Theorem elpq 10049

Description: A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpq	|- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem elpq

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 10022	. . . . 5 |- ( A e. QQ <-> E. z e. ZZ E. y e. NN A = ( z / y ) )
2		rexcom 2715	. . . . 5 |- ( E. z e. ZZ E. y e. NN A = ( z / y ) <-> E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . 4 |- ( A e. QQ <-> E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) )
4		breq2 4134	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( z / y ) -> ( 0 < A <-> 0 < ( z / y ) ) )
5		zre 9648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. RR )
7		nnre 9311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> y e. RR )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> y e. RR )
9		nngt0 9329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> 0 < y )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> 0 < y )
11		gt0div 9200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR /\ 0 < y ) -> ( 0 < z <-> 0 < ( z / y ) ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < z <-> 0 < ( z / y ) ) )
13	12	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < ( z / y ) <-> 0 < z ) )
14	4, 13	sylan9bb 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < A <-> 0 < z ) )
15		elnnz 9654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN <-> ( z e. ZZ /\ 0 < z ) )
16	15	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ZZ -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < z -> z e. NN ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> z e. NN )
20		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( x / y ) = ( z / y ) )
21	20	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( z / y ) ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) /\ x = z ) -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( z / y ) ) )
23		simpll 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> A = ( z / y ) )
24	19, 22, 23	rspcedvd 2935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) /\ 0 < z ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) )
25	24	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < z -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
26	14, 25	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( z / y ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 0 < A -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
27	26	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A = ( z / y ) -> ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( 0 < A -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) ) )
28	27	com13 80	. . . . . . 7 |- ( 0 < A -> ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) ) )
29	28	impl 380	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 < A /\ y e. NN ) /\ z e. ZZ ) -> ( A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
30	29	rexlimdva 2668	. . . . 5 |- ( ( 0 < A /\ y e. NN ) -> ( E. z e. ZZ A = ( z / y ) -> E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
31	30	reximdva 2652	. . . 4 |- ( 0 < A -> ( E. y e. NN E. z e. ZZ A = ( z / y ) -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
32	3, 31	biimtrid 152	. . 3 |- ( 0 < A -> ( A e. QQ -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) ) )
33	32	impcom 125	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) )
34		rexcom 2715	. 2 |- ( E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) <-> E. y e. NN E. x e. NN A = ( x / y ) )
35	33, 34	sylibr 134	1 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   < clt 8360   / cdiv 9002   NNcn 9304   ZZcz 9644   QQcq 10019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-z 9645  df-q 10020

This theorem is used by:  elpqb  10050  logbgcd1irr  16069