Theorem mndcl 13472

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndcl	|- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 13471	. 2 |- ( G e. Mnd -> G e. Mgm )
2		mndcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		mndcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mgmcl 13408	. 2 |- ( ( G e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1304	1 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13048   +g cplusg 13126  Mgmcmgm 13403   Mndcmnd 13465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-plusg 13139  df-mgm 13405  df-sgrp 13451  df-mnd 13466

This theorem is referenced by:  mnd4g  13478  mndpropd  13489  issubmnd  13491  prdsplusgcl  13495  imasmnd  13502  idmhm  13518  mhmf1o  13519  issubmd  13523  submid  13526  0mhm  13535  mhmco  13539  mhmeql  13541  gsumwmhm  13547  gsumfzcl  13548  grpcl  13557  mhmmnd  13669  mulgnn0cl  13691  mulgnn0z  13702  gsumfzreidx  13890  gsumfzmptfidmadd  13892  gsumfzmhm  13896  srgcl  13949  srgacl  13961  ringcl  13992  ringpropd  14017