Theorem suprleubex 9193

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprleubex	|- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A z <_ B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprleubex

Dummy variables f g w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8318	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		suprubex.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
4	2, 3	supclti 7257	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
5		suprlubex.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
6	4, 5	lenltd 8356	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> -. B < sup ( A , RR , < ) ) )
7		suprubex.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
8	3, 7, 5	suprnubex 9192	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. B < sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A -. B < z ) )
9	6, 8	bitrd 188	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A -. B < z ) )
10		breq2 4097	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( B < w <-> B < z ) )
11	10	notbid 673	. . . . 5 |- ( w = z -> ( -. B < w <-> -. B < z ) )
12	11	cbvralv 2768	. . . 4 |- ( A. w e. A -. B < w <-> A. z e. A -. B < z )
13	9, 12	bitr4di 198	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. w e. A -. B < w ) )
14	7	sselda 3228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> w e. RR )
15	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> B e. RR )
16	14, 15	lenltd 8356	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( w <_ B <-> -. B < w ) )
17	16	ralbidva 2529	. . 3 |- ( ph -> ( A. w e. A w <_ B <-> A. w e. A -. B < w ) )
18	13, 17	bitr4d 191	. 2 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. w e. A w <_ B ) )
19		breq1 4096	. . 3 |- ( w = z -> ( w <_ B <-> z <_ B ) )
20	19	cbvralv 2768	. 2 |- ( A. w e. A w <_ B <-> A. z e. A z <_ B )
21	18, 20	bitrdi 196	1 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ B <-> A. z e. A z <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   supcsup 7241   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-riota 5981  df-sup 7243  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  suprzclex  9639  suplociccex  15436