Theorem dmeq 4976

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	|- ( A = B -> dom A = dom B )

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4975	. . 3 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )
2		dmss 4975	. . 3 |- ( B C_ A -> dom B C_ dom A )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
4		eqss 3263	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		eqss 3263	. 2 |- ( dom A = dom B <-> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 |- ( A = B -> dom A = dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   C_ wss 3220   dom cdm 4769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-dm 4779

This theorem is referenced by:  dmeqi  4977  dmeqd  4978  xpid11  5000  sqxpeq0  5206  fneq1  5464  eqfnfv2  5798  funopdmsn  5886  offval  6300  ofrfval  6301  offval3  6357  suppval  6467  smoeq  6551  tfrlemi14d  6594  tfr1onlemres  6610  tfrcllemres  6623  rdgivallem  6642  rdgon  6647  rdg0  6648  frec0g  6658  freccllem  6663  frecfcllem  6665  frecsuclem  6667  frecsuc  6668  ereq1  6804  fundmeng  7085  acfun  7553  ccfunen  7620  fundm2domnop0  11278  ennnfonelemj0  13270  ennnfonelemg  13272  ennnfonelemp1  13275  ennnfonelemom  13277  ennnfonelemnn0  13291  ptex  13595  gsumvalfi  14129  prdsex  14149  blfvalps  15409  reldvg  15703  uhgr0e  16237  incistruhgr  16245  ausgrusgrien  16326  egrsubgr  16418  vtxdgfval  16443