Theorem suprnubex 8569

Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprnubex	|- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprnubex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubex.ex	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2		suprubex.ss	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		suprlubex.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
4	1, 2, 3	suprlubex 8568	. . 3 |- ( ph -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )
5	4	notbid 633	. 2 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> -. E. z e. A B < z ) )
6		ralnex 2385	. 2 |- ( A. z e. A -. B < z <-> -. E. z e. A B < z )
7	5, 6	syl6bbr 197	1 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   C_ wss 3021   class class class wbr 3875   supcsup 6784   RRcr 7499   < clt 7672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-iota 5024  df-riota 5662  df-sup 6786  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-ltxr 7677

This theorem is referenced by:  suprleubex  8570