Theorem lttri3 8258

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lttri3	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )

Proof of Theorem lttri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8255	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -. A < A )
2		breq2 4092	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < A <-> A < B ) )
3	2	notbid 673	. . . . 5 |- ( A = B -> ( -. A < A <-> -. A < B ) )
4	1, 3	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A = B -> -. A < B ) )
5		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < A <-> B < A ) )
6	5	notbid 673	. . . . 5 |- ( A = B -> ( -. A < A <-> -. B < A ) )
7	1, 6	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A = B -> -. B < A ) )
8	4, 7	jcad 307	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A = B -> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
10		ioran 759	. . 3 |- ( -. ( A < B \/ B < A ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
11		axapti 8249	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A < B \/ B < A ) ) -> A = B )
12	11	3expia 1231	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. ( A < B \/ B < A ) -> A = B ) )
13	10, 12	biimtrrid 153	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -. A < B /\ -. B < A ) -> A = B ) )
14	9, 13	impbid 129	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RRcr 8030   < clt 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-apti 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218

This theorem is referenced by:  letri3  8259  lttri3i  8276  lttri3d  8293  inelr  8763  lbinf  9127  suprubex  9130  suprlubex  9131  suprleubex  9133  sup3exmid  9136  suprzclex  9577  infrenegsupex  9827  supminfex  9830  infregelbex  9831  xrlttri3  10031  zsupcl  10490  zssinfcl  10491  infssuzledc  10493  suprzcl2dc  10498  maxleim  11765  maxabs  11769  maxleast  11773  dvdslegcd  12534  bezoutlemsup  12579  dfgcd2  12584  lcmgcdlem  12648  suplociccex  15348  pilem3  15506  taupi  16677