Theorem elpq 9882

Description: A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpq	|- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem elpq

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9855	. . . . 5 |- ( A e. QQ <-> E. z e. ZZ E. y e. NN A = ( z / y ) )
2		rexcom 2697	. . . . 5 |- ( E. z e. ZZ E. y e. NN A = ( z / y ) <-> E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . 4 |- ( A e. QQ <-> E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) )
4		breq2 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( z / y ) -> ( 0 < A <-> 0 < ( z / y ) ) )
5		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. RR )
7		nnre 9149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> y e. RR )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> y e. RR )
9		nngt0 9167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> 0 < y )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> 0 < y )
11		gt0div 9049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR /\ 0 < y ) -> ( 0 < z <-> 0 < ( z / y ) ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < z <-> 0 < ( z / y ) ) )
13	12	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < ( z / y ) <-> 0 < z ) )
14	4, 13	sylan9bb 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < A <-> 0 < z ) )
15		elnnz 9488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN <-> ( z e. ZZ /\ 0 < z ) )
16	15	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ZZ -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> z e. NN )
20		oveq1 6024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( x / y ) = ( z / y ) )
21	20	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( z / y ) ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) /\ x = z ) -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( z / y ) ) )
23		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> A = ( z / y ) )
24	19, 22, 23	rspcedvd 2916	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) )
25	24	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < z -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
26	14, 25	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < A -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
27	26	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A = ( z / y ) -> ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < A -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) ) )
28	27	com13 80	. . . . . . 7 |- ( 0 < A -> ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) ) )
29	28	impl 380	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 < A /\ y e. NN ) /\ z e. ZZ ) -> ( A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
30	29	rexlimdva 2650	. . . . 5 |- ( ( 0 < A /\ y e. NN ) -> ( E. z e. ZZ A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
31	30	reximdva 2634	. . . 4 |- ( 0 < A -> ( E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
32	3, 31	biimtrid 152	. . 3 |- ( 0 < A -> ( A e. QQ -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
33	32	impcom 125	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) )
34		rexcom 2697	. 2 |- ( E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) <-> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) )
35	33, 34	sylibr 134	1 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   < clt 8213   / cdiv 8851   NNcn 9142   ZZcz 9478   QQcq 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-z 9479  df-q 9853

This theorem is referenced by:  elpqb  9883  logbgcd1irr  15690