Theorem suprubex 8733

Description: A member of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
suprubex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprubex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suprubex	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem suprubex

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubex.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprubex.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3103	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		lttri3 7868	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
6		suprubex.ex	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
7	5, 6	supclti 6893	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8	5, 6	supubti 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
9	2, 8	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ sup(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵)
10	3, 7, 9	nltled 7907	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3076   class class class wbr 3937  supcsup 6877  ℝcr 7643   < clt 7824   ≤ cle 7825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-apti 7759

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-riota 5738  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830

This theorem is referenced by:  suprzclex  9173