Theorem elpq 9723

Description: A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpq	|- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem elpq

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9696	. . . . 5 |- ( A e. QQ <-> E. z e. ZZ E. y e. NN A = ( z / y ) )
2		rexcom 2661	. . . . 5 |- ( E. z e. ZZ E. y e. NN A = ( z / y ) <-> E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . 4 |- ( A e. QQ <-> E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) )
4		breq2 4037	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( z / y ) -> ( 0 < A <-> 0 < ( z / y ) ) )
5		zre 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. RR )
7		nnre 8997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> y e. RR )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> y e. RR )
9		nngt0 9015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> 0 < y )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> 0 < y )
11		gt0div 8897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR /\ 0 < y ) -> ( 0 < z <-> 0 < ( z / y ) ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < z <-> 0 < ( z / y ) ) )
13	12	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < ( z / y ) <-> 0 < z ) )
14	4, 13	sylan9bb 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < A <-> 0 < z ) )
15		elnnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN <-> ( z e. ZZ /\ 0 < z ) )
16	15	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ZZ -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> z e. NN )
20		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( x / y ) = ( z / y ) )
21	20	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( z / y ) ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) /\ x = z ) -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( z / y ) ) )
23		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> A = ( z / y ) )
24	19, 22, 23	rspcedvd 2874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) )
25	24	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < z -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
26	14, 25	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < A -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
27	26	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A = ( z / y ) -> ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < A -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) ) )
28	27	com13 80	. . . . . . 7 |- ( 0 < A -> ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) ) )
29	28	impl 380	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 < A /\ y e. NN ) /\ z e. ZZ ) -> ( A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
30	29	rexlimdva 2614	. . . . 5 |- ( ( 0 < A /\ y e. NN ) -> ( E. z e. ZZ A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
31	30	reximdva 2599	. . . 4 |- ( 0 < A -> ( E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
32	3, 31	biimtrid 152	. . 3 |- ( 0 < A -> ( A e. QQ -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
33	32	impcom 125	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) )
34		rexcom 2661	. 2 |- ( E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) <-> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) )
35	33, 34	sylibr 134	1 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   < clt 8061   / cdiv 8699   NNcn 8990   ZZcz 9326   QQcq 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-z 9327  df-q 9694

This theorem is referenced by:  elpqb  9724  logbgcd1irr  15203