Theorem srgcmn 13071

Description: A semiring is a commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
srgcmn	⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem srgcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2177	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2177	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2177	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2177	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13070	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing ↔ (𝑅 ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))))
7	6	simp1bi 1012	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ‘cfv 5214  (class class class)co 5871  Basecbs 12453  +_gcplusg 12527  ._rcmulr 12528  0_gc0g 12692  Mndcmnd 12748  CMndccmn 13010  mulGrpcmgp 13052  SRingcsrg 13068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1re 7901  ax-addrcl 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-ndx 12456  df-slot 12457  df-base 12459  df-plusg 12540  df-mulr 12541  df-0g 12694  df-srg 13069

This theorem is referenced by:  srgmnd  13072  srgcom  13088