Theorem slotex 13323

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13322. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13322	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2827	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5692	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5463	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   Fn wfn 5352   ` cfv 5357   NNcn 9254   ndxcnx 13293  Slot cslot 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-slot 13300

This theorem is referenced by:  topnfn  13541  topnvalg  13548  topnidg  13549  imasex  13569  imasival  13570  imasbas  13571  imasplusg  13572  imasmulr  13573  imasaddfn  13581  imasaddval  13582  imasaddf  13583  imasmulfn  13584  imasmulval  13585  imasmulf  13586  qusaddval  13599  qusaddf  13600  qusmulval  13601  qusmulf  13602  ismgm  13620  plusfvalg  13626  plusffng  13628  gsumpropd2  13656  gsumsplit1r  13661  gsumprval  13662  issgrp  13666  ismnddef  13679  gsumfzz  13750  gsumwsubmcl  13751  gsumwmhm  13753  gsumfzcl  13754  grppropstrg  13774  grpsubval  13801  mulgval  13875  mulgfng  13877  mulgnngsum  13880  mulg1  13882  mulgnnp1  13883  mulgnndir  13904  subgintm  13951  isnsg  13955  gsumfzreidx  14090  gsumfzsubmcl  14091  gsumfzmptfidmadd  14092  gsumfzconst  14094  gsumfzmhm  14096  gfsumval  14102  gsumshift  14105  prdsplusgfval  14126  prdsmulrfval  14128  xpsval  14143  pwsval  14146  pwsbas  14147  pwsplusgval  14150  pwsmulrval  14151  pwsmnd  14154  pws0g  14155  pwsgrp  14156  pwsinvg  14157  fnmgp  14161  mgpvalg  14162  mgpplusgg  14163  mgpex  14164  mgpbasg  14165  mgpscag  14166  mgptsetg  14167  mgpdsg  14169  mgpress  14170  isrng  14173  issrg  14208  isring  14243  opprvalg  14312  opprmulfvalg  14313  opprex  14316  opprsllem  14317  subrngintm  14458  islmod  14565  scaffvalg  14580  scafvalg  14581  scaffng  14583  rmodislmodlem  14624  rmodislmod  14625  lsssn0  14644  lss1d  14657  lssintclm  14658  ellspsn  14691  sraval  14711  sralemg  14712  srascag  14716  sravscag  14717  sraipg  14718  sraex  14720  crngridl  14804  znbaslemnn  14913  iedgvalg  16138  iedgex  16140  edgvalg  16180  edgstruct  16185