Theorem suprlubex 8847

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is the least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprlubex	|- ( ph -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprlubex

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprlubex.b	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
2		lttri3 7978	. . . 4 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3	2	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
4		suprubex.ex	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
5		ltso 7976	. . . 4 |- < Or RR
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> < Or RR )
7		suprubex.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
8	3, 4, 6, 7	suplub2ti 6966	. 2 |- ( ( ph /\ B e. RR ) -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )
9	1, 8	mpdan 418	1 |- ( ph -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   Or wor 4273   supcsup 6947   RRcr 7752   < clt 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-iota 5153  df-riota 5798  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938

This theorem is referenced by:  suprnubex  8848  suprzclex  9289