Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tg1 GIF version

Theorem tg1 12265
 Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tg1 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 𝐵)

Proof of Theorem tg1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-topgen 12178 . . . . 5 topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦𝑦 (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
21funmpt2 5169 . . . 4 Fun topGen
3 funrel 5147 . . . 4 (Fun topGen → Rel topGen)
42, 3ax-mp 5 . . 3 Rel topGen
5 relelfvdm 5460 . . 3 ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
64, 5mpan 421 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7 eltg2 12259 . . 3 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
87simprbda 381 . 2 ((𝐵 ∈ dom topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 𝐵)
96, 8mpancom 419 1 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1481  {cab 2126  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  Vcvv 2689   ∩ cin 3074   ⊆ wss 3075  𝒫 cpw 3514  ∪ cuni 3743  dom cdm 4546  Rel wrel 4551  Fun wfun 5124  ‘cfv 5130  topGenctg 12172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-topgen 12178 This theorem is referenced by:  unitg  12268  tgcl  12270
 Copyright terms: Public domain W3C validator