Theorem smoeq 6436

Description: Equality theorem for strictly monotone functions. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoeq	|- ( A = B -> ( Smo A <-> Smo B ) )

Proof of Theorem smoeq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( A = B -> A = B )
2		dmeq 4923	. . . 4 |- ( A = B -> dom A = dom B )
3	1, 2	feq12d 5463	. . 3 |- ( A = B -> ( A : dom A --> On <-> B : dom B --> On ) )
4		ordeq 4463	. . . 4 |- ( dom A = dom B -> ( Ord dom A <-> Ord dom B ) )
5	2, 4	syl 14	. . 3 |- ( A = B -> ( Ord dom A <-> Ord dom B ) )
6		fveq1 5626	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ` x ) = ( B ` x ) )
7		fveq1 5626	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ` y ) = ( B ` y ) )
8	6, 7	eleq12d 2300	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( A ` x ) e. ( A ` y ) <-> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
10	9	2ralbidv 2554	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
11	2	raleqdv 2734	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. x e. dom A A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
13	2	raleqdv 2734	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
14	10, 12, 13	3bitrd 214	. . 3 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
15	3, 5, 14	3anbi123d 1346	. 2 |- ( A = B -> ( ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) ) )
16		df-smo 6432	. 2 |- ( Smo A <-> ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
17		df-smo 6432	. 2 |- ( Smo B <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4g 223	1 |- ( A = B -> ( Smo A <-> Smo B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   Ord word 4453   Oncon0 4454   dom cdm 4719   -->wf 5314   ` cfv 5318   Smo wsmo 6431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-tr 4183  df-iord 4457  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-smo 6432

This theorem is referenced by:  smores3  6439  smo0  6444