Theorem slotex 13430

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13429. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13429	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2833	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5712	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5483	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 418	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   NNcn 9307   ndxcnx 13400  Slot cslot 13402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-slot 13407

This theorem is used by:  topnfn  13649  topnvalg  13656  topnidg  13657  imasex  13677  imasival  13678  imasbas  13679  imasplusg  13680  imasmulr  13681  imasaddfn  13689  imasaddval  13690  imasaddf  13691  imasmulfn  13692  imasmulval  13693  imasmulf  13694  qusaddval  13707  qusaddf  13708  qusmulval  13709  qusmulf  13710  ismgm  13728  plusfvalg  13734  plusffng  13736  gzsumsplit1r  13766  issgrp  13769  ismnddef  13782  gzsumwsubmcl  13852  gzsumwmhm  13854  gzsumcl  13855  grppropstrg  13875  grpsubval  13902  mulgval  13976  mulgfng  13978  mulgnngzsum  13981  mulg1  13983  mulgnnp1  13984  mulgnndir  14005  subgintm  14052  isnsg  14056  gzsumreidx  14192  gzsumsubmcl  14193  gzsumconst  14194  gzsummhm  14196  gzsumshift  14200  gsumvalfi  14203  prdsplusgfval  14235  prdsmulrfval  14237  xpsval  14252  pwsval  14255  pwsbas  14256  pwsplusgval  14259  pwsmulrval  14260  pwsmnd  14263  pws0g  14264  pwsgrp  14265  pwsinvg  14266  fnmgp  14270  mgpvalg  14271  mgpplusgg  14272  mgpex  14274  mgpbasg  14275  mgpscag  14277  mgptsetg  14278  mgpdsg  14280  mgpress  14281  isrng  14284  issrg  14320  isring  14355  opprvalg  14425  opprmulfvalg  14426  opprex  14429  opprsllem  14430  subrngintm  14571  islmod  14678  scaffvalg  14694  scafvalg  14695  scaffng  14697  rmodislmodlem  14738  rmodislmod  14739  lsssn0  14758  lss1d  14771  lssintclm  14772  ellspsn  14805  sraval  14825  sralemg  14826  srascag  14830  sravscag  14831  sraipg  14832  sraex  14834  crngridl  14918  znbaslemnn  15025  isassa  15053  asclfval  15072  iedgvalg  16380  iedgex  16382  edgvalg  16422  edgstruct  16427