Theorem suprleubex 8736

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprleubex	|- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A z <_ B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprleubex

Dummy variables f g w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 7868	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		suprubex.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
4	2, 3	supclti 6893	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
5		suprlubex.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
6	4, 5	lenltd 7904	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> -. B < sup ( A , RR , < ) ) )
7		suprubex.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
8	3, 7, 5	suprnubex 8735	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )
9	6, 8	bitrd 187	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A -. B < z ) )
10		breq2 3941	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( B < w <-> B < z ) )
11	10	notbid 657	. . . . 5 |- ( w = z -> ( -. B < w <-> -. B < z ) )
12	11	cbvralv 2657	. . . 4 |- ( A. w e. A -. B < w <-> A. z e. A -. B < z )
13	9, 12	syl6bbr 197	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. w e. A -. B < w ) )
14	7	sselda 3102	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> w e. RR )
15	5	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> B e. RR )
16	14, 15	lenltd 7904	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( w <_ B <-> -. B < w ) )
17	16	ralbidva 2434	. . 3 |- ( ph -> ( A. w e. A w <_ B <-> A. w e. A -. B < w ) )
18	13, 17	bitr4d 190	. 2 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. w e. A w <_ B ) )
19		breq1 3940	. . 3 |- ( w = z -> ( w <_ B <-> z <_ B ) )
20	19	cbvralv 2657	. 2 |- ( A. w e. A w <_ B <-> A. z e. A z <_ B )
21	18, 20	syl6bb 195	1 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A z <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   supcsup 6877   RRcr 7643   < clt 7824   <_ cle 7825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-riota 5738  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830

This theorem is referenced by:  suprzclex  9173  suplociccex  12811