Theorem dmeq 4958

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	|- ( A = B -> dom A = dom B )

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4957	. . 3 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )
2		dmss 4957	. . 3 |- ( B C_ A -> dom B C_ dom A )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
4		eqss 3255	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		eqss 3255	. 2 |- ( dom A = dom B <-> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 |- ( A = B -> dom A = dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   C_ wss 3213   dom cdm 4751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-dm 4761

This theorem is referenced by:  dmeqi  4959  dmeqd  4960  xpid11  4982  sqxpeq0  5188  fneq1  5446  eqfnfv2  5778  funopdmsn  5866  offval  6276  ofrfval  6277  offval3  6329  suppval  6439  smoeq  6523  tfrlemi14d  6566  tfr1onlemres  6582  tfrcllemres  6595  rdgivallem  6614  rdgon  6619  rdg0  6620  frec0g  6630  freccllem  6635  frecfcllem  6637  frecsuclem  6639  frecsuc  6640  ereq1  6776  fundmeng  7050  acfun  7516  ccfunen  7580  fundm2domnop0  11224  ennnfonelemj0  13169  ennnfonelemg  13171  ennnfonelemp1  13174  ennnfonelemom  13176  ennnfonelemnn0  13190  ptex  13494  prdsex  13499  blfvalps  15267  reldvg  15561  uhgr0e  16094  incistruhgr  16102  ausgrusgrien  16183  egrsubgr  16275  vtxdgfval  16300  gfsumval  16879