Theorem ndxarg 11580

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 11563. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	|- E = Slot N
ndxarg.2	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	|- ( E ` ndx ) = N

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 11560	. . . 4 |- ndx = ( _I |` NN )
2		nnex 8491	. . . . 5 |- NN e. _V
3		resiexg 4772	. . . . 5 |- ( NN e. _V -> ( _I |` NN ) e. _V )
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- ( _I |` NN ) e. _V
5	1, 4	eqeltri 2161	. . 3 |- ndx e. _V
6		ndxarg.1	. . 3 |- E = Slot N
7		ndxarg.2	. . 3 |- N e. NN
8	5, 6, 7	strnfvn 11578	. 2 |- ( E ` ndx ) = ( ndx ` N )
9	1	fveq1i 5321	. 2 |- ( ndx ` N ) = ( ( _I |` NN ) ` N )
10		fvresi 5506	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( _I |` NN ) ` N ) = N )
11	7, 10	ax-mp 7	. 2 |- ( ( _I |` NN ) ` N ) = N
12	8, 9, 11	3eqtri 2113	1 |- ( E ` ndx ) = N

Syntax hints:   = wceq 1290   e. wcel 1439   _Vcvv 2622   _I cid 4126   |` cres 4456   ` cfv 5030   NNcn 8485   ndxcnx 11554  Slot cslot 11556

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1re 7502  ax-addrcl 7505

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-sbc 2844  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-inn 8486  df-ndx 11560  df-slot 11561

This theorem is referenced by:  ndxid  11581  ndxslid  11582  strndxid  11585  basendx  11611  basendxnn  11612  plusgndx  11650  2strstrg  11657  2strbasg  11658  2stropg  11659  2strstr1g  11660  2strop1g  11662  basendxnplusgndx  11663  mulrndx  11667  basendxnmulrndx  11671  starvndx  11676  scandx  11684  vscandx  11687  ipndx  11695  tsetndx  11705  plendx  11712