Theorem srglmhm 14280

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	|- B = ( Base ` R )
srglmhm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srglmhm	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, X   x, .x.

Proof of Theorem srglmhm

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 14254	. . . 4 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2	1, 1	jca 306	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4		srglmhm.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
5		srglmhm.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	srgcl 14257	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
7	6	3expa 1234	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
8	7	fmpttd 5857	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B )
9		3anass 1013	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
10		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
11	4, 10, 5	srgdi 14261	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
12	9, 11	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
13	12	anassrs 404	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
14		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) = ( x e. B |-> ( X .x. x ) )
15		oveq2 6087	. . . . . 6 |- ( x = ( a ( +g ` R ) b ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
16	4, 10	srgacl 14269	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
17	16	3expb 1235	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
18	17	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
19		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> R e. SRing )
20		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> X e. B )
21	4, 5	srgcl 14257	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) e. B )
22	19, 20, 18, 21	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) e. B )
23	14, 15, 18, 22	fvmptd3 5796	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
24		oveq2 6087	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( X .x. x ) = ( X .x. a ) )
25		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> a e. B )
26	4, 5	srgcl 14257	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ a e. B ) -> ( X .x. a ) e. B )
27	19, 20, 25, 26	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. a ) e. B )
28	14, 24, 25, 27	fvmptd3 5796	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) = ( X .x. a ) )
29		oveq2 6087	. . . . . . 7 |- ( x = b -> ( X .x. x ) = ( X .x. b ) )
30		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> b e. B )
31	4, 5	srgcl 14257	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ b e. B ) -> ( X .x. b ) e. B )
32	19, 20, 30, 31	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. b ) e. B )
33	14, 29, 30, 32	fvmptd3 5796	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) = ( X .x. b ) )
34	28, 33	oveq12d 6097	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
35	13, 23, 34	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) )
36	35	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) )
37		oveq2 6087	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
38		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
39	4, 38	srg0cl 14264	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> ( 0g ` R ) e. B )
40	39	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( 0g ` R ) e. B )
41	4, 5	srgcl 14257	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) e. B )
42	40, 41	mpd3an3 1379	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) e. B )
43	14, 37, 40, 42	fvmptd3 5796	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
44	4, 5, 38	srgrz 14271	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
45	43, 44	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
46	8, 36, 45	3jca 1208	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
47	4, 4, 10, 10, 38, 38	ismhm 13751	. 2 |- ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) <-> ( ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
48	3, 46, 47	sylanbrc 421	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   |-> cmpt 4190   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335   +g cplusg 13414   .rcmulr 13415   0gc0g 13593   Mndcmnd 13712   MndHom cmhm 13747  SRingcsrg 14250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-map 6918  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-mhm 13749  df-cmn 14072  df-mgp 14201  df-srg 14251

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