Theorem slotex 13099

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13098. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13098	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2812	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5652	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5429	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   Fn wfn 5319   ` cfv 5324   NNcn 9133   ndxcnx 13069  Slot cslot 13071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-slot 13076

This theorem is referenced by:  topnfn  13317  topnvalg  13324  topnidg  13325  prdsplusgfval  13357  prdsmulrfval  13359  pwsval  13364  pwsbas  13365  pwsplusgval  13368  pwsmulrval  13369  imasex  13378  imasival  13379  imasbas  13380  imasplusg  13381  imasmulr  13382  imasaddfn  13390  imasaddval  13391  imasaddf  13392  imasmulfn  13393  imasmulval  13394  imasmulf  13395  qusaddval  13408  qusaddf  13409  qusmulval  13410  qusmulf  13411  xpsval  13425  ismgm  13430  plusfvalg  13436  plusffng  13438  gsumpropd2  13466  gsumsplit1r  13471  gsumprval  13472  issgrp  13476  ismnddef  13491  pwsmnd  13523  pws0g  13524  gsumfzz  13568  gsumwsubmcl  13569  gsumwmhm  13571  gsumfzcl  13572  grppropstrg  13592  grpsubval  13619  pwsgrp  13684  pwsinvg  13685  mulgval  13699  mulgfng  13701  mulgnngsum  13704  mulg1  13706  mulgnnp1  13707  mulgnndir  13728  subgintm  13775  isnsg  13779  gsumfzreidx  13914  gsumfzsubmcl  13915  gsumfzmptfidmadd  13916  gsumfzconst  13918  gsumfzmhm  13920  fnmgp  13925  mgpvalg  13926  mgpplusgg  13927  mgpex  13928  mgpbasg  13929  mgpscag  13930  mgptsetg  13931  mgpdsg  13933  mgpress  13934  isrng  13937  issrg  13968  isring  14003  opprvalg  14072  opprmulfvalg  14073  opprex  14076  opprsllem  14077  subrngintm  14216  islmod  14295  scaffvalg  14310  scafvalg  14311  scaffng  14313  rmodislmodlem  14354  rmodislmod  14355  lsssn0  14374  lss1d  14387  lssintclm  14388  ellspsn  14421  sraval  14441  sralemg  14442  srascag  14446  sravscag  14447  sraipg  14448  sraex  14450  crngridl  14534  znbaslemnn  14643  iedgvalg  15858  iedgex  15860  edgvalg  15900  edgstruct  15905