Theorem slotex 13428

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13427. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13427	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2833	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5712	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5483	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 418	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   NNcn 9306   ndxcnx 13398  Slot cslot 13400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-slot 13405

This theorem is used by:  topnfn  13647  topnvalg  13654  topnidg  13655  imasex  13675  imasival  13676  imasbas  13677  imasplusg  13678  imasmulr  13679  imasaddfn  13687  imasaddval  13688  imasaddf  13689  imasmulfn  13690  imasmulval  13691  imasmulf  13692  qusaddval  13705  qusaddf  13706  qusmulval  13707  qusmulf  13708  ismgm  13726  plusfvalg  13732  plusffng  13734  gzsumsplit1r  13764  issgrp  13767  ismnddef  13780  gzsumwsubmcl  13850  gzsumwmhm  13852  gzsumcl  13853  grppropstrg  13873  grpsubval  13900  mulgval  13974  mulgfng  13976  mulgnngzsum  13979  mulg1  13981  mulgnnp1  13982  mulgnndir  14003  subgintm  14050  isnsg  14054  gzsumreidx  14190  gzsumsubmcl  14191  gzsumconst  14192  gzsummhm  14194  gzsumshift  14198  gsumvalfi  14201  prdsplusgfval  14233  prdsmulrfval  14235  xpsval  14250  pwsval  14253  pwsbas  14254  pwsplusgval  14257  pwsmulrval  14258  pwsmnd  14261  pws0g  14262  pwsgrp  14263  pwsinvg  14264  fnmgp  14268  mgpvalg  14269  mgpplusgg  14270  mgpex  14272  mgpbasg  14273  mgpscag  14275  mgptsetg  14276  mgpdsg  14278  mgpress  14279  isrng  14282  issrg  14318  isring  14353  opprvalg  14423  opprmulfvalg  14424  opprex  14427  opprsllem  14428  subrngintm  14569  islmod  14676  scaffvalg  14692  scafvalg  14693  scaffng  14695  rmodislmodlem  14736  rmodislmod  14737  lsssn0  14756  lss1d  14769  lssintclm  14770  ellspsn  14803  sraval  14823  sralemg  14824  srascag  14828  sravscag  14829  sraipg  14830  sraex  14832  crngridl  14916  znbaslemnn  15023  isassa  15051  asclfval  15070  iedgvalg  16356  iedgex  16358  edgvalg  16398  edgstruct  16403