Theorem ndxarg 11982

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 11965. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	|- E = Slot N
ndxarg.2	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	|- ( E ` ndx ) = N

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 11962	. . . 4 |- ndx = ( _I |` NN )
2		nnex 8726	. . . . 5 |- NN e. _V
3		resiexg 4864	. . . . 5 |- ( NN e. _V -> ( _I |` NN ) e. _V )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I |` NN ) e. _V
5	1, 4	eqeltri 2212	. . 3 |- ndx e. _V
6		ndxarg.1	. . 3 |- E = Slot N
7		ndxarg.2	. . 3 |- N e. NN
8	5, 6, 7	strnfvn 11980	. 2 |- ( E ` ndx ) = ( ndx ` N )
9	1	fveq1i 5422	. 2 |- ( ndx ` N ) = ( ( _I |` NN ) ` N )
10		fvresi 5613	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( _I |` NN ) ` N ) = N )
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 |- ( ( _I |` NN ) ` N ) = N
12	8, 9, 11	3eqtri 2164	1 |- ( E ` ndx ) = N

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   _I cid 4210   |` cres 4541   ` cfv 5123   NNcn 8720   ndxcnx 11956  Slot cslot 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-inn 8721  df-ndx 11962  df-slot 11963

This theorem is referenced by:  ndxid  11983  ndxslid  11984  strndxid  11987  basendx  12013  basendxnn  12014  plusgndx  12052  2strstrg  12059  2strbasg  12060  2stropg  12061  2strstr1g  12062  2strop1g  12064  basendxnplusgndx  12065  mulrndx  12069  basendxnmulrndx  12073  starvndx  12078  scandx  12086  vscandx  12089  ipndx  12097  tsetndx  12107  plendx  12114  dsndx  12117