Theorem slotex 12645

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 12644. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 12644	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2771	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5571	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5354	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   Fn wfn 5249   ` cfv 5254   NNcn 8982   ndxcnx 12615  Slot cslot 12617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-slot 12622

This theorem is referenced by:  topnfn  12855  topnvalg  12862  topnidg  12863  imasex  12888  imasival  12889  imasbas  12890  imasplusg  12891  imasmulr  12892  imasaddfn  12900  imasaddval  12901  imasaddf  12902  imasmulfn  12903  imasmulval  12904  imasmulf  12905  qusaddval  12918  qusaddf  12919  qusmulval  12920  qusmulf  12921  xpsval  12935  ismgm  12940  plusfvalg  12946  plusffng  12948  gsumpropd2  12976  gsumsplit1r  12981  gsumprval  12982  issgrp  12986  ismnddef  12999  gsumfzz  13067  gsumwsubmcl  13068  gsumwmhm  13070  gsumfzcl  13071  grppropstrg  13091  grpsubval  13118  mulgval  13192  mulgfng  13194  mulgnngsum  13197  mulg1  13199  mulgnnp1  13200  mulgnndir  13221  subgintm  13268  isnsg  13272  gsumfzreidx  13407  gsumfzsubmcl  13408  gsumfzmptfidmadd  13409  gsumfzconst  13411  gsumfzmhm  13413  fnmgp  13418  mgpvalg  13419  mgpplusgg  13420  mgpex  13421  mgpbasg  13422  mgpscag  13423  mgptsetg  13424  mgpdsg  13426  mgpress  13427  isrng  13430  issrg  13461  isring  13496  opprvalg  13565  opprmulfvalg  13566  opprex  13569  opprsllem  13570  subrngintm  13708  islmod  13787  scaffvalg  13802  scafvalg  13803  scaffng  13805  rmodislmodlem  13846  rmodislmod  13847  lsssn0  13866  lss1d  13879  lssintclm  13880  ellspsn  13913  sraval  13933  sralemg  13934  srascag  13938  sravscag  13939  sraipg  13940  sraex  13942  crngridl  14026  znbaslemnn  14127