Theorem strndxid 12779

Description: The value of a structure component extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 13-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
strndxid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strndxid.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strndxid.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
strndxid	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strndxid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strndxid.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		strndxid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 12775	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		strndxid.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	1, 2	ndxarg 12774	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6	5, 2	eqeltri 2277	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
8	3, 4, 7	strnfvnd 12771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
9	8	eqcomd 2210	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  ℕcn 9018  ndxcnx 12748  Slot cslot 12750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-inn 9019  df-ndx 12754  df-slot 12755

This theorem is referenced by:  imasbas  13057  imasplusg  13058  imasmulr  13059