Theorem dmeq 4747

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	|- ( A = B -> dom A = dom B )

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4746	. . 3 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )
2		dmss 4746	. . 3 |- ( B C_ A -> dom B C_ dom A )
3	1, 2	anim12i 336	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
4		eqss 3117	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		eqss 3117	. 2 |- ( dom A = dom B <-> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
6	3, 4, 5	3imtr4i 200	1 |- ( A = B -> dom A = dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   C_ wss 3076   dom cdm 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-dm 4557

This theorem is referenced by:  dmeqi  4748  dmeqd  4749  xpid11  4770  sqxpeq0  4970  fneq1  5219  eqfnfv2  5527  offval  5997  ofrfval  5998  offval3  6040  smoeq  6195  tfrlemi14d  6238  tfr1onlemres  6254  tfrcllemres  6267  rdgivallem  6286  rdgon  6291  rdg0  6292  frec0g  6302  freccllem  6307  frecfcllem  6309  frecsuclem  6311  frecsuc  6312  ereq1  6444  fundmeng  6709  acfun  7080  ccfunen  7096  ennnfonelemj0  11950  ennnfonelemg  11952  ennnfonelemp1  11955  ennnfonelemom  11957  ennnfonelemnn0  11971  blfvalps  12593  reldvg  12856