Theorem dmeq 4981

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	|- ( A = B -> dom A = dom B )

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4980	. . 3 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )
2		dmss 4980	. . 3 |- ( B C_ A -> dom B C_ dom A )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
4		eqss 3263	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		eqss 3263	. 2 |- ( dom A = dom B <-> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 |- ( A = B -> dom A = dom B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   C_ wss 3220   dom cdm 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-dm 4784

This theorem is used by:  dmeqi  4982  dmeqd  4983  xpid11  5005  sqxpeq0  5211  fneq1  5469  eqfnfv2  5807  funopdmsn  5895  offval  6310  ofrfval  6311  offval3  6367  suppval  6477  smoeq  6561  tfrlemi14d  6604  tfr1onlemres  6620  tfrcllemres  6633  rdgivallem  6652  rdgon  6657  rdg0  6658  frec0g  6668  freccllem  6673  frecfcllem  6675  frecsuclem  6677  frecsuc  6678  ereq1  6814  fundmeng  7095  acfun  7564  ccfunen  7631  fundm2domnop0  11316  ennnfonelemj0  13344  ennnfonelemg  13346  ennnfonelemp1  13349  ennnfonelemom  13351  ennnfonelemnn0  13365  ptex  13671  gsumvalfi  14236  prdsex  14256  blfvalps  15577  reldvg  15871  uhgr0e  16489  incistruhgr  16497  ausgrusgrien  16578  egrsubgr  16670  vtxdgfval  16695