Theorem elpq 9648

Description: A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpq	|- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem elpq

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9622	. . . . 5 |- ( A e. QQ <-> E. z e. ZZ E. y e. NN A = ( z / y ) )
2		rexcom 2641	. . . . 5 |- ( E. z e. ZZ E. y e. NN A = ( z / y ) <-> E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . 4 |- ( A e. QQ <-> E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) )
4		breq2 4008	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( z / y ) -> ( 0 < A <-> 0 < ( z / y ) ) )
5		zre 9257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. RR )
7		nnre 8926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> y e. RR )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> y e. RR )
9		nngt0 8944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> 0 < y )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> 0 < y )
11		gt0div 8827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR /\ 0 < y ) -> ( 0 < z <-> 0 < ( z / y ) ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < z <-> 0 < ( z / y ) ) )
13	12	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < ( z / y ) <-> 0 < z ) )
14	4, 13	sylan9bb 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < A <-> 0 < z ) )
15		elnnz 9263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN <-> ( z e. ZZ /\ 0 < z ) )
16	15	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ZZ -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> z e. NN )
20		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( x / y ) = ( z / y ) )
21	20	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( z / y ) ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) /\ x = z ) -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( z / y ) ) )
23		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> A = ( z / y ) )
24	19, 22, 23	rspcedvd 2848	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) )
25	24	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < z -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
26	14, 25	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < A -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
27	26	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A = ( z / y ) -> ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < A -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) ) )
28	27	com13 80	. . . . . . 7 |- ( 0 < A -> ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) ) )
29	28	impl 380	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 < A /\ y e. NN ) /\ z e. ZZ ) -> ( A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
30	29	rexlimdva 2594	. . . . 5 |- ( ( 0 < A /\ y e. NN ) -> ( E. z e. ZZ A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
31	30	reximdva 2579	. . . 4 |- ( 0 < A -> ( E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
32	3, 31	biimtrid 152	. . 3 |- ( 0 < A -> ( A e. QQ -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
33	32	impcom 125	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) )
34		rexcom 2641	. 2 |- ( E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) <-> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) )
35	33, 34	sylibr 134	1 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   RRcr 7810   0cc0 7811   < clt 7992   / cdiv 8629   NNcn 8919   ZZcz 9253   QQcq 9619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-z 9254  df-q 9620

This theorem is referenced by:  elpqb  9649  logbgcd1irr  14388