Theorem strndxid 12422

Description: The value of a structure component extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 13-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
strndxid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strndxid.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strndxid.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
strndxid	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strndxid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strndxid.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		strndxid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 12418	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		strndxid.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	1, 2	ndxarg 12417	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6	5, 2	eqeltri 2239	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
8	3, 4, 7	strnfvnd 12414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
9	8	eqcomd 2171	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ‘cfv 5188  ℕcn 8857  ndxcnx 12391  Slot cslot 12393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-inn 8858  df-ndx 12397  df-slot 12398

This theorem is referenced by: (None)