Theorem suprleubex 8825

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprleubex	|- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A z <_ B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprleubex

Dummy variables f g w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 7957	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		suprubex.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
4	2, 3	supclti 6942	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
5		suprlubex.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
6	4, 5	lenltd 7993	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> -. B < sup ( A , RR , < ) ) )
7		suprubex.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
8	3, 7, 5	suprnubex 8824	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )
9	6, 8	bitrd 187	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A -. B < z ) )
10		breq2 3969	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( B < w <-> B < z ) )
11	10	notbid 657	. . . . 5 |- ( w = z -> ( -. B < w <-> -. B < z ) )
12	11	cbvralv 2680	. . . 4 |- ( A. w e. A -. B < w <-> A. z e. A -. B < z )
13	9, 12	bitr4di 197	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. w e. A -. B < w ) )
14	7	sselda 3128	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> w e. RR )
15	5	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> B e. RR )
16	14, 15	lenltd 7993	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( w <_ B <-> -. B < w ) )
17	16	ralbidva 2453	. . 3 |- ( ph -> ( A. w e. A w <_ B <-> A. w e. A -. B < w ) )
18	13, 17	bitr4d 190	. 2 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. w e. A w <_ B ) )
19		breq1 3968	. . 3 |- ( w = z -> ( w <_ B <-> z <_ B ) )
20	19	cbvralv 2680	. 2 |- ( A. w e. A w <_ B <-> A. z e. A z <_ B )
21	18, 20	bitrdi 195	1 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A z <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   C_ wss 3102   class class class wbr 3965   supcsup 6926   RRcr 7731   < clt 7912   <_ cle 7913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-iota 5135  df-riota 5780  df-sup 6928  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918

This theorem is referenced by:  suprzclex  9262  suplociccex  13003