Theorem supp0 6478

Description: The support of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
supp0	|- ( Z e. W -> ( (/) supp Z ) = (/) )

Proof of Theorem supp0

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4260	. . 3 |- (/) e. _V
2		suppval 6477	. . 3 |- ( ( (/) e. _V /\ Z e. W ) -> ( (/) supp Z ) = { i e. dom (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } )
3	1, 2	mpan 428	. 2 |- ( Z e. W -> ( (/) supp Z ) = { i e. dom (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } )
4		dm0 4995	. . 3 |- dom (/) = (/)
5		rabeq 2813	. . 3 |- ( dom (/) = (/) -> { i e. dom (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } = { i e. (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } )
6	4, 5	mp1i 10	. 2 |- ( Z e. W -> { i e. dom (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } = { i e. (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } )
7		rab0 3551	. . 3 |- { i e. (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } = (/)
8	7	a1i 9	. 2 |- ( Z e. W -> { i e. (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } = (/) )
9	3, 6, 8	3eqtrd 2275	1 |- ( Z e. W -> ( (/) supp Z ) = (/) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {csn 3709   dom cdm 4774   "cima 4777  (class class class)co 6085   supp csupp 6475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-supp 6476

This theorem is used by:  0fsupp  7298