Theorem tg1 14773

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg1	|- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. B )

Proof of Theorem tg1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13333	. . . . 5 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5363	. . . 4 |- Fun topGen
3		funrel 5341	. . . 4 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5667	. . 3 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 424	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg2 14767	. . 3 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
8	7	simprbda 383	. 2 |- ( ( B e. dom topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> A C_ U. B )
9	6, 8	mpancom 422	1 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   i^i cin 3197   C_ wss 3198   ~Pcpw 3650   U.cuni 3891   dom cdm 4723   Rel wrel 4728   Fun wfun 5318   ` cfv 5324   topGenctg 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-topgen 13333

This theorem is referenced by:  unitg  14776  tgcl  14778