Theorem smoeq 6376

Description: Equality theorem for strictly monotone functions. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoeq	|- ( A = B -> ( Smo A <-> Smo B ) )

Proof of Theorem smoeq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( A = B -> A = B )
2		dmeq 4878	. . . 4 |- ( A = B -> dom A = dom B )
3	1, 2	feq12d 5415	. . 3 |- ( A = B -> ( A : dom A --> On <-> B : dom B --> On ) )
4		ordeq 4419	. . . 4 |- ( dom A = dom B -> ( Ord dom A <-> Ord dom B ) )
5	2, 4	syl 14	. . 3 |- ( A = B -> ( Ord dom A <-> Ord dom B ) )
6		fveq1 5575	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ` x ) = ( B ` x ) )
7		fveq1 5575	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ` y ) = ( B ` y ) )
8	6, 7	eleq12d 2276	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( A ` x ) e. ( A ` y ) <-> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
10	9	2ralbidv 2530	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
11	2	raleqdv 2708	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2506	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. x e. dom A A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
13	2	raleqdv 2708	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
14	10, 12, 13	3bitrd 214	. . 3 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
15	3, 5, 14	3anbi123d 1325	. 2 |- ( A = B -> ( ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) ) )
16		df-smo 6372	. 2 |- ( Smo A <-> ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
17		df-smo 6372	. 2 |- ( Smo B <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4g 223	1 |- ( A = B -> ( Smo A <-> Smo B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   Ord word 4409   Oncon0 4410   dom cdm 4675   -->wf 5267   ` cfv 5271   Smo wsmo 6371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-tr 4143  df-iord 4413  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-smo 6372

This theorem is referenced by:  smores3  6379  smo0  6384