Theorem strndxid 13109

Description: The value of a structure component extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 13-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
strndxid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strndxid.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strndxid.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
strndxid	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strndxid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strndxid.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		strndxid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 13105	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		strndxid.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	1, 2	ndxarg 13104	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6	5, 2	eqeltri 2304	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
8	3, 4, 7	strnfvnd 13101	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
9	8	eqcomd 2237	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  ℕcn 9142  ndxcnx 13078  Slot cslot 13080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-inn 9143  df-ndx 13084  df-slot 13085

This theorem is referenced by:  imasbas  13389  imasplusg  13390  imasmulr  13391