Theorem tg2 14734

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg2	|- ( ( A e. ( topGen ` B ) /\ C e. A ) -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C

Proof of Theorem tg2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13293	. . . . . 6 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5357	. . . . 5 |- Fun topGen
3		funrel 5335	. . . . 5 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5659	. . . 4 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg2b 14728	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. A E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) ) )
8		eleq1 2292	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( y e. x <-> C e. x ) )
9	8	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( ( y e. x /\ x C_ A ) <-> ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
10	9	rexbidv 2531	. . . . 5 |- ( y = C -> ( E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) <-> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
11	10	rspccv 2904	. . . 4 |- ( A. y e. A E. x e. B ( y e. x /\ x C_ A ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
12	7, 11	biimtrdi 163	. . 3 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) ) )
13	6, 12	mpcom 36	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( C e. A -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) ) )
14	13	imp 124	1 |- ( ( A e. ( topGen ` B ) /\ C e. A ) -> E. x e. B ( C e. x /\ x C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   U.cuni 3888   dom cdm 4719   Rel wrel 4724   Fun wfun 5312   ` cfv 5318   topGenctg 13287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-topgen 13293

This theorem is referenced by:  tgclb  14739  tgcnp  14883  txlm  14953