Theorem slotex 12648

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 12647. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 12647	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2771	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5572	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5355	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   Fn wfn 5250   ` cfv 5255   NNcn 8984   ndxcnx 12618  Slot cslot 12620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-slot 12625

This theorem is referenced by:  topnfn  12858  topnvalg  12865  topnidg  12866  imasex  12891  imasival  12892  imasbas  12893  imasplusg  12894  imasmulr  12895  imasaddfn  12903  imasaddval  12904  imasaddf  12905  imasmulfn  12906  imasmulval  12907  imasmulf  12908  qusaddval  12921  qusaddf  12922  qusmulval  12923  qusmulf  12924  xpsval  12938  ismgm  12943  plusfvalg  12949  plusffng  12951  gsumpropd2  12979  gsumsplit1r  12984  gsumprval  12985  issgrp  12989  ismnddef  13002  gsumfzz  13070  gsumwsubmcl  13071  gsumwmhm  13073  gsumfzcl  13074  grppropstrg  13094  grpsubval  13121  mulgval  13195  mulgfng  13197  mulgnngsum  13200  mulg1  13202  mulgnnp1  13203  mulgnndir  13224  subgintm  13271  isnsg  13275  gsumfzreidx  13410  gsumfzsubmcl  13411  gsumfzmptfidmadd  13412  gsumfzconst  13414  gsumfzmhm  13416  fnmgp  13421  mgpvalg  13422  mgpplusgg  13423  mgpex  13424  mgpbasg  13425  mgpscag  13426  mgptsetg  13427  mgpdsg  13429  mgpress  13430  isrng  13433  issrg  13464  isring  13499  opprvalg  13568  opprmulfvalg  13569  opprex  13572  opprsllem  13573  subrngintm  13711  islmod  13790  scaffvalg  13805  scafvalg  13806  scaffng  13808  rmodislmodlem  13849  rmodislmod  13850  lsssn0  13869  lss1d  13882  lssintclm  13883  ellspsn  13916  sraval  13936  sralemg  13937  srascag  13941  sravscag  13942  sraipg  13943  sraex  13945  crngridl  14029  znbaslemnn  14138