Theorem tg1 14733

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg1	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)

Proof of Theorem tg1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13293	. . . . 5 ⊢ topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
2	1	funmpt2 5357	. . . 4 ⊢ Fun topGen
3		funrel 5335	. . . 4 ⊢ (Fun topGen → Rel topGen)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel topGen
5		relelfvdm 5659	. . 3 ⊢ ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
6	4, 5	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7		eltg2 14727	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))))
8	7	simprbda 383	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ dom topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
9	6, 8	mpancom 422	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649  ∪ cuni 3888  dom cdm 4719  Rel wrel 4724  Fun wfun 5312  ‘cfv 5318  topGenctg 13287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-topgen 13293

This theorem is referenced by:  unitg  14736  tgcl  14738