Theorem supp0 6416

Description: The support of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
supp0	|- ( Z e. W -> ( (/) supp Z ) = (/) )

Proof of Theorem supp0

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4221	. . 3 |- (/) e. _V
2		suppval 6415	. . 3 |- ( ( (/) e. _V /\ Z e. W ) -> ( (/) supp Z ) = { i e. dom (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( Z e. W -> ( (/) supp Z ) = { i e. dom (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } )
4		dm0 4951	. . 3 |- dom (/) = (/)
5		rabeq 2795	. . 3 |- ( dom (/) = (/) -> { i e. dom (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } = { i e. (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } )
6	4, 5	mp1i 10	. 2 |- ( Z e. W -> { i e. dom (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } = { i e. (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } )
7		rab0 3525	. . 3 |- { i e. (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } = (/)
8	7	a1i 9	. 2 |- ( Z e. W -> { i e. (/) | ( (/) " { i } ) =/= { Z } } = (/) )
9	3, 6, 8	3eqtrd 2268	1 |- ( Z e. W -> ( (/) supp Z ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   {crab 2515   _Vcvv 2803   (/)c0 3496   {csn 3673   dom cdm 4731   "cima 4734  (class class class)co 6028   supp csupp 6413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-supp 6414

This theorem is referenced by: (None)