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Theorem smoeq 6316
Description: Equality theorem for strictly monotone functions. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
smoeq  |-  ( A  =  B  ->  ( Smo  A  <->  Smo  B ) )

Proof of Theorem smoeq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  A  =  B )
2 dmeq 4845 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  dom  A  =  dom  B )
31, 2feq12d 5374 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A : dom  A --> On  <->  B : dom  B --> On ) )
4 ordeq 4390 . . . 4  |-  ( dom 
A  =  dom  B  ->  ( Ord  dom  A  <->  Ord 
dom  B ) )
52, 4syl 14 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( Ord  dom  A  <->  Ord  dom  B
) )
6 fveq1 5533 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A `  x )  =  ( B `  x ) )
7 fveq1 5533 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A `  y )  =  ( B `  y ) )
86, 7eleq12d 2260 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
( A `  x
)  e.  ( A `
 y )  <->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) )
98imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  <->  ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
1092ralbidv 2514 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
112raleqdv 2692 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
1211ralbidv 2490 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
132raleqdv 2692 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
1410, 12, 133bitrd 214 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  <->  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y ) ) ) )
153, 5, 143anbi123d 1323 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( A : dom  A --> On  /\  Ord  dom  A  /\  A. x  e. 
dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) )  <->  ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom  B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  -> 
( B `  x
)  e.  ( B `
 y ) ) ) ) )
16 df-smo 6312 . 2  |-  ( Smo 
A  <->  ( A : dom  A --> On  /\  Ord  dom 
A  /\  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
17 df-smo 6312 . 2  |-  ( Smo 
B  <->  ( B : dom  B --> On  /\  Ord  dom 
B  /\  A. x  e.  dom  B A. y  e.  dom  B ( x  e.  y  ->  ( B `  x )  e.  ( B `  y
) ) ) )
1815, 16, 173bitr4g 223 1  |-  ( A  =  B  ->  ( Smo  A  <->  Smo  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   Ord word 4380   Oncon0 4381   dom cdm 4644   -->wf 5231   ` cfv 5235   Smo wsmo 6311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-iord 4384  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-smo 6312
This theorem is referenced by:  smores3  6319  smo0  6324
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