ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suprleubex Unicode version

Theorem suprleubex 8825
Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubex.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
suprubex.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
suprlubex.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
suprleubex  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x    z, B
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( x, y)

Proof of Theorem suprleubex
Dummy variables  f  g  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 7957 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
21adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
3 suprubex.ex . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supclti 6942 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5 suprlubex.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
64, 5lenltd 7993 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
7 suprubex.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
83, 7, 5suprnubex 8824 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z ) )
96, 8bitrd 187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z ) )
10 breq2 3969 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  ( B  <  w  <->  B  <  z ) )
1110notbid 657 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  B  <  w  <->  -.  B  <  z ) )
1211cbvralv 2680 . . . 4  |-  ( A. w  e.  A  -.  B  <  w  <->  A. z  e.  A  -.  B  <  z )
139, 12bitr4di 197 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
147sselda 3128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
155adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1614, 15lenltd 7993 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
w  <_  B  <->  -.  B  <  w ) )
1716ralbidva 2453 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
1813, 17bitr4d 190 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. w  e.  A  w  <_  B ) )
19 breq1 3968 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  (
w  <_  B  <->  z  <_  B ) )
2019cbvralv 2680 . 2  |-  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B )
2118, 20bitrdi 195 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436    C_ wss 3102   class class class wbr 3965   supcsup 6926   RRcr 7731    < clt 7912    <_ cle 7913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-iota 5135  df-riota 5780  df-sup 6928  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918
This theorem is referenced by:  suprzclex  9262  suplociccex  13003
  Copyright terms: Public domain W3C validator