Theorem srglmhm 13549

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	|- B = ( Base ` R )
srglmhm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srglmhm	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, X   x, .x.

Proof of Theorem srglmhm

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 13523	. . . 4 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2	1, 1	jca 306	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4		srglmhm.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
5		srglmhm.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	srgcl 13526	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
7	6	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
8	7	fmpttd 5717	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B )
9		3anass 984	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
10		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
11	4, 10, 5	srgdi 13530	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
12	9, 11	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
13	12	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
14		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) = ( x e. B |-> ( X .x. x ) )
15		oveq2 5930	. . . . . 6 |- ( x = ( a ( +g ` R ) b ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
16	4, 10	srgacl 13538	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
17	16	3expb 1206	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
18	17	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
19		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> R e. SRing )
20		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> X e. B )
21	4, 5	srgcl 13526	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) e. B )
22	19, 20, 18, 21	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) e. B )
23	14, 15, 18, 22	fvmptd3 5655	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
24		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( X .x. x ) = ( X .x. a ) )
25		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> a e. B )
26	4, 5	srgcl 13526	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ a e. B ) -> ( X .x. a ) e. B )
27	19, 20, 25, 26	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. a ) e. B )
28	14, 24, 25, 27	fvmptd3 5655	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) = ( X .x. a ) )
29		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( x = b -> ( X .x. x ) = ( X .x. b ) )
30		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> b e. B )
31	4, 5	srgcl 13526	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ b e. B ) -> ( X .x. b ) e. B )
32	19, 20, 30, 31	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. b ) e. B )
33	14, 29, 30, 32	fvmptd3 5655	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) = ( X .x. b ) )
34	28, 33	oveq12d 5940	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
35	13, 23, 34	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) )
36	35	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) )
37		oveq2 5930	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
38		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
39	4, 38	srg0cl 13533	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> ( 0g ` R ) e. B )
40	39	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( 0g ` R ) e. B )
41	4, 5	srgcl 13526	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) e. B )
42	40, 41	mpd3an3 1349	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) e. B )
43	14, 37, 40, 42	fvmptd3 5655	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
44	4, 5, 38	srgrz 13540	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
45	43, 44	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
46	8, 36, 45	3jca 1179	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
47	4, 4, 10, 10, 38, 38	ismhm 13093	. 2 |- ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) <-> ( ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
48	3, 46, 47	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   |-> cmpt 4094   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756   0gc0g 12927   Mndcmnd 13057   MndHom cmhm 13089  SRingcsrg 13519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091  df-cmn 13416  df-mgp 13477  df-srg 13520

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