Theorem tg1 12228

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg1	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)

Proof of Theorem tg1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12141	. . . . 5 ⊢ topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
2	1	funmpt2 5162	. . . 4 ⊢ Fun topGen
3		funrel 5140	. . . 4 ⊢ (Fun topGen → Rel topGen)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel topGen
5		relelfvdm 5453	. . 3 ⊢ ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
6	4, 5	mpan 420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7		eltg2 12222	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))))
8	7	simprbda 380	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ dom topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
9	6, 8	mpancom 418	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  {cab 2125  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  Vcvv 2686   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  𝒫 cpw 3510  ∪ cuni 3736  dom cdm 4539  Rel wrel 4544  Fun wfun 5117  ‘cfv 5123  topGenctg 12135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12141

This theorem is referenced by:  unitg  12231  tgcl  12233