Theorem lttri3 7662

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lttri3	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )

Proof of Theorem lttri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 7659	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -. A < A )
2		breq2 3871	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < A <-> A < B ) )
3	2	notbid 630	. . . . 5 |- ( A = B -> ( -. A < A <-> -. A < B ) )
4	1, 3	syl5ibcom 154	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A = B -> -. A < B ) )
5		breq1 3870	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < A <-> B < A ) )
6	5	notbid 630	. . . . 5 |- ( A = B -> ( -. A < A <-> -. B < A ) )
7	1, 6	syl5ibcom 154	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A = B -> -. B < A ) )
8	4, 7	jcad 302	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A = B -> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
9	8	adantr 271	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
10		ioran 707	. . 3 |- ( -. ( A < B \/ B < A ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
11		axapti 7654	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A < B \/ B < A ) ) -> A = B )
12	11	3expia 1148	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. ( A < B \/ B < A ) -> A = B ) )
13	10, 12	syl5bir 152	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -. A < B /\ -. B < A ) -> A = B ) )
14	9, 13	impbid 128	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 667   = wceq 1296   e. wcel 1445   class class class wbr 3867   RRcr 7446   < clt 7619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-apti 7557

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624

This theorem is referenced by:  letri3  7663  lttri3i  7679  lttri3d  7696  inelr  8158  lbinf  8506  suprubex  8509  suprlubex  8510  suprleubex  8512  sup3exmid  8515  suprzclex  8943  infrenegsupex  9181  supminfex  9184  xrlttri3  9366  maxleim  10753  maxabs  10757  maxleast  10761  zsupcl  11370  zssinfcl  11371  infssuzledc  11373  dvdslegcd  11383  bezoutlemsup  11425  dfgcd2  11430  lcmgcdlem  11486