Theorem suprnubex 9273

Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprnubex	|- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprnubex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubex.ex	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2		suprubex.ss	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		suprlubex.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
4	1, 2, 3	suprlubex 9272	. . 3 |- ( ph -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )
5	4	notbid 677	. 2 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> -. E. z e. A B < z ) )
6		ralnex 2538	. 2 |- ( A. z e. A -. B < z <-> -. E. z e. A B < z )
7	5, 6	bitr4di 198	1 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   supcsup 7312   RRcr 8168   < clt 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-iota 5332  df-riota 6028  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355

This theorem is referenced by:  suprleubex  9274