Theorem lttri3 8405

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lttri3	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )

Proof of Theorem lttri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8402	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -. A < A )
2		breq2 4134	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < A <-> A < B ) )
3	2	notbid 677	. . . . 5 |- ( A = B -> ( -. A < A <-> -. A < B ) )
4	1, 3	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A = B -> -. A < B ) )
5		breq1 4133	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < A <-> B < A ) )
6	5	notbid 677	. . . . 5 |- ( A = B -> ( -. A < A <-> -. B < A ) )
7	1, 6	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A = B -> -. B < A ) )
8	4, 7	jcad 307	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A = B -> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
10		ioran 764	. . 3 |- ( -. ( A < B \/ B < A ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
11		axapti 8396	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A < B \/ B < A ) ) -> A = B )
12	11	3expia 1236	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. ( A < B \/ B < A ) -> A = B ) )
13	10, 12	biimtrrid 153	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -. A < B /\ -. B < A ) -> A = B ) )
14	9, 13	impbid 129	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-apti 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365

This theorem is used by:  letri3  8406  lttri3i  8424  lttri3d  8441  inelr  8914  lbinf  9280  suprubex  9283  suprlubex  9284  suprleubex  9286  sup3exmid  9289  suprzclex  9748  infrenegsupex  10003  supminfex  10006  infregelbex  10007  xrlttri3  10209  zsupcl  10674  zssinfcl  10675  infssuzledc  10677  suprzcl2dc  10684  maxleim  11986  maxabs  11990  maxleast  11994  dvdslegcd  12757  bezoutlemsup  12802  dfgcd2  12807  lcmgcdlem  12871  ballotfilemirc  13324  suplociccex  15775  pilem3  15934  taupi  17221