Theorem slotex 12705

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 12704. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 12704	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2774	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5575	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5358	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   Fn wfn 5253   ` cfv 5258   NNcn 8990   ndxcnx 12675  Slot cslot 12677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-slot 12682

This theorem is referenced by:  topnfn  12915  topnvalg  12922  topnidg  12923  imasex  12948  imasival  12949  imasbas  12950  imasplusg  12951  imasmulr  12952  imasaddfn  12960  imasaddval  12961  imasaddf  12962  imasmulfn  12963  imasmulval  12964  imasmulf  12965  qusaddval  12978  qusaddf  12979  qusmulval  12980  qusmulf  12981  xpsval  12995  ismgm  13000  plusfvalg  13006  plusffng  13008  gsumpropd2  13036  gsumsplit1r  13041  gsumprval  13042  issgrp  13046  ismnddef  13059  gsumfzz  13127  gsumwsubmcl  13128  gsumwmhm  13130  gsumfzcl  13131  grppropstrg  13151  grpsubval  13178  mulgval  13252  mulgfng  13254  mulgnngsum  13257  mulg1  13259  mulgnnp1  13260  mulgnndir  13281  subgintm  13328  isnsg  13332  gsumfzreidx  13467  gsumfzsubmcl  13468  gsumfzmptfidmadd  13469  gsumfzconst  13471  gsumfzmhm  13473  fnmgp  13478  mgpvalg  13479  mgpplusgg  13480  mgpex  13481  mgpbasg  13482  mgpscag  13483  mgptsetg  13484  mgpdsg  13486  mgpress  13487  isrng  13490  issrg  13521  isring  13556  opprvalg  13625  opprmulfvalg  13626  opprex  13629  opprsllem  13630  subrngintm  13768  islmod  13847  scaffvalg  13862  scafvalg  13863  scaffng  13865  rmodislmodlem  13906  rmodislmod  13907  lsssn0  13926  lss1d  13939  lssintclm  13940  ellspsn  13973  sraval  13993  sralemg  13994  srascag  13998  sravscag  13999  sraipg  14000  sraex  14002  crngridl  14086  znbaslemnn  14195