Theorem subne0ad 8641

Description: If the difference of two complex numbers is nonzero, they are unequal. Converse of subne0d 8639. Contrapositive of subeq0bd 8699. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )
subne0ad.3	|- ( ph -> ( A - B ) =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
subne0ad	|- ( ph -> A =/= B )

Proof of Theorem subne0ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0ad.3	. 2 |- ( ph -> ( A - B ) =/= 0 )
2		negidd.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
3		pncand.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
4	2, 3	subeq0ad 8640	. . 3 |- ( ph -> ( ( A - B ) = 0 <-> A = B ) )
5	4	necon3bid 2461	. 2 |- ( ph -> ( ( A - B ) =/= 0 <-> A =/= B ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( ph -> A =/= B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   =/= wne 2420  (class class class)co 6078   CCcc 8170   0cc0 8172   - cmin 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-sub 8492

This theorem is referenced by: (None)