Theorem suprleubex 8941

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprleubex	|- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A z <_ B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprleubex

Dummy variables f g w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8067	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		suprubex.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
4	2, 3	supclti 7027	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
5		suprlubex.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
6	4, 5	lenltd 8105	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> -. B < sup ( A , RR , < ) ) )
7		suprubex.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
8	3, 7, 5	suprnubex 8940	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )
9	6, 8	bitrd 188	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A -. B < z ) )
10		breq2 4022	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( B < w <-> B < z ) )
11	10	notbid 668	. . . . 5 |- ( w = z -> ( -. B < w <-> -. B < z ) )
12	11	cbvralv 2718	. . . 4 |- ( A. w e. A -. B < w <-> A. z e. A -. B < z )
13	9, 12	bitr4di 198	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. w e. A -. B < w ) )
14	7	sselda 3170	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> w e. RR )
15	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> B e. RR )
16	14, 15	lenltd 8105	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( w <_ B <-> -. B < w ) )
17	16	ralbidva 2486	. . 3 |- ( ph -> ( A. w e. A w <_ B <-> A. w e. A -. B < w ) )
18	13, 17	bitr4d 191	. 2 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. w e. A w <_ B ) )
19		breq1 4021	. . 3 |- ( w = z -> ( w <_ B <-> z <_ B ) )
20	19	cbvralv 2718	. 2 |- ( A. w e. A w <_ B <-> A. z e. A z <_ B )
21	18, 20	bitrdi 196	1 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A z <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   C_ wss 3144   class class class wbr 4018   supcsup 7011   RRcr 7840   < clt 8022   <_ cle 8023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-riota 5852  df-sup 7013  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028

This theorem is referenced by:  suprzclex  9381  suplociccex  14563