Theorem dmeq 4983

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	|- ( A = B -> dom A = dom B )

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4982	. . 3 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )
2		dmss 4982	. . 3 |- ( B C_ A -> dom B C_ dom A )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
4		eqss 3263	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		eqss 3263	. 2 |- ( dom A = dom B <-> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 |- ( A = B -> dom A = dom B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   C_ wss 3220   dom cdm 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-dm 4786

This theorem is used by:  dmeqi  4984  dmeqd  4985  xpid11  5007  sqxpeq0  5214  fneq1  5472  eqfnfv2  5810  funopdmsn  5898  ofovex  6311  offval  6314  ofrfval  6315  offval3  6371  suppval  6481  smoeq  6566  tfrlemi14d  6609  tfr1onlemres  6625  tfrcllemres  6638  rdgivallem  6657  rdgon  6662  rdg0  6663  frec0g  6673  freccllem  6678  frecfcllem  6680  frecsuclem  6682  frecsuc  6683  ereq1  6819  fundmeng  7101  isfsuppfi  7296  acfun  7569  ccfunen  7636  fundm2domnop0  11321  ennnfonelemj0  13349  ennnfonelemg  13351  ennnfonelemp1  13354  ennnfonelemom  13356  ennnfonelemnn0  13370  ptex  13676  gsumvalfi  14241  prdsex  14278  blfvalps  15628  reldvg  15922  uhgr0e  16545  incistruhgr  16553  ausgrusgrien  16634  egrsubgr  16726  vtxdgfval  16751