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Theorem smoeq 6269
Description: Equality theorem for strictly monotone functions. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
smoeq  |-  ( A  =  B  ->  ( Smo  A  <->  Smo  B ) )

Proof of Theorem smoeq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  A  =  B )
2 dmeq 4811 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  dom  A  =  dom  B )
31, 2feq12d 5337 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A : dom  A --> On  <->  B : dom  B --> On ) )
4 ordeq 4357 . . . 4  |-  ( dom 
A  =  dom  B  ->  ( Ord  dom  A  <->  Ord 
dom  B ) )
52, 4syl 14 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( Ord  dom  A  <->  Ord  dom  B
) )
6 fveq1 5495 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A `  x )  =  ( B `  x ) )
7 fveq1 5495 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A `  y )  =  ( B `  y ) )
86, 7eleq12d 2241 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
( A `  x
)  e.  ( A `
 y )  <->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) )
98imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  <->  ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
1092ralbidv 2494 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
112raleqdv 2671 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
1211ralbidv 2470 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
132raleqdv 2671 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
1410, 12, 133bitrd 213 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
153, 5, 143anbi123d 1307 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( A : dom  A --> On  /\  Ord  dom  A  /\  A. x  e. 
dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) )  <->  ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom  B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) ) ) ) )
16 df-smo 6265 . 2  |-  ( Smo 
A  <->  ( A : dom  A --> On  /\  Ord  dom 
A  /\  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
17 df-smo 6265 . 2  |-  ( Smo 
B  <->  ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom 
B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y
) ) ) )
1815, 16, 173bitr4g 222 1  |-  ( A  =  B  ->  ( Smo  A  <->  Smo  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   Ord word 4347   Oncon0 4348   dom cdm 4611   -->wf 5194   ` cfv 5198   Smo wsmo 6264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-iord 4351  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-smo 6265
This theorem is referenced by:  smores3  6272  smo0  6277
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