ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suprnubex Unicode version

Theorem suprnubex 8935
Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubex.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
suprubex.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
suprlubex.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
suprnubex  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x    z, B
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( x, y)

Proof of Theorem suprnubex
StepHypRef Expression
1 suprubex.ex . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 suprubex.ss . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 suprlubex.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
41, 2, 3suprlubex 8934 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  B  <  z ) )
54notbid 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  -.  E. z  e.  A  B  <  z ) )
6 ralnex 2478 . 2  |-  ( A. z  e.  A  -.  B  <  z  <->  -.  E. z  e.  A  B  <  z )
75, 6bitr4di 198 1  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469    C_ wss 3144   class class class wbr 4018   supcsup 7006   RRcr 7835    < clt 8017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-iota 5193  df-riota 5848  df-sup 7008  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022
This theorem is referenced by:  suprleubex  8936
  Copyright terms: Public domain W3C validator