Theorem lttri3 8037

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lttri3	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )

Proof of Theorem lttri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8034	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -. A < A )
2		breq2 4008	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < A <-> A < B ) )
3	2	notbid 667	. . . . 5 |- ( A = B -> ( -. A < A <-> -. A < B ) )
4	1, 3	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A = B -> -. A < B ) )
5		breq1 4007	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < A <-> B < A ) )
6	5	notbid 667	. . . . 5 |- ( A = B -> ( -. A < A <-> -. B < A ) )
7	1, 6	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A = B -> -. B < A ) )
8	4, 7	jcad 307	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A = B -> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
10		ioran 752	. . 3 |- ( -. ( A < B \/ B < A ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
11		axapti 8028	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A < B \/ B < A ) ) -> A = B )
12	11	3expia 1205	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. ( A < B \/ B < A ) -> A = B ) )
13	10, 12	biimtrrid 153	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -. A < B /\ -. B < A ) -> A = B ) )
14	9, 13	impbid 129	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4004   RRcr 7810   < clt 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-apti 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997

This theorem is referenced by:  letri3  8038  lttri3i  8055  lttri3d  8072  inelr  8541  lbinf  8905  suprubex  8908  suprlubex  8909  suprleubex  8911  sup3exmid  8914  suprzclex  9351  infrenegsupex  9594  supminfex  9597  infregelbex  9598  xrlttri3  9797  maxleim  11214  maxabs  11218  maxleast  11222  zsupcl  11948  zssinfcl  11949  infssuzledc  11951  suprzcl2dc  11956  dvdslegcd  11965  bezoutlemsup  12010  dfgcd2  12015  lcmgcdlem  12077  suplociccex  14106  pilem3  14207  taupi  14823