Theorem dmeq 4929

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	|- ( A = B -> dom A = dom B )

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4928	. . 3 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )
2		dmss 4928	. . 3 |- ( B C_ A -> dom B C_ dom A )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
4		eqss 3240	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		eqss 3240	. 2 |- ( dom A = dom B <-> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 |- ( A = B -> dom A = dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   C_ wss 3198   dom cdm 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-dm 4733

This theorem is referenced by:  dmeqi  4930  dmeqd  4931  xpid11  4953  sqxpeq0  5158  fneq1  5415  eqfnfv2  5741  funopdmsn  5829  offval  6238  ofrfval  6239  offval3  6291  smoeq  6451  tfrlemi14d  6494  tfr1onlemres  6510  tfrcllemres  6523  rdgivallem  6542  rdgon  6547  rdg0  6548  frec0g  6558  freccllem  6563  frecfcllem  6565  frecsuclem  6567  frecsuc  6568  ereq1  6704  fundmeng  6977  acfun  7412  ccfunen  7473  fundm2domnop0  11099  ennnfonelemj0  13012  ennnfonelemg  13014  ennnfonelemp1  13017  ennnfonelemom  13019  ennnfonelemnn0  13033  ptex  13337  prdsex  13342  blfvalps  15099  reldvg  15393  uhgr0e  15923  incistruhgr  15931  ausgrusgrien  16010  vtxdgfval  16094