ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suprnubex GIF version

Theorem suprnubex 8308
Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubex.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
suprubex.ss (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
suprlubex.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
suprnubex (𝜑 → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprnubex
StepHypRef Expression
1 suprubex.ex . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2 suprubex.ss . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 suprlubex.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
41, 2, 3suprlubex 8307 . . 3 (𝜑 → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧))
54notbid 625 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧))
6 ralnex 2363 . 2 (∀𝑧𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧)
75, 6syl6bbr 196 1 (𝜑 → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  wss 2984   class class class wbr 3811  supcsup 6584  cr 7252   < clt 7425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-iota 4934  df-riota 5547  df-sup 6586  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-ltxr 7430
This theorem is referenced by:  suprleubex  8309
  Copyright terms: Public domain W3C validator