Theorem suprnubex 8924

Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
suprubex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprlubex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
suprnubex	⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprnubex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubex.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		suprubex.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		suprlubex.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	suprlubex 8923	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧))
5	4	notbid 668	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧))
6		ralnex 2475	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧)
7	5, 6	bitr4di 198	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  ∃wrex 2466   ⊆ wss 3141   class class class wbr 4015  supcsup 6995  ℝcr 7824   < clt 8006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-iota 5190  df-riota 5844  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011

This theorem is referenced by:  suprleubex  8925