Theorem tg2 12854

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg2	|- ( ( A e. ( topGen ` B ) /\ C e. A ) -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C

Proof of Theorem tg2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12600	. . . . . 6 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5237	. . . . 5 |- Fun topGen
3		funrel 5215	. . . . 5 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5528	. . . 4 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 422	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg2b 12848	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. A E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) ) )
8		eleq1 2233	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( y e. x <-> C e. x ) )
9	8	anbi1d 462	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( ( y e. x /\ x C_ A ) <-> ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
10	9	rexbidv 2471	. . . . 5 |- ( y = C -> ( E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) <-> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
11	10	rspccv 2831	. . . 4 |- ( A. y e. A E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
12	7, 11	syl6bi 162	. . 3 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) ) )
13	6, 12	mpcom 36	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
14	13	imp 123	1 |- ( ( A e. ( topGen ` B ) /\ C e. A ) -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   U.cuni 3796   dom cdm 4611   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192   ` cfv 5198   topGenctg 12594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topgen 12600

This theorem is referenced by:  tgclb  12859  tgcnp  13003  txlm  13073