Theorem tg2 14037

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg2	|- ( ( A e. ( topGen ` B ) /\ C e. A ) -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C

Proof of Theorem tg2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12768	. . . . . 6 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5274	. . . . 5 |- Fun topGen
3		funrel 5252	. . . . 5 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5566	. . . 4 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg2b 14031	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. A E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) ) )
8		eleq1 2252	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( y e. x <-> C e. x ) )
9	8	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( ( y e. x /\ x C_ A ) <-> ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
10	9	rexbidv 2491	. . . . 5 |- ( y = C -> ( E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) <-> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
11	10	rspccv 2853	. . . 4 |- ( A. y e. A E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
12	7, 11	biimtrdi 163	. . 3 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) ) )
13	6, 12	mpcom 36	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
14	13	imp 124	1 |- ( ( A e. ( topGen ` B ) /\ C e. A ) -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   i^i cin 3143   C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   U.cuni 3824   dom cdm 4644   Rel wrel 4649   Fun wfun 5229   ` cfv 5235   topGenctg 12762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-topgen 12768

This theorem is referenced by:  tgclb  14042  tgcnp  14186  txlm  14256