Theorem dmeq 4931

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	|- ( A = B -> dom A = dom B )

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4930	. . 3 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )
2		dmss 4930	. . 3 |- ( B C_ A -> dom B C_ dom A )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
4		eqss 3242	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		eqss 3242	. 2 |- ( dom A = dom B <-> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 |- ( A = B -> dom A = dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   C_ wss 3200   dom cdm 4725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-dm 4735

This theorem is referenced by:  dmeqi  4932  dmeqd  4933  xpid11  4955  sqxpeq0  5160  fneq1  5418  eqfnfv2  5745  funopdmsn  5833  offval  6242  ofrfval  6243  offval3  6295  smoeq  6455  tfrlemi14d  6498  tfr1onlemres  6514  tfrcllemres  6527  rdgivallem  6546  rdgon  6551  rdg0  6552  frec0g  6562  freccllem  6567  frecfcllem  6569  frecsuclem  6571  frecsuc  6572  ereq1  6708  fundmeng  6981  acfun  7421  ccfunen  7482  fundm2domnop0  11108  ennnfonelemj0  13021  ennnfonelemg  13023  ennnfonelemp1  13026  ennnfonelemom  13028  ennnfonelemnn0  13042  ptex  13346  prdsex  13351  blfvalps  15108  reldvg  15402  uhgr0e  15932  incistruhgr  15940  ausgrusgrien  16021  egrsubgr  16113  vtxdgfval  16138  gfsumval  16680