ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suprleubex Unicode version

Theorem suprleubex 8669
Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubex.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
suprubex.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
suprlubex.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
suprleubex  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x    z, B
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( x, y)

Proof of Theorem suprleubex
Dummy variables  f  g  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 7808 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
21adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
3 suprubex.ex . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supclti 6851 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5 suprlubex.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
64, 5lenltd 7844 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
7 suprubex.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
83, 7, 5suprnubex 8668 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z ) )
96, 8bitrd 187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z ) )
10 breq2 3901 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  ( B  <  w  <->  B  <  z ) )
1110notbid 639 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  B  <  w  <->  -.  B  <  z ) )
1211cbvralv 2629 . . . 4  |-  ( A. w  e.  A  -.  B  <  w  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z )
139, 12syl6bbr 197 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
147sselda 3065 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
155adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1614, 15lenltd 7844 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
w  <_  B  <->  -.  B  <  w ) )
1716ralbidva 2408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
1813, 17bitr4d 190 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. w  e.  A  w  <_  B ) )
19 breq1 3900 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  (
w  <_  B  <->  z  <_  B ) )
2019cbvralv 2629 . 2  |-  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B )
2118, 20syl6bb 195 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392    C_ wss 3039   class class class wbr 3897   supcsup 6835   RRcr 7583    < clt 7764    <_ cle 7765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-iota 5056  df-riota 5696  df-sup 6837  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770
This theorem is referenced by:  suprzclex  9100
  Copyright terms: Public domain W3C validator