Theorem tg1 14564

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg1	|- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. B )

Proof of Theorem tg1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13125	. . . . 5 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5311	. . . 4 |- Fun topGen
3		funrel 5289	. . . 4 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5610	. . 3 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 424	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg2 14558	. . 3 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
8	7	simprbda 383	. 2 |- ( ( B e. dom topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> A C_ U. B )
9	6, 8	mpancom 422	1 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   E.wrex 2485   _Vcvv 2772   i^i cin 3165   C_ wss 3166   ~Pcpw 3616   U.cuni 3850   dom cdm 4676   Rel wrel 4681   Fun wfun 5266   ` cfv 5272   topGenctg 13119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-topgen 13125

This theorem is referenced by:  unitg  14567  tgcl  14569