ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mndcl Unicode version

Theorem mndcl 12713
Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mndcl  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem mndcl
StepHypRef Expression
1 mndmgm 12712 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e. Mgm )
2 mndcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 mndcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3mgmcl 12667 . 2  |-  ( ( G  e. Mgm  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
51, 4syl3an1 1271 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Basecbs 12442   +g cplusg 12515  Mgmcmgm 12662   Mndcmnd 12706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1re 7893  ax-addrcl 7896
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-ov 5872  df-inn 8906  df-2 8964  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-mgm 12664  df-sgrp 12697  df-mnd 12707
This theorem is referenced by:  mnd4g  12719  mndpropd  12730  issubmnd  12732  idmhm  12747  mhmf1o  12748  issubmd  12752  submid  12755  0mhm  12760  mhmco  12761  mhmeql  12763  grpcl  12772  mhmmnd  12866  mulgnn0cl  12885  mulgnn0z  12895  srgcl  12976  srgacl  12988  ringcl  13019  ringpropd  13040
  Copyright terms: Public domain W3C validator