Theorem nltled 8410

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
nltled.1	|- ( ph -> -. B < A )

Assertion

Ref	Expression
nltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 |- ( ph -> -. B < A )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8407	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   RRcr 8142   < clt 8324   <_ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-xr 8328  df-le 8330

This theorem is referenced by:  ltntri  8417  suprubex  9242  infregelbex  9948  zsupcl  10613  zssinfcl  10614  infssuzledc  10616  seqf1oglem1  10905  cvgratz  12243  bitsfzolem  12665  bitsmod  12667  dvdslegcd  12685  pw2dvdseulemle  12889  gsumfzval  13654  gsumfzcl  13754  gsumfzreidx  14090  gsumfzsubmcl  14091  gsumfzmptfidmadd  14092  gsumfzmhm  14096  gsumfzfsum  14862  dedekindeulemuub  15608  dedekindeulemlu  15612  suplociccex  15616  dedekindicclemuub  15617  dedekindicclemlu  15621  ivthinclemlopn  15627  ivthinclemuopn  15629  refeq  16934