Theorem mndcl 13586

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndcl	|- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 13585	. 2 |- ( G e. Mnd -> G e. Mgm )
2		mndcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		mndcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mgmcl 13522	. 2 |- ( ( G e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1307	1 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240  Mgmcmgm 13517   Mndcmnd 13579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580

This theorem is referenced by:  mnd4g  13592  mndpropd  13603  issubmnd  13605  prdsplusgcl  13609  imasmnd  13616  idmhm  13632  mhmf1o  13633  issubmd  13637  submid  13640  0mhm  13649  mhmco  13653  mhmeql  13655  gsumwmhm  13661  gsumfzcl  13662  grpcl  13671  mhmmnd  13783  mulgnn0cl  13805  mulgnn0z  13816  gsumfzreidx  14004  gsumfzmptfidmadd  14006  gsumfzmhm  14010  srgcl  14064  srgacl  14076  ringcl  14107  ringpropd  14132  gfsumval  16809  gfsumcl  16816