Theorem suprnubex 9026

Description: An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
suprubex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprlubex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
suprnubex	⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprnubex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubex.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		suprubex.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		suprlubex.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	suprlubex 9025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧))
5	4	notbid 669	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧))
6		ralnex 2494	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧)
7	5, 6	bitr4di 198	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  ∃wrex 2485   ⊆ wss 3166   class class class wbr 4044  supcsup 7084  ℝcr 7924   < clt 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-iota 5232  df-riota 5899  df-sup 7086  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112

This theorem is referenced by:  suprleubex  9027