ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srgcmn GIF version

Theorem srgcmn 13102
Description: A semiring is a commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
srgcmn (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem srgcmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2177 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3 eqid 2177 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2177 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2177 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
61, 2, 3, 4, 5issrg 13101 . 2 (𝑅 ∈ SRing ↔ (𝑅 ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))) ∧ (((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ∧ (𝑥(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))))
76simp1bi 1012 1 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456  +gcplusg 12530  .rcmulr 12531  0gc0g 12695  Mndcmnd 12771  CMndccmn 13041  mulGrpcmgp 13083  SRingcsrg 13099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-srg 13100
This theorem is referenced by:  srgmnd  13103  srgcom  13119
  Copyright terms: Public domain W3C validator