Theorem mndcl 13713

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndcl	|- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 13712	. 2 |- ( G e. Mnd -> G e. Mgm )
2		mndcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		mndcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mgmcl 13656	. 2 |- ( ( G e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1311	1 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408  Mgmcmgm 13651   Mndcmnd 13706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707

This theorem is referenced by:  mnd4g  13719  mndpropd  13730  issubmnd  13732  imasmnd  13737  idmhm  13753  mhmf1o  13754  issubmd  13758  submid  13761  0mhm  13770  mhmco  13774  mhmeql  13776  gzsumwmhm  13780  gzsumcl  13781  grpcl  13790  mhmmnd  13896  mulgnn0cl  13918  mulgnn0z  13929  gzsumreidx  14118  gzsummhm  14122  gsumvalfi  14129  gsumclfi  14136  gsummptfidmadd  14138  prdsplusgcl  14169  srgcl  14248  srgacl  14260  ringcl  14291  ringpropd  14316