Theorem slotex 13059

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13058. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13058	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2811	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5644	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5423	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   Fn wfn 5313   ` cfv 5318   NNcn 9110   ndxcnx 13029  Slot cslot 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-slot 13036

This theorem is referenced by:  topnfn  13277  topnvalg  13284  topnidg  13285  prdsplusgfval  13317  prdsmulrfval  13319  pwsval  13324  pwsbas  13325  pwsplusgval  13328  pwsmulrval  13329  imasex  13338  imasival  13339  imasbas  13340  imasplusg  13341  imasmulr  13342  imasaddfn  13350  imasaddval  13351  imasaddf  13352  imasmulfn  13353  imasmulval  13354  imasmulf  13355  qusaddval  13368  qusaddf  13369  qusmulval  13370  qusmulf  13371  xpsval  13385  ismgm  13390  plusfvalg  13396  plusffng  13398  gsumpropd2  13426  gsumsplit1r  13431  gsumprval  13432  issgrp  13436  ismnddef  13451  pwsmnd  13483  pws0g  13484  gsumfzz  13528  gsumwsubmcl  13529  gsumwmhm  13531  gsumfzcl  13532  grppropstrg  13552  grpsubval  13579  pwsgrp  13644  pwsinvg  13645  mulgval  13659  mulgfng  13661  mulgnngsum  13664  mulg1  13666  mulgnnp1  13667  mulgnndir  13688  subgintm  13735  isnsg  13739  gsumfzreidx  13874  gsumfzsubmcl  13875  gsumfzmptfidmadd  13876  gsumfzconst  13878  gsumfzmhm  13880  fnmgp  13885  mgpvalg  13886  mgpplusgg  13887  mgpex  13888  mgpbasg  13889  mgpscag  13890  mgptsetg  13891  mgpdsg  13893  mgpress  13894  isrng  13897  issrg  13928  isring  13963  opprvalg  14032  opprmulfvalg  14033  opprex  14036  opprsllem  14037  subrngintm  14176  islmod  14255  scaffvalg  14270  scafvalg  14271  scaffng  14273  rmodislmodlem  14314  rmodislmod  14315  lsssn0  14334  lss1d  14347  lssintclm  14348  ellspsn  14381  sraval  14401  sralemg  14402  srascag  14406  sravscag  14407  sraipg  14408  sraex  14410  crngridl  14494  znbaslemnn  14603  iedgvalg  15818  iedgex  15820  edgvalg  15860  edgstruct  15864