Theorem smoeq 6234

Description: Equality theorem for strictly monotone functions. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoeq	|- ( A = B -> ( Smo A <-> Smo B ) )

Proof of Theorem smoeq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( A = B -> A = B )
2		dmeq 4785	. . . 4 |- ( A = B -> dom A = dom B )
3	1, 2	feq12d 5308	. . 3 |- ( A = B -> ( A : dom A --> On <-> B : dom B --> On ) )
4		ordeq 4332	. . . 4 |- ( dom A = dom B -> ( Ord dom A <-> Ord dom B ) )
5	2, 4	syl 14	. . 3 |- ( A = B -> ( Ord dom A <-> Ord dom B ) )
6		fveq1 5466	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ` x ) = ( B ` x ) )
7		fveq1 5466	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ` y ) = ( B ` y ) )
8	6, 7	eleq12d 2228	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( A ` x ) e. ( A ` y ) <-> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) )
9	8	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
10	9	2ralbidv 2481	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
11	2	raleqdv 2658	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2457	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. x e. dom A A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
13	2	raleqdv 2658	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
14	10, 12, 13	3bitrd 213	. . 3 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
15	3, 5, 14	3anbi123d 1294	. 2 |- ( A = B -> ( ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) ) )
16		df-smo 6230	. 2 |- ( Smo A <-> ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
17		df-smo 6230	. 2 |- ( Smo B <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4g 222	1 |- ( A = B -> ( Smo A <-> Smo B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   Ord word 4322   Oncon0 4323   dom cdm 4585   -->wf 5165   ` cfv 5169   Smo wsmo 6229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-iord 4326  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-smo 6230

This theorem is referenced by:  smores3  6237  smo0  6242