Theorem strndxid 13380

Description: The value of a structure component extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 13-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
strndxid.s	|- ( ph -> S e. V )
strndxid.e	|- E = Slot N
strndxid.n	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
strndxid	|- ( ph -> ( S ` ( E ` ndx ) ) = ( E ` S ) )

Proof of Theorem strndxid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strndxid.e	. . . 4 |- E = Slot N
2		strndxid.n	. . . 4 |- N e. NN
3	1, 2	ndxid 13376	. . 3 |- E = Slot ( E ` ndx )
4		strndxid.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
5	1, 2	ndxarg 13375	. . . . 5 |- ( E ` ndx ) = N
6	5, 2	eqeltri 2311	. . . 4 |- ( E ` ndx ) e. NN
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( E ` ndx ) e. NN )
8	3, 4, 7	strnfvnd 13372	. 2 |- ( ph -> ( E ` S ) = ( S ` ( E ` ndx ) ) )
9	8	eqcomd 2244	1 |- ( ph -> ( S ` ( E ` ndx ) ) = ( E ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   NNcn 9304   ndxcnx 13349  Slot cslot 13351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-inn 9305  df-ndx 13355  df-slot 13356

This theorem is used by:  imasbas  13628  imasplusg  13629  imasmulr  13630