Theorem slotex 13108

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13107. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13107	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2814	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5656	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5432	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   NNcn 9142   ndxcnx 13078  Slot cslot 13080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-slot 13085

This theorem is referenced by:  topnfn  13326  topnvalg  13333  topnidg  13334  prdsplusgfval  13366  prdsmulrfval  13368  pwsval  13373  pwsbas  13374  pwsplusgval  13377  pwsmulrval  13378  imasex  13387  imasival  13388  imasbas  13389  imasplusg  13390  imasmulr  13391  imasaddfn  13399  imasaddval  13400  imasaddf  13401  imasmulfn  13402  imasmulval  13403  imasmulf  13404  qusaddval  13417  qusaddf  13418  qusmulval  13419  qusmulf  13420  xpsval  13434  ismgm  13439  plusfvalg  13445  plusffng  13447  gsumpropd2  13475  gsumsplit1r  13480  gsumprval  13481  issgrp  13485  ismnddef  13500  pwsmnd  13532  pws0g  13533  gsumfzz  13577  gsumwsubmcl  13578  gsumwmhm  13580  gsumfzcl  13581  grppropstrg  13601  grpsubval  13628  pwsgrp  13693  pwsinvg  13694  mulgval  13708  mulgfng  13710  mulgnngsum  13713  mulg1  13715  mulgnnp1  13716  mulgnndir  13737  subgintm  13784  isnsg  13788  gsumfzreidx  13923  gsumfzsubmcl  13924  gsumfzmptfidmadd  13925  gsumfzconst  13927  gsumfzmhm  13929  fnmgp  13934  mgpvalg  13935  mgpplusgg  13936  mgpex  13937  mgpbasg  13938  mgpscag  13939  mgptsetg  13940  mgpdsg  13942  mgpress  13943  isrng  13946  issrg  13977  isring  14012  opprvalg  14081  opprmulfvalg  14082  opprex  14085  opprsllem  14086  subrngintm  14225  islmod  14304  scaffvalg  14319  scafvalg  14320  scaffng  14322  rmodislmodlem  14363  rmodislmod  14364  lsssn0  14383  lss1d  14396  lssintclm  14397  ellspsn  14430  sraval  14450  sralemg  14451  srascag  14455  sravscag  14456  sraipg  14457  sraex  14459  crngridl  14543  znbaslemnn  14652  iedgvalg  15867  iedgex  15869  edgvalg  15909  edgstruct  15914  gfsumval  16680  gsumgfsumlem  16683