Theorem slotex 13127

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13126. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13126	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2814	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5656	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5432	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   NNcn 9143   ndxcnx 13097  Slot cslot 13099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-slot 13104

This theorem is referenced by:  topnfn  13345  topnvalg  13352  topnidg  13353  prdsplusgfval  13385  prdsmulrfval  13387  pwsval  13392  pwsbas  13393  pwsplusgval  13396  pwsmulrval  13397  imasex  13406  imasival  13407  imasbas  13408  imasplusg  13409  imasmulr  13410  imasaddfn  13418  imasaddval  13419  imasaddf  13420  imasmulfn  13421  imasmulval  13422  imasmulf  13423  qusaddval  13436  qusaddf  13437  qusmulval  13438  qusmulf  13439  xpsval  13453  ismgm  13458  plusfvalg  13464  plusffng  13466  gsumpropd2  13494  gsumsplit1r  13499  gsumprval  13500  issgrp  13504  ismnddef  13519  pwsmnd  13551  pws0g  13552  gsumfzz  13596  gsumwsubmcl  13597  gsumwmhm  13599  gsumfzcl  13600  grppropstrg  13620  grpsubval  13647  pwsgrp  13712  pwsinvg  13713  mulgval  13727  mulgfng  13729  mulgnngsum  13732  mulg1  13734  mulgnnp1  13735  mulgnndir  13756  subgintm  13803  isnsg  13807  gsumfzreidx  13942  gsumfzsubmcl  13943  gsumfzmptfidmadd  13944  gsumfzconst  13946  gsumfzmhm  13948  fnmgp  13954  mgpvalg  13955  mgpplusgg  13956  mgpex  13957  mgpbasg  13958  mgpscag  13959  mgptsetg  13960  mgpdsg  13962  mgpress  13963  isrng  13966  issrg  13997  isring  14032  opprvalg  14101  opprmulfvalg  14102  opprex  14105  opprsllem  14106  subrngintm  14245  islmod  14324  scaffvalg  14339  scafvalg  14340  scaffng  14342  rmodislmodlem  14383  rmodislmod  14384  lsssn0  14403  lss1d  14416  lssintclm  14417  ellspsn  14450  sraval  14470  sralemg  14471  srascag  14475  sravscag  14476  sraipg  14477  sraex  14479  crngridl  14563  znbaslemnn  14672  iedgvalg  15887  iedgex  15889  edgvalg  15929  edgstruct  15934  gfsumval  16732  gsumgfsumlem  16735