Theorem nltled 8290

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
nltled.1	|- ( ph -> -. B < A )

Assertion

Ref	Expression
nltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 |- ( ph -> -. B < A )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8287	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   RRcr 8021   < clt 8204   <_ cle 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-xr 8208  df-le 8210

This theorem is referenced by:  ltntri  8297  suprubex  9121  infregelbex  9822  zsupcl  10481  zssinfcl  10482  infssuzledc  10484  seqf1oglem1  10771  cvgratz  12083  bitsfzolem  12505  bitsmod  12507  dvdslegcd  12525  pw2dvdseulemle  12729  gsumfzval  13464  gsumfzcl  13572  gsumfzreidx  13914  gsumfzsubmcl  13915  gsumfzmptfidmadd  13916  gsumfzmhm  13920  gsumfzfsum  14592  dedekindeulemuub  15331  dedekindeulemlu  15335  suplociccex  15339  dedekindicclemuub  15340  dedekindicclemlu  15344  ivthinclemlopn  15350  ivthinclemuopn  15352  refeq  16568