Theorem slotex 13436

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13435. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13435	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2833	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5715	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5486	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 418	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   Fn wfn 5375   ` cfv 5380   NNcn 9313   ndxcnx 13406  Slot cslot 13408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-slot 13413

This theorem is used by:  topnfn  13656  topnvalg  13663  topnidg  13664  imasex  13684  imasival  13685  imasbas  13686  imasplusg  13687  imasmulr  13688  imasaddfn  13696  imasaddval  13697  imasaddf  13698  imasmulfn  13699  imasmulval  13700  imasmulf  13701  qusaddval  13714  qusaddf  13715  qusmulval  13716  qusmulf  13717  ismgm  13735  plusfvalg  13741  plusffng  13743  gzsumsplit1r  13773  issgrp  13776  ismnddef  13789  gzsumwsubmcl  13859  gzsumwmhm  13861  gzsumcl  13862  grppropstrg  13882  grpsubval  13909  mulgval  13983  mulgfng  13985  mulgnngzsum  13988  mulg1  13990  mulgnnp1  13991  mulgnndir  14012  subgintm  14059  isnsg  14063  gzsumreidx  14230  gzsumsubmcl  14231  gzsumconst  14232  gzsummhm  14234  gzsumshift  14238  gsumvalfi  14241  prdsplusgfval  14290  prdsmulrfval  14292  xpsval  14307  pwsval  14310  pwsbas  14311  pwsplusgval  14314  pwsmulrval  14315  pwsmnd  14318  pws0g  14319  pwsgrp  14320  pwsinvg  14321  fnmgp  14325  mgpvalg  14326  mgpplusgg  14327  mgpex  14329  mgpbasg  14330  mgpscag  14332  mgptsetg  14333  mgpdsg  14335  mgpress  14336  isrng  14339  issrg  14375  isring  14410  opprvalg  14482  opprmulfvalg  14483  opprex  14486  opprsllem  14487  subrngintm  14628  islmod  14735  scaffvalg  14751  scafvalg  14752  scaffng  14754  rmodislmodlem  14795  rmodislmod  14796  lsssn0  14815  lss1d  14828  lssintclm  14829  ellspsn  14862  sraval  14882  sralemg  14883  srascag  14887  sravscag  14888  sraipg  14889  sraex  14891  crngridl  14975  znbaslemnn  15082  isassa  15110  asclfval  15129  psrmulrg  15195  iedgvalg  16480  iedgex  16482  edgvalg  16522  edgstruct  16527