Theorem elpq 9714

Description: A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpq	|- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem elpq

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9687	. . . . 5 |- ( A e. QQ <-> E. z e. ZZ E. y e. NN A = ( z / y ) )
2		rexcom 2658	. . . . 5 |- ( E. z e. ZZ E. y e. NN A = ( z / y ) <-> E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . 4 |- ( A e. QQ <-> E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) )
4		breq2 4033	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( z / y ) -> ( 0 < A <-> 0 < ( z / y ) ) )
5		zre 9321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. RR )
7		nnre 8989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> y e. RR )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> y e. RR )
9		nngt0 9007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> 0 < y )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> 0 < y )
11		gt0div 8889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR /\ 0 < y ) -> ( 0 < z <-> 0 < ( z / y ) ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < z <-> 0 < ( z / y ) ) )
13	12	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < ( z / y ) <-> 0 < z ) )
14	4, 13	sylan9bb 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < A <-> 0 < z ) )
15		elnnz 9327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN <-> ( z e. ZZ /\ 0 < z ) )
16	15	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ZZ -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> z e. NN )
20		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( x / y ) = ( z / y ) )
21	20	eqeq2d 2205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( z / y ) ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) /\ x = z ) -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( z / y ) ) )
23		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> A = ( z / y ) )
24	19, 22, 23	rspcedvd 2870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) )
25	24	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < z -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
26	14, 25	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < A -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
27	26	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A = ( z / y ) -> ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < A -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) ) )
28	27	com13 80	. . . . . . 7 |- ( 0 < A -> ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) ) )
29	28	impl 380	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 < A /\ y e. NN ) /\ z e. ZZ ) -> ( A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
30	29	rexlimdva 2611	. . . . 5 |- ( ( 0 < A /\ y e. NN ) -> ( E. z e. ZZ A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
31	30	reximdva 2596	. . . 4 |- ( 0 < A -> ( E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
32	3, 31	biimtrid 152	. . 3 |- ( 0 < A -> ( A e. QQ -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
33	32	impcom 125	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) )
34		rexcom 2658	. 2 |- ( E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) <-> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) )
35	33, 34	sylibr 134	1 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   < clt 8054   / cdiv 8691   NNcn 8982   ZZcz 9317   QQcq 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-z 9318  df-q 9685

This theorem is referenced by:  elpqb  9715  logbgcd1irr  15099