Theorem slotex 13075

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13074. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
slotex	|- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2	1	slotslfn 13074	. 2 |- E Fn _V
3		elex 2811	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		funfvex 5646	. . 3 |- ( ( Fun E /\ A e. dom E ) -> ( E ` A ) e. _V )
5	4	funfni 5423	. 2 |- ( ( E Fn _V /\ A e. _V ) -> ( E ` A ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 |- ( A e. V -> ( E ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   Fn wfn 5313   ` cfv 5318   NNcn 9121   ndxcnx 13045  Slot cslot 13047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-slot 13052

This theorem is referenced by:  topnfn  13293  topnvalg  13300  topnidg  13301  prdsplusgfval  13333  prdsmulrfval  13335  pwsval  13340  pwsbas  13341  pwsplusgval  13344  pwsmulrval  13345  imasex  13354  imasival  13355  imasbas  13356  imasplusg  13357  imasmulr  13358  imasaddfn  13366  imasaddval  13367  imasaddf  13368  imasmulfn  13369  imasmulval  13370  imasmulf  13371  qusaddval  13384  qusaddf  13385  qusmulval  13386  qusmulf  13387  xpsval  13401  ismgm  13406  plusfvalg  13412  plusffng  13414  gsumpropd2  13442  gsumsplit1r  13447  gsumprval  13448  issgrp  13452  ismnddef  13467  pwsmnd  13499  pws0g  13500  gsumfzz  13544  gsumwsubmcl  13545  gsumwmhm  13547  gsumfzcl  13548  grppropstrg  13568  grpsubval  13595  pwsgrp  13660  pwsinvg  13661  mulgval  13675  mulgfng  13677  mulgnngsum  13680  mulg1  13682  mulgnnp1  13683  mulgnndir  13704  subgintm  13751  isnsg  13755  gsumfzreidx  13890  gsumfzsubmcl  13891  gsumfzmptfidmadd  13892  gsumfzconst  13894  gsumfzmhm  13896  fnmgp  13901  mgpvalg  13902  mgpplusgg  13903  mgpex  13904  mgpbasg  13905  mgpscag  13906  mgptsetg  13907  mgpdsg  13909  mgpress  13910  isrng  13913  issrg  13944  isring  13979  opprvalg  14048  opprmulfvalg  14049  opprex  14052  opprsllem  14053  subrngintm  14192  islmod  14271  scaffvalg  14286  scafvalg  14287  scaffng  14289  rmodislmodlem  14330  rmodislmod  14331  lsssn0  14350  lss1d  14363  lssintclm  14364  ellspsn  14397  sraval  14417  sralemg  14418  srascag  14422  sravscag  14423  sraipg  14424  sraex  14426  crngridl  14510  znbaslemnn  14619  iedgvalg  15834  iedgex  15836  edgvalg  15876  edgstruct  15880