ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suprnubex Unicode version

Theorem suprnubex 8326
Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubex.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
suprubex.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
suprlubex.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
suprnubex  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x    z, B
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( x, y)

Proof of Theorem suprnubex
StepHypRef Expression
1 suprubex.ex . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 suprubex.ss . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 suprlubex.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
41, 2, 3suprlubex 8325 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  B  <  z ) )
54notbid 625 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  -.  E. z  e.  A  B  <  z ) )
6 ralnex 2365 . 2  |-  ( A. z  e.  A  -.  B  <  z  <->  -.  E. z  e.  A  B  <  z )
75, 6syl6bbr 196 1  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356    C_ wss 2986   class class class wbr 3814   supcsup 6598   RRcr 7270    < clt 7443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-iota 4937  df-riota 5550  df-sup 6600  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-ltxr 7448
This theorem is referenced by:  suprleubex  8327
  Copyright terms: Public domain W3C validator