Theorem srglmhm 13181

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	|- B = ( Base ` R )
srglmhm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srglmhm	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, X   x, .x.

Proof of Theorem srglmhm

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 13155	. . . 4 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2	1, 1	jca 306	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4		srglmhm.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
5		srglmhm.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	srgcl 13158	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
7	6	3expa 1203	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
8	7	fmpttd 5673	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B )
9		3anass 982	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
10		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
11	4, 10, 5	srgdi 13162	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
12	9, 11	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
13	12	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
14		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) = ( x e. B |-> ( X .x. x ) )
15		oveq2 5885	. . . . . 6 |- ( x = ( a ( +g ` R ) b ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
16	4, 10	srgacl 13170	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
17	16	3expb 1204	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
18	17	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
19		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> R e. SRing )
20		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> X e. B )
21	4, 5	srgcl 13158	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) e. B )
22	19, 20, 18, 21	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) e. B )
23	14, 15, 18, 22	fvmptd3 5611	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
24		oveq2 5885	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( X .x. x ) = ( X .x. a ) )
25		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> a e. B )
26	4, 5	srgcl 13158	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ a e. B ) -> ( X .x. a ) e. B )
27	19, 20, 25, 26	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. a ) e. B )
28	14, 24, 25, 27	fvmptd3 5611	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) = ( X .x. a ) )
29		oveq2 5885	. . . . . . 7 |- ( x = b -> ( X .x. x ) = ( X .x. b ) )
30		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> b e. B )
31	4, 5	srgcl 13158	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ b e. B ) -> ( X .x. b ) e. B )
32	19, 20, 30, 31	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. b ) e. B )
33	14, 29, 30, 32	fvmptd3 5611	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) = ( X .x. b ) )
34	28, 33	oveq12d 5895	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
35	13, 23, 34	3eqtr4d 2220	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) )
36	35	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) )
37		oveq2 5885	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
38		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
39	4, 38	srg0cl 13165	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> ( 0g ` R ) e. B )
40	39	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( 0g ` R ) e. B )
41	4, 5	srgcl 13158	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) e. B )
42	40, 41	mpd3an3 1338	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) e. B )
43	14, 37, 40, 42	fvmptd3 5611	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
44	4, 5, 38	srgrz 13172	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
45	43, 44	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
46	8, 36, 45	3jca 1177	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
47	4, 4, 10, 10, 38, 38	ismhm 12858	. 2 |- ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) <-> ( ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
48	3, 46, 47	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   |-> cmpt 4066   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   .rcmulr 12539   0gc0g 12710   Mndcmnd 12822   MndHom cmhm 12854  SRingcsrg 13151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mhm 12856  df-cmn 13095  df-mgp 13136  df-srg 13152

This theorem is referenced by: (None)