Theorem tg1 12071

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg1	|- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. B )

Proof of Theorem tg1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 11984	. . . . 5 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5120	. . . 4 |- Fun topGen
3		funrel 5098	. . . 4 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5407	. . 3 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 418	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg2 12065	. . 3 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
8	7	simprbda 378	. 2 |- ( ( B e. dom topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> A C_ U. B )
9	6, 8	mpancom 416	1 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1463   {cab 2101   A.wral 2390   E.wrex 2391   _Vcvv 2657   i^i cin 3036   C_ wss 3037   ~Pcpw 3476   U.cuni 3702   dom cdm 4499   Rel wrel 4504   Fun wfun 5075   ` cfv 5081   topGenctg 11978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-topgen 11984

This theorem is referenced by:  unitg  12074  tgcl  12076