Theorem slotex 12974

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 12973. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 12973	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2788	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5616	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5395	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   Fn wfn 5285   ` cfv 5290   NNcn 9071   ndxcnx 12944  Slot cslot 12946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-slot 12951

This theorem is referenced by:  topnfn  13191  topnvalg  13198  topnidg  13199  prdsplusgfval  13231  prdsmulrfval  13233  pwsval  13238  pwsbas  13239  pwsplusgval  13242  pwsmulrval  13243  imasex  13252  imasival  13253  imasbas  13254  imasplusg  13255  imasmulr  13256  imasaddfn  13264  imasaddval  13265  imasaddf  13266  imasmulfn  13267  imasmulval  13268  imasmulf  13269  qusaddval  13282  qusaddf  13283  qusmulval  13284  qusmulf  13285  xpsval  13299  ismgm  13304  plusfvalg  13310  plusffng  13312  gsumpropd2  13340  gsumsplit1r  13345  gsumprval  13346  issgrp  13350  ismnddef  13365  pwsmnd  13397  pws0g  13398  gsumfzz  13442  gsumwsubmcl  13443  gsumwmhm  13445  gsumfzcl  13446  grppropstrg  13466  grpsubval  13493  pwsgrp  13558  pwsinvg  13559  mulgval  13573  mulgfng  13575  mulgnngsum  13578  mulg1  13580  mulgnnp1  13581  mulgnndir  13602  subgintm  13649  isnsg  13653  gsumfzreidx  13788  gsumfzsubmcl  13789  gsumfzmptfidmadd  13790  gsumfzconst  13792  gsumfzmhm  13794  fnmgp  13799  mgpvalg  13800  mgpplusgg  13801  mgpex  13802  mgpbasg  13803  mgpscag  13804  mgptsetg  13805  mgpdsg  13807  mgpress  13808  isrng  13811  issrg  13842  isring  13877  opprvalg  13946  opprmulfvalg  13947  opprex  13950  opprsllem  13951  subrngintm  14089  islmod  14168  scaffvalg  14183  scafvalg  14184  scaffng  14186  rmodislmodlem  14227  rmodislmod  14228  lsssn0  14247  lss1d  14260  lssintclm  14261  ellspsn  14294  sraval  14314  sralemg  14315  srascag  14319  sravscag  14320  sraipg  14321  sraex  14323  crngridl  14407  znbaslemnn  14516  iedgvalg  15731  iedgex  15733  edgvalg  15771  edgstruct  15775