Theorem strndxid 12493

Description: The value of a structure component extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 13-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
strndxid.s	|- ( ph -> S e. V )
strndxid.e	|- E = Slot N
strndxid.n	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
strndxid	|- ( ph -> ( S ` ( E ` ndx ) ) = ( E ` S ) )

Proof of Theorem strndxid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strndxid.e	. . . 4 |- E = Slot N
2		strndxid.n	. . . 4 |- N e. NN
3	1, 2	ndxid 12489	. . 3 |- E = Slot ( E ` ndx )
4		strndxid.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
5	1, 2	ndxarg 12488	. . . . 5 |- ( E ` ndx ) = N
6	5, 2	eqeltri 2250	. . . 4 |- ( E ` ndx ) e. NN
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( E ` ndx ) e. NN )
8	3, 4, 7	strnfvnd 12485	. 2 |- ( ph -> ( E ` S ) = ( S ` ( E ` ndx ) ) )
9	8	eqcomd 2183	1 |- ( ph -> ( S ` ( E ` ndx ) ) = ( E ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218   NNcn 8922   ndxcnx 12462  Slot cslot 12464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-inn 8923  df-ndx 12468  df-slot 12469

This theorem is referenced by:  imasbas  12734  imasplusg  12735  imasmulr  12736