Theorem suprleubex 9062

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprleubex	|- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A z <_ B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprleubex

Dummy variables f g w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8187	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		suprubex.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
4	2, 3	supclti 7126	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
5		suprlubex.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
6	4, 5	lenltd 8225	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> -. B < sup ( A , RR , < ) ) )
7		suprubex.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
8	3, 7, 5	suprnubex 9061	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )
9	6, 8	bitrd 188	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A -. B < z ) )
10		breq2 4063	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( B < w <-> B < z ) )
11	10	notbid 669	. . . . 5 |- ( w = z -> ( -. B < w <-> -. B < z ) )
12	11	cbvralv 2742	. . . 4 |- ( A. w e. A -. B < w <-> A. z e. A -. B < z )
13	9, 12	bitr4di 198	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. w e. A -. B < w ) )
14	7	sselda 3201	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> w e. RR )
15	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> B e. RR )
16	14, 15	lenltd 8225	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( w <_ B <-> -. B < w ) )
17	16	ralbidva 2504	. . 3 |- ( ph -> ( A. w e. A w <_ B <-> A. w e. A -. B < w ) )
18	13, 17	bitr4d 191	. 2 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. w e. A w <_ B ) )
19		breq1 4062	. . 3 |- ( w = z -> ( w <_ B <-> z <_ B ) )
20	19	cbvralv 2742	. 2 |- ( A. w e. A w <_ B <-> A. z e. A z <_ B )
21	18, 20	bitrdi 196	1 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A z <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   supcsup 7110   RRcr 7959   < clt 8142   <_ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-iota 5251  df-riota 5922  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  suprzclex  9506  suplociccex  15212