Theorem lttri3 7974

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lttri3	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )

Proof of Theorem lttri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 7971	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -. A < A )
2		breq2 3985	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < A <-> A < B ) )
3	2	notbid 657	. . . . 5 |- ( A = B -> ( -. A < A <-> -. A < B ) )
4	1, 3	syl5ibcom 154	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A = B -> -. A < B ) )
5		breq1 3984	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < A <-> B < A ) )
6	5	notbid 657	. . . . 5 |- ( A = B -> ( -. A < A <-> -. B < A ) )
7	1, 6	syl5ibcom 154	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A = B -> -. B < A ) )
8	4, 7	jcad 305	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A = B -> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
9	8	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
10		ioran 742	. . 3 |- ( -. ( A < B \/ B < A ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
11		axapti 7965	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A < B \/ B < A ) ) -> A = B )
12	11	3expia 1195	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. ( A < B \/ B < A ) -> A = B ) )
13	10, 12	syl5bir 152	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -. A < B /\ -. B < A ) -> A = B ) )
14	9, 13	impbid 128	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   RRcr 7748   < clt 7929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-apti 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-ltxr 7934

This theorem is referenced by:  letri3  7975  lttri3i  7992  lttri3d  8009  inelr  8478  lbinf  8839  suprubex  8842  suprlubex  8843  suprleubex  8845  sup3exmid  8848  suprzclex  9285  infrenegsupex  9528  supminfex  9531  infregelbex  9532  xrlttri3  9729  maxleim  11143  maxabs  11147  maxleast  11151  zsupcl  11876  zssinfcl  11877  infssuzledc  11879  suprzcl2dc  11884  dvdslegcd  11893  bezoutlemsup  11938  dfgcd2  11943  lcmgcdlem  12005  suplociccex  13203  pilem3  13304  taupi  13909