ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttri3 Unicode version

Theorem lttri3 8036
Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lttri3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )

Proof of Theorem lttri3
StepHypRef Expression
1 ltnr 8033 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
2 breq2 4007 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  A  <->  A  <  B ) )
32notbid 667 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( -.  A  <  A  <->  -.  A  <  B ) )
41, 3syl5ibcom 155 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  -.  A  <  B ) )
5 breq1 4006 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  A  <->  B  <  A ) )
65notbid 667 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( -.  A  <  A  <->  -.  B  <  A ) )
71, 6syl5ibcom 155 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  -.  B  <  A ) )
84, 7jcad 307 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A
) ) )
98adantr 276 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  ->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) ) )
10 ioran 752 . . 3  |-  ( -.  ( A  <  B  \/  B  <  A )  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) )
11 axapti 8027 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  ( A  <  B  \/  B  <  A ) )  ->  A  =  B )
12113expia 1205 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <  B  \/  B  <  A )  ->  A  =  B ) )
1310, 12biimtrrid 153 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A )  ->  A  =  B ) )
149, 13impbid 129 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4003   RRcr 7809    < clt 7991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-apti 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996
This theorem is referenced by:  letri3  8037  lttri3i  8054  lttri3d  8071  inelr  8540  lbinf  8904  suprubex  8907  suprlubex  8908  suprleubex  8910  sup3exmid  8913  suprzclex  9350  infrenegsupex  9593  supminfex  9596  infregelbex  9597  xrlttri3  9796  maxleim  11213  maxabs  11217  maxleast  11221  zsupcl  11947  zssinfcl  11948  infssuzledc  11950  suprzcl2dc  11955  dvdslegcd  11964  bezoutlemsup  12009  dfgcd2  12014  lcmgcdlem  12076  suplociccex  14073  pilem3  14174  taupi  14790
  Copyright terms: Public domain W3C validator