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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > suprzclex | Unicode version |
Description: The supremum of a set of integers is an element of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Dec-2021.) |
Ref | Expression |
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suprzclex.ex |
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suprzclex.ss |
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suprzclex |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | lttri3 7662 |
. . . . . 6
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2 | 1 | adantl 272 |
. . . . 5
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3 | suprzclex.ex |
. . . . 5
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4 | 2, 3 | supclti 6773 |
. . . 4
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5 | 4 | ltm1d 8490 |
. . 3
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6 | suprzclex.ss |
. . . . 5
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7 | zssre 8855 |
. . . . 5
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8 | 6, 7 | syl6ss 3051 |
. . . 4
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9 | peano2rem 7846 |
. . . . 5
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10 | 4, 9 | syl 14 |
. . . 4
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11 | 3, 8, 10 | suprlubex 8510 |
. . 3
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12 | 5, 11 | mpbid 146 |
. 2
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13 | 6 | adantr 271 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 13 | sselda 3039 |
. . . . . . . . 9
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15 | 7, 14 | sseldi 3037 |
. . . . . . . 8
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16 | 4 | adantr 271 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | adantr 271 |
. . . . . . . 8
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18 | simprl 499 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 13, 18 | sseldd 3040 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | zre 8852 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 19, 20 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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22 | peano2re 7715 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 21, 22 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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24 | 23 | adantr 271 |
. . . . . . . 8
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25 | 3 | ad2antrr 473 |
. . . . . . . . 9
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26 | 8 | ad2antrr 473 |
. . . . . . . . 9
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27 | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
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28 | 25, 26, 27 | suprubex 8509 |
. . . . . . . 8
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29 | simprr 500 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 1red 7600 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 16, 30, 21 | ltsubaddd 8115 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 29, 31 | mpbid 146 |
. . . . . . . . 9
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33 | 32 | adantr 271 |
. . . . . . . 8
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34 | 15, 17, 24, 28, 33 | lelttrd 7705 |
. . . . . . 7
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35 | 19 | adantr 271 |
. . . . . . . 8
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36 | zleltp1 8903 |
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37 | 14, 35, 36 | syl2anc 404 |
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38 | 34, 37 | mpbird 166 |
. . . . . 6
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39 | 38 | ralrimiva 2458 |
. . . . 5
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40 | breq2 3871 |
. . . . . . . . . . . . 13
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41 | 40 | cbvrexv 2605 |
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42 | 41 | imbi2i 225 |
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43 | 42 | ralbii 2395 |
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44 | 43 | anbi2i 446 |
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45 | 44 | rexbii 2396 |
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46 | 3, 45 | sylib 121 |
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47 | 46 | adantr 271 |
. . . . . 6
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48 | 13, 7 | syl6ss 3051 |
. . . . . 6
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49 | 47, 48, 21 | suprleubex 8512 |
. . . . 5
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50 | 39, 49 | mpbird 166 |
. . . 4
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51 | 47, 48, 18 | suprubex 8509 |
. . . 4
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52 | 16, 21 | letri3d 7697 |
. . . 4
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53 | 50, 51, 52 | mpbir2and 893 |
. . 3
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54 | 53, 18 | eqeltrd 2171 |
. 2
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55 | 12, 54 | rexlimddv 2507 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 582 ax-in2 583 ax-io 668 ax-5 1388 ax-7 1389 ax-gen 1390 ax-ie1 1434 ax-ie2 1435 ax-8 1447 ax-10 1448 ax-11 1449 ax-i12 1450 ax-bndl 1451 ax-4 1452 ax-13 1456 ax-14 1457 ax-17 1471 ax-i9 1475 ax-ial 1479 ax-i5r 1480 ax-ext 2077 ax-sep 3978 ax-pow 4030 ax-pr 4060 ax-un 4284 ax-setind 4381 ax-cnex 7533 ax-resscn 7534 ax-1cn 7535 ax-1re 7536 ax-icn 7537 ax-addcl 7538 ax-addrcl 7539 ax-mulcl 7540 ax-addcom 7542 ax-addass 7544 ax-distr 7546 ax-i2m1 7547 ax-0lt1 7548 ax-0id 7550 ax-rnegex 7551 ax-cnre 7553 ax-pre-ltirr 7554 ax-pre-ltwlin 7555 ax-pre-lttrn 7556 ax-pre-apti 7557 ax-pre-ltadd 7558 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 928 df-3an 929 df-tru 1299 df-fal 1302 df-nf 1402 df-sb 1700 df-eu 1958 df-mo 1959 df-clab 2082 df-cleq 2088 df-clel 2091 df-nfc 2224 df-ne 2263 df-nel 2358 df-ral 2375 df-rex 2376 df-reu 2377 df-rmo 2378 df-rab 2379 df-v 2635 df-sbc 2855 df-dif 3015 df-un 3017 df-in 3019 df-ss 3026 df-pw 3451 df-sn 3472 df-pr 3473 df-op 3475 df-uni 3676 df-int 3711 df-br 3868 df-opab 3922 df-id 4144 df-po 4147 df-iso 4148 df-xp 4473 df-rel 4474 df-cnv 4475 df-co 4476 df-dm 4477 df-iota 5014 df-fun 5051 df-fv 5057 df-riota 5646 df-ov 5693 df-oprab 5694 df-mpt2 5695 df-sup 6759 df-pnf 7621 df-mnf 7622 df-xr 7623 df-ltxr 7624 df-le 7625 df-sub 7752 df-neg 7753 df-inn 8521 df-n0 8772 df-z 8849 |
This theorem is referenced by: infssuzcldc 11389 gcddvds 11397 |
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