Theorem nltled 8150

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
nltled.1	|- ( ph -> -. B < A )

Assertion

Ref	Expression
nltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 |- ( ph -> -. B < A )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8147	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   RRcr 7881   < clt 8064   <_ cle 8065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-xr 8068  df-le 8070

This theorem is referenced by:  ltntri  8157  suprubex  8981  infregelbex  9675  zsupcl  10324  zssinfcl  10325  infssuzledc  10327  seqf1oglem1  10614  cvgratz  11700  bitsfzolem  12122  bitsmod  12124  dvdslegcd  12142  pw2dvdseulemle  12346  gsumfzval  13060  gsumfzcl  13157  gsumfzreidx  13493  gsumfzsubmcl  13494  gsumfzmptfidmadd  13495  gsumfzmhm  13499  gsumfzfsum  14170  dedekindeulemuub  14879  dedekindeulemlu  14883  suplociccex  14887  dedekindicclemuub  14888  dedekindicclemlu  14892  ivthinclemlopn  14898  ivthinclemuopn  14900  refeq  15699