Theorem tg2 14925

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg2	|- ( ( A e. ( topGen ` B ) /\ C e. A ) -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C

Proof of Theorem tg2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13473	. . . . . 6 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5391	. . . . 5 |- Fun topGen
3		funrel 5369	. . . . 5 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5702	. . . 4 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg2b 14919	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. A E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) ) )
8		eleq1 2295	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( y e. x <-> C e. x ) )
9	8	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( ( y e. x /\ x C_ A ) <-> ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
10	9	rexbidv 2543	. . . . 5 |- ( y = C -> ( E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) <-> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
11	10	rspccv 2918	. . . 4 |- ( A. y e. A E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
12	7, 11	biimtrdi 163	. . 3 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) ) )
13	6, 12	mpcom 36	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
14	13	imp 124	1 |- ( ( A e. ( topGen ` B ) /\ C e. A ) -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   A.wral 2520   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   i^i cin 3210   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669   U.cuni 3914   dom cdm 4749   Rel wrel 4754   Fun wfun 5346   ` cfv 5352   topGenctg 13467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-topgen 13473

This theorem is referenced by:  tgclb  14930  tgcnp  15074  txlm  15144