Theorem slotex 12491

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 12490. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 12490	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2750	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5534	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5318	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   Fn wfn 5213   ` cfv 5218   NNcn 8921   ndxcnx 12461  Slot cslot 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-slot 12468

This theorem is referenced by:  topnfn  12698  topnvalg  12705  topnidg  12706  imasex  12731  imasival  12732  imasbas  12733  imasplusg  12734  imasmulr  12735  imasaddfn  12743  imasaddval  12744  imasaddf  12745  imasmulfn  12746  imasmulval  12747  imasmulf  12748  qusaddval  12759  qusaddf  12760  qusmulval  12761  qusmulf  12762  xpsval  12776  ismgm  12781  plusfvalg  12787  plusffng  12789  issgrp  12814  ismnddef  12824  grppropstrg  12900  grpsubval  12924  mulgval  12991  mulgfng  12992  mulg1  12995  mulgnnp1  12996  mulgnndir  13017  subgintm  13063  isnsg  13067  fnmgp  13137  mgpvalg  13138  mgpplusgg  13139  mgpex  13140  mgpbasg  13141  mgpscag  13142  mgptsetg  13143  mgpdsg  13145  mgpress  13146  issrg  13153  isring  13188  opprvalg  13246  opprmulfvalg  13247  opprex  13250  opprsllem  13251  islmod  13386  scaffvalg  13401  scafvalg  13402  scaffng  13404  rmodislmodlem  13445  rmodislmod  13446  lsssn0  13462  lss1d  13475  lssintclm  13476  lspsnel  13508