Theorem sgrp0 12627

Description: Any set with an empty base set and any group operation is a semigroup. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sgrp0	|- ( ( M e. V /\ ( Base ` M ) = (/) ) -> M e. Smgrp )

Proof of Theorem sgrp0

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm0 12600	. 2 |- ( ( M e. V /\ ( Base ` M ) = (/) ) -> M e. Mgm )
2		rzal 3506	. . 3 |- ( ( Base ` M ) = (/) -> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
3	2	adantl 275	. 2 |- ( ( M e. V /\ ( Base ` M ) = (/) ) -> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
4		eqid 2165	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
5		eqid 2165	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
6	4, 5	issgrp 12621	. 2 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
7	1, 3, 6	sylanbrc 414	1 |- ( ( M e. V /\ ( Base ` M ) = (/) ) -> M e. Smgrp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   (/)c0 3409   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Basecbs 12394   +g cplusg 12457  Mgmcmgm 12585  Smgrpcsgrp 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196  df-ov 5845  df-inn 8858  df-2 8916  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-plusg 12470  df-mgm 12587  df-sgrp 12620

This theorem is referenced by: (None)