Theorem tg1 13855

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg1	|- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. B )

Proof of Theorem tg1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12727	. . . . 5 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5267	. . . 4 |- Fun topGen
3		funrel 5245	. . . 4 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5559	. . 3 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 424	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg2 13849	. . 3 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
8	7	simprbda 383	. 2 |- ( ( B e. dom topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> A C_ U. B )
9	6, 8	mpancom 422	1 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   {cab 2173   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749   i^i cin 3140   C_ wss 3141   ~Pcpw 3587   U.cuni 3821   dom cdm 4638   Rel wrel 4643   Fun wfun 5222   ` cfv 5228   topGenctg 12721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-topgen 12727

This theorem is referenced by:  unitg  13858  tgcl  13860