ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tg1 Unicode version

Theorem tg1 13855
Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tg1  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  C_  U. B
)

Proof of Theorem tg1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-topgen 12727 . . . . 5  |-  topGen  =  ( x  e.  _V  |->  { y  |  y  C_  U. ( x  i^i  ~P y ) } )
21funmpt2 5267 . . . 4  |-  Fun  topGen
3 funrel 5245 . . . 4  |-  ( Fun  topGen  ->  Rel  topGen )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  Rel  topGen
5 relelfvdm 5559 . . 3  |-  ( ( Rel  topGen  /\  A  e.  ( topGen `  B )
)  ->  B  e.  dom  topGen )
64, 5mpan 424 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  B  e.  dom  topGen )
7 eltg2 13849 . . 3  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
87simprbda 383 . 2  |-  ( ( B  e.  dom  topGen  /\  A  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A  C_  U. B
)
96, 8mpancom 422 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  C_  U. B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2158   {cab 2173   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749    i^i cin 3140    C_ wss 3141   ~Pcpw 3587   U.cuni 3821   dom cdm 4638   Rel wrel 4643   Fun wfun 5222   ` cfv 5228   topGenctg 12721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-topgen 12727
This theorem is referenced by:  unitg  13858  tgcl  13860
  Copyright terms: Public domain W3C validator