Theorem slotex 13431

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13430. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13430	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2833	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5712	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5483	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 418	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   NNcn 9307   ndxcnx 13401  Slot cslot 13403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-slot 13408

This theorem is used by:  topnfn  13651  topnvalg  13658  topnidg  13659  imasex  13679  imasival  13680  imasbas  13681  imasplusg  13682  imasmulr  13683  imasaddfn  13691  imasaddval  13692  imasaddf  13693  imasmulfn  13694  imasmulval  13695  imasmulf  13696  qusaddval  13709  qusaddf  13710  qusmulval  13711  qusmulf  13712  ismgm  13730  plusfvalg  13736  plusffng  13738  gzsumsplit1r  13768  issgrp  13771  ismnddef  13784  gzsumwsubmcl  13854  gzsumwmhm  13856  gzsumcl  13857  grppropstrg  13877  grpsubval  13904  mulgval  13978  mulgfng  13980  mulgnngzsum  13983  mulg1  13985  mulgnnp1  13986  mulgnndir  14007  subgintm  14054  isnsg  14058  gzsumreidx  14225  gzsumsubmcl  14226  gzsumconst  14227  gzsummhm  14229  gzsumshift  14233  gsumvalfi  14236  prdsplusgfval  14268  prdsmulrfval  14270  xpsval  14285  pwsval  14288  pwsbas  14289  pwsplusgval  14292  pwsmulrval  14293  pwsmnd  14296  pws0g  14297  pwsgrp  14298  pwsinvg  14299  fnmgp  14303  mgpvalg  14304  mgpplusgg  14305  mgpex  14307  mgpbasg  14308  mgpscag  14310  mgptsetg  14311  mgpdsg  14313  mgpress  14314  isrng  14317  issrg  14353  isring  14388  opprvalg  14458  opprmulfvalg  14459  opprex  14462  opprsllem  14463  subrngintm  14604  islmod  14711  scaffvalg  14727  scafvalg  14728  scaffng  14730  rmodislmodlem  14771  rmodislmod  14772  lsssn0  14791  lss1d  14804  lssintclm  14805  ellspsn  14838  sraval  14858  sralemg  14859  srascag  14863  sravscag  14864  sraipg  14865  sraex  14867  crngridl  14951  znbaslemnn  15058  isassa  15086  asclfval  15105  psrmulrg  15158  iedgvalg  16424  iedgex  16426  edgvalg  16466  edgstruct  16471