ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suprnubex Unicode version

Theorem suprnubex 8569
Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubex.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
suprubex.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
suprlubex.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
suprnubex  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x    z, B
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( x, y)

Proof of Theorem suprnubex
StepHypRef Expression
1 suprubex.ex . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 suprubex.ss . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 suprlubex.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
41, 2, 3suprlubex 8568 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  B  <  z ) )
54notbid 633 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  -.  E. z  e.  A  B  <  z ) )
6 ralnex 2385 . 2  |-  ( A. z  e.  A  -.  B  <  z  <->  -.  E. z  e.  A  B  <  z )
75, 6syl6bbr 197 1  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376    C_ wss 3021   class class class wbr 3875   supcsup 6784   RRcr 7499    < clt 7672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-iota 5024  df-riota 5662  df-sup 6786  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-ltxr 7677
This theorem is referenced by:  suprleubex  8570
  Copyright terms: Public domain W3C validator