Theorem pw2dvdslemn 12148

Description: Lemma for pw2dvds 12149. If a natural number has some power of two which does not divide it, there is a highest power of two which does divide it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdslemn	|- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Distinct variable group:   m, N

Allowed substitution hint:   A( m)

Proof of Theorem pw2dvdslemn

Dummy variables w k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 995	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) )
2		oveq2 5877	. . . . . . . 8 |- ( w = 1 -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ 1 ) )
3	2	breq1d 4010	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ 1 ) || N ) )
4	3	notbid 667	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ 1 ) || N ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) ) )
6	5	imbi1d 231	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
7		oveq2 5877	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ k ) )
8	7	breq1d 4010	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ k ) || N ) )
9	8	notbid 667	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ k ) || N ) )
10	9	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) ) )
11	10	imbi1d 231	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
12		oveq2 5877	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
13	12	breq1d 4010	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
14	13	notbid 667	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
15	14	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) )
16	15	imbi1d 231	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
17		oveq2 5877	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ A ) )
18	17	breq1d 4010	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( ( 2 ^ w ) || N <-> ( 2 ^ A ) || N ) )
19	18	notbid 667	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( -. ( 2 ^ w ) || N <-> -. ( 2 ^ A ) || N ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) <-> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) ) )
21	20	imbi1d 231	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ w ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
22		0nn0 9180	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
23	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> 0 e. NN0 )
24		oveq2 5877	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ 0 ) )
25	24	breq1d 4010	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( ( 2 ^ m ) || N <-> ( 2 ^ 0 ) || N ) )
26		oveq1 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 0 -> ( m + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
27	26	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( 2 ^ ( m + 1 ) ) = ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) )
28	27	breq1d 4010	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) )
29	28	notbid 667	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) )
30	25, 29	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ 0 ) || N /\ -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) /\ m = 0 ) -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ 0 ) || N /\ -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) ) )
32		2cnd 8981	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> 2 e. CC )
33	32	exp0d 10633	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> ( 2 ^ 0 ) = 1 )
34		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> N e. NN )
35	34	nnzd 9363	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> N e. ZZ )
36		1dvds 11796	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> 1 || N )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> 1 || N )
38	33, 37	eqbrtrd 4022	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> ( 2 ^ 0 ) || N )
39		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> -. ( 2 ^ 1 ) || N )
40		0p1e1 9022	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
41	40	oveq2i 5880	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) = ( 2 ^ 1 )
42	41	breq1i 4007	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N <-> ( 2 ^ 1 ) || N )
43	39, 42	sylnibr 677	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N )
44	38, 43	jca 306	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> ( ( 2 ^ 0 ) || N /\ -. ( 2 ^ ( 0 + 1 ) ) || N ) )
45	23, 31, 44	rspcedvd 2847	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ 1 ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
46		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> k e. NN )
47	46	nnnn0d 9218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> k e. NN0 )
48		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ k ) )
49	48	breq1d 4010	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( 2 ^ m ) || N <-> ( 2 ^ k ) || N ) )
50		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( m + 1 ) = ( k + 1 ) )
51	50	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( 2 ^ ( m + 1 ) ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
52	51	breq1d 4010	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
53	52	notbid 667	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N <-> -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
54	49, 53	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ k ) || N /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) )
55	54	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) /\ m = k ) -> ( ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) <-> ( ( 2 ^ k ) || N /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) )
56		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> ( 2 ^ k ) || N )
57		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N )
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> ( ( 2 ^ k ) || N /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) )
59	47, 55, 58	rspcedvd 2847	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
60	59	adantllr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
61		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> N e. NN )
62	61	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) )
63		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) )
64	62, 63	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
65		2nn 9069	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
66		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> k e. NN )
67	66	nnnn0d 9218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> k e. NN0 )
68		nnexpcl 10519	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
69	65, 67, 68	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
70	61	nnzd 9363	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> N e. ZZ )
71		dvdsdc 11789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID ( 2 ^ k ) || N )
72	69, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> DECID ( 2 ^ k ) || N )
73		exmiddc 836	. . . . . . 7 |- (DECID ( 2 ^ k ) || N -> ( ( 2 ^ k ) || N \/ -. ( 2 ^ k ) || N ) )
74	72, 73	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> ( ( 2 ^ k ) || N \/ -. ( 2 ^ k ) || N ) )
75	60, 64, 74	mpjaodan 798	. . . . 5 |- ( ( ( k e. NN /\ ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) /\ ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
76	75	exp31 364	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ k ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) ) )
77	6, 11, 16, 21, 45, 76	nnind 8924	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) )
78	77	3ad2ant2 1019	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> ( ( N e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) ) )
79	1, 78	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. NN /\ -. ( 2 ^ A ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   NNcn 8908   2c2 8959   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ^cexp 10505   || cdvds 11778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-dvds 11779

This theorem is referenced by:  pw2dvds  12149