Theorem nltled 8412

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
nltled.1	|- ( ph -> -. B < A )

Assertion

Ref	Expression
nltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 |- ( ph -> -. B < A )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8409	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2205   class class class wbr 4115   RRcr 8143   < clt 8325   <_ cle 8326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-br 4116  df-opab 4178  df-xp 4761  df-cnv 4763  df-xr 8329  df-le 8331

This theorem is referenced by:  ltntri  8419  suprubex  9246  infregelbex  9952  zsupcl  10617  zssinfcl  10618  infssuzledc  10620  seqf1oglem1  10909  cvgratz  12248  bitsfzolem  12670  bitsmod  12672  dvdslegcd  12690  pw2dvdseulemle  12894  gsumfzval  13659  gsumfzcl  13759  gsumfzreidx  14095  gsumfzsubmcl  14096  gsumfzmptfidmadd  14097  gsumfzmhm  14101  gsumfzfsum  14867  dedekindeulemuub  15613  dedekindeulemlu  15617  suplociccex  15621  dedekindicclemuub  15622  dedekindicclemlu  15626  ivthinclemlopn  15632  ivthinclemuopn  15634  dichmul0orlem5  16642  dichmul0orlem6  16643  refeq  16949