Theorem nltled 8454

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
nltled.1	|- ( ph -> -. B < A )

Assertion

Ref	Expression
nltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 |- ( ph -> -. B < A )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8451	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> A <_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-xr 8370  df-le 8372

This theorem is used by:  ltntri  8461  suprubex  9289  infregelbex  10014  zsupcl  10681  zssinfcl  10682  infssuzledc  10684  seqf1oglem1  10977  cvgratz  12324  bitsfzolem  12746  bitsmod  12748  dvdslegcd  12766  pwbdvdseulemle  12971  gzsumfzval  13770  gzsumcl  13863  gzsumreidx  14231  gzsumsubmcl  14232  gzsummhm  14235  dedekindeulemuub  15843  dedekindeulemlu  15847  suplociccex  15851  dedekindicclemuub  15852  dedekindicclemlu  15856  ivthinclemlopn  15862  ivthinclemuopn  15864  dichmul0orlem5  16962  dichmul0orlem6  16963  refeq  17279