Theorem suprnubex 9227

Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprnubex	|- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprnubex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubex.ex	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2		suprubex.ss	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		suprlubex.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
4	1, 2, 3	suprlubex 9226	. . 3 |- ( ph -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )
5	4	notbid 673	. 2 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> -. E. z e. A B < z ) )
6		ralnex 2530	. 2 |- ( A. z e. A -. B < z <-> -. E. z e. A B < z )
7	5, 6	bitr4di 198	1 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   supcsup 7273   RRcr 8126   < clt 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-iota 5312  df-riota 6003  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313

This theorem is referenced by:  suprleubex  9228