Theorem slotex 13379

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13378. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13378	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2833	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5712	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5483	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 418	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   NNcn 9304   ndxcnx 13349  Slot cslot 13351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-slot 13356

This theorem is used by:  topnfn  13598  topnvalg  13605  topnidg  13606  imasex  13626  imasival  13627  imasbas  13628  imasplusg  13629  imasmulr  13630  imasaddfn  13638  imasaddval  13639  imasaddf  13640  imasmulfn  13641  imasmulval  13642  imasmulf  13643  qusaddval  13656  qusaddf  13657  qusmulval  13658  qusmulf  13659  ismgm  13677  plusfvalg  13683  plusffng  13685  gzsumsplit1r  13715  issgrp  13718  ismnddef  13731  gzsumwsubmcl  13801  gzsumwmhm  13803  gzsumcl  13804  grppropstrg  13824  grpsubval  13851  mulgval  13925  mulgfng  13927  mulgnngzsum  13930  mulg1  13932  mulgnnp1  13933  mulgnndir  13954  subgintm  14001  isnsg  14005  gzsumreidx  14141  gzsumsubmcl  14142  gzsumconst  14143  gzsummhm  14145  gzsumshift  14149  gsumvalfi  14152  prdsplusgfval  14184  prdsmulrfval  14186  xpsval  14201  pwsval  14204  pwsbas  14205  pwsplusgval  14208  pwsmulrval  14209  pwsmnd  14212  pws0g  14213  pwsgrp  14214  pwsinvg  14215  fnmgp  14219  mgpvalg  14220  mgpplusgg  14221  mgpex  14223  mgpbasg  14224  mgpscag  14226  mgptsetg  14227  mgpdsg  14229  mgpress  14230  isrng  14233  issrg  14269  isring  14304  opprvalg  14374  opprmulfvalg  14375  opprex  14378  opprsllem  14379  subrngintm  14520  islmod  14627  scaffvalg  14643  scafvalg  14644  scaffng  14646  rmodislmodlem  14687  rmodislmod  14688  lsssn0  14707  lss1d  14720  lssintclm  14721  ellspsn  14754  sraval  14774  sralemg  14775  srascag  14779  sravscag  14780  sraipg  14781  sraex  14783  crngridl  14867  znbaslemnn  14974  isassa  15002  asclfval  15021  iedgvalg  16258  iedgex  16260  edgvalg  16300  edgstruct  16305