Theorem suprnubex 8912

Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprnubex	|- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprnubex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubex.ex	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2		suprubex.ss	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		suprlubex.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
4	1, 2, 3	suprlubex 8911	. . 3 |- ( ph -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )
5	4	notbid 667	. 2 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> -. E. z e. A B < z ) )
6		ralnex 2465	. 2 |- ( A. z e. A -. B < z <-> -. E. z e. A B < z )
7	5, 6	bitr4di 198	1 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   supcsup 6983   RRcr 7812   < clt 7994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-iota 5180  df-riota 5833  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999

This theorem is referenced by:  suprleubex  8913