || N ) )
5	4	anbi2d 452	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) ) )
6	5	imbi1d 229	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
7		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ k ) )
8	7	breq1d 3855	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ k ) || N ) )
9	8	notbid 627	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ k ) || N ) )
10	9	anbi2d 452	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) ) )
11	10	imbi1d 229	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
12		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
13	12	breq1d 3855	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
14	13	notbid 627	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
15	14	anbi2d 452	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) )
16	15	imbi1d 229	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
17		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ A ) )
18	17	breq1d 3855	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ A ) || N ) )
19	18	notbid 627	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ A ) || N ) )
20	19	anbi2d 452	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) ) )
21	20	imbi1d 229	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
22		0nn0 8686	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
23	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> 0 e. NN0 )
24		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ 0 ) )
25	24	breq1d 3855	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( ( 2 ^ m ) || N <-> ( 2 ^ 0 ) || N ) )
26		oveq1 5659	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 0 -> ( m + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
27	26	oveq2d 5668	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( 2 ^ ( m + 1 ) ) = ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) )
28	27	breq1d 3855	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) )
29	28	notbid 627	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) )
30	25, 29	anbi12d 457	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ 0 ) || N /\ -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) ) )
31	30	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) /\ m = 0 ) -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ 0 ) || N /\ -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) ) )
32		2cnd 8493	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> 2 e. CC )
33	32	exp0d 10076	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> ( 2 ^ 0 ) = 1 )
34		simpl 107	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> N e. NN )
35	34	nnzd 8865	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> N e. ZZ )
36		1dvds 11084	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> 1 || N )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> 1 || N )
38	33, 37	eqbrtrd 3865	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> ( 2 ^ 0 ) || N )
39		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> -. ( 2 ^ 1 ) || N )
40		0p1e1 8534	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
41	40	oveq2i 5663	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) = ( 2 ^ 1 )
42	41	breq1i 3852	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N <-> ( 2 ^ 1 ) || N )
43	39, 42	sylnibr 637	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N )
44	38, 43	jca 300	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> ( ( 2 ^ 0 ) || N /\ -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) )
45	23, 31, 44	rspcedvd 2728	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
46		simpll 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> k e. NN )
47	46	nnnn0d 8724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> k e. NN0 )
48		oveq2 5660	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ k ) )
49	48	breq1d 3855	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( 2 ^ m ) || N <-> ( 2 ^ k ) || N ) )
50		oveq1 5659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( m + 1 ) = ( k + 1 ) )
51	50	oveq2d 5668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( 2 ^ ( m + 1 ) ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
52	51	breq1d 3855	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
53	52	notbid 627	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
54	49, 53	anbi12d 457	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ k ) || N /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) )
55	54	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) /\ m = k ) -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ k ) || N /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) )
56		simpr 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> ( 2 ^ k ) || N )
57		simplrr 503	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N )
58	56, 57	jca 300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> ( ( 2 ^ k ) || N /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
59	47, 55, 58	rspcedvd 2728	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
60	59	adantllr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
61		simprl 498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> N e. NN )
62	61	anim1i 333	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) )
63		simpllr 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) )
64	62, 63	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
65		2nn 8575	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
66		simpll 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> k e. NN )
67	66	nnnn0d 8724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> k e. NN0 )
68		nnexpcl 9964	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
69	65, 67, 68	sylancr 405	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
70	61	nnzd 8865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> N e. ZZ )
71		dvdsdc 11078	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID ( 2 ^ k ) || N )
72	69, 70, 71	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> DECID ( 2 ^ k ) || N )
73		exmiddc 782	. . . . . . 7 |- (DECID ( 2 ^ k ) || N -> ( ( 2 ^ k ) || N \/ -. ( 2 ^ k ) || N ) )
74	72, 73	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> ( ( 2 ^ k ) || N \/ -. ( 2 ^ k ) || N ) )
75	60, 64, 74	mpjaodan 747	. . . . 5 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
76	75	exp31 356	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
77	6, 11, 16, 21, 45, 76	nnind 8436	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) )
78	77	3ad2ant2 965	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) )
79	1, 78	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664  DECID wdc 780   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   E.wrex 2360   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   0cc0 7348   1c1 7349   + caddc 7351   NNcn 8420   2c2 8471   NN0cn0 8671   ZZcz 8748   ^cexp 9950   || cdvds 11070

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fl 9673  df-mod 9726  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-dvds 11071

This theorem is referenced by:  pw2dvds  11418