Theorem nltled 8228

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
nltled.1	|- ( ph -> -. B < A )

Assertion

Ref	Expression
nltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 |- ( ph -> -. B < A )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8225	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142   <_ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-xr 8146  df-le 8148

This theorem is referenced by:  ltntri  8235  suprubex  9059  infregelbex  9754  zsupcl  10411  zssinfcl  10412  infssuzledc  10414  seqf1oglem1  10701  cvgratz  11958  bitsfzolem  12380  bitsmod  12382  dvdslegcd  12400  pw2dvdseulemle  12604  gsumfzval  13338  gsumfzcl  13446  gsumfzreidx  13788  gsumfzsubmcl  13789  gsumfzmptfidmadd  13790  gsumfzmhm  13794  gsumfzfsum  14465  dedekindeulemuub  15204  dedekindeulemlu  15208  suplociccex  15212  dedekindicclemuub  15213  dedekindicclemlu  15217  ivthinclemlopn  15223  ivthinclemuopn  15225  refeq  16169