Theorem tg1 14227

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg1	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)

Proof of Theorem tg1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12871	. . . . 5 ⊢ topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
2	1	funmpt2 5293	. . . 4 ⊢ Fun topGen
3		funrel 5271	. . . 4 ⊢ (Fun topGen → Rel topGen)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel topGen
5		relelfvdm 5586	. . 3 ⊢ ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
6	4, 5	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7		eltg2 14221	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))))
8	7	simprbda 383	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ dom topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
9	6, 8	mpancom 422	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  Vcvv 2760   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  𝒫 cpw 3601  ∪ cuni 3835  dom cdm 4659  Rel wrel 4664  Fun wfun 5248  ‘cfv 5254  topGenctg 12865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-topgen 12871

This theorem is referenced by:  unitg  14230  tgcl  14232