Theorem srglmhm 12969

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	|- B = ( Base ` R )
srglmhm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srglmhm	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, X   x, .x.

Proof of Theorem srglmhm

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 12943	. . . 4 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2	1, 1	jca 306	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4		srglmhm.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
5		srglmhm.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	srgcl 12946	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
7	6	3expa 1203	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
8	7	fmpttd 5663	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B )
9		3anass 982	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
10		eqid 2175	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
11	4, 10, 5	srgdi 12950	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
12	9, 11	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
13	12	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
14		eqid 2175	. . . . . 6 |- ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) = ( x e. B |-> ( X .x. x ) )
15		oveq2 5873	. . . . . 6 |- ( x = ( a ( +g ` R ) b ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
16	4, 10	srgacl 12958	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
17	16	3expb 1204	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
18	17	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
19		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> R e. SRing )
20		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> X e. B )
21	4, 5	srgcl 12946	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) e. B )
22	19, 20, 18, 21	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) e. B )
23	14, 15, 18, 22	fvmptd3 5601	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
24		oveq2 5873	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( X .x. x ) = ( X .x. a ) )
25		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> a e. B )
26	4, 5	srgcl 12946	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ a e. B ) -> ( X .x. a ) e. B )
27	19, 20, 25, 26	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. a ) e. B )
28	14, 24, 25, 27	fvmptd3 5601	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) = ( X .x. a ) )
29		oveq2 5873	. . . . . . 7 |- ( x = b -> ( X .x. x ) = ( X .x. b ) )
30		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> b e. B )
31	4, 5	srgcl 12946	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ b e. B ) -> ( X .x. b ) e. B )
32	19, 20, 30, 31	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. b ) e. B )
33	14, 29, 30, 32	fvmptd3 5601	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) = ( X .x. b ) )
34	28, 33	oveq12d 5883	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
35	13, 23, 34	3eqtr4d 2218	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) )
36	35	ralrimivva 2557	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) )
37		oveq2 5873	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
38		eqid 2175	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
39	4, 38	srg0cl 12953	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> ( 0g ` R ) e. B )
40	39	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( 0g ` R ) e. B )
41	4, 5	srgcl 12946	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) e. B )
42	40, 41	mpd3an3 1338	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) e. B )
43	14, 37, 40, 42	fvmptd3 5601	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
44	4, 5, 38	srgrz 12960	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
45	43, 44	eqtrd 2208	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
46	8, 36, 45	3jca 1177	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
47	4, 4, 10, 10, 38, 38	ismhm 12715	. 2 |- ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) <-> ( ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
48	3, 46, 47	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   |-> cmpt 4059   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12428   +g cplusg 12492   .rcmulr 12493   0gc0g 12626   Mndcmnd 12682   MndHom cmhm 12711  SRingcsrg 12939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-0g 12628  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-mhm 12713  df-cmn 12886  df-mgp 12926  df-srg 12940

This theorem is referenced by: (None)