Theorem suprnubex 9100

Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprnubex	|- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprnubex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubex.ex	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2		suprubex.ss	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		suprlubex.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
4	1, 2, 3	suprlubex 9099	. . 3 |- ( ph -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )
5	4	notbid 671	. 2 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> -. E. z e. A B < z ) )
6		ralnex 2518	. 2 |- ( A. z e. A -. B < z <-> -. E. z e. A B < z )
7	5, 6	bitr4di 198	1 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   supcsup 7149   RRcr 7998   < clt 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-iota 5278  df-riota 5954  df-sup 7151  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186

This theorem is referenced by:  suprleubex  9101