Theorem tg1 15143

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg1	|- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. B )

Proof of Theorem tg1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13597	. . . . 5 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5414	. . . 4 |- Fun topGen
3		funrel 5392	. . . 4 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5725	. . 3 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 428	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg2 15137	. . 3 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
8	7	simprbda 383	. 2 |- ( ( B e. dom topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> A C_ U. B )
9	6, 8	mpancom 426	1 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   U.cuni 3933   dom cdm 4772   Rel wrel 4777   Fun wfun 5369   ` cfv 5375   topGenctg 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-topgen 13597

This theorem is referenced by:  unitg  15146  tgcl  15148