Theorem eltg2 12004

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg2	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, V, y

Proof of Theorem eltg2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval2 12002	. . 3 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } )
2	1	eleq2d 2169	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } ) )
3		elex 2652	. . . 4 |- ( A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } -> A e. _V )
4	3	adantl 273	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } ) -> A e. _V )
5		uniexg 4299	. . . . . 6 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
6		ssexg 4007	. . . . . 6 |- ( ( A C_ U. B /\ U. B e. _V ) -> A e. _V )
7	5, 6	sylan2 282	. . . . 5 |- ( ( A C_ U. B /\ B e. V ) -> A e. _V )
8	7	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A C_ U. B ) -> A e. _V )
9	8	adantrr 466	. . 3 |- ( ( B e. V /\ ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) -> A e. _V )
10		sseq1 3070	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z C_ U. B <-> A C_ U. B ) )
11		sseq2 3071	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( y C_ z <-> y C_ A ) )
12	11	anbi2d 455	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( ( x e. y /\ y C_ z ) <-> ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
13	12	rexbidv 2397	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) <-> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
14	13	raleqbi1dv 2592	. . . . 5 |- ( z = A -> ( A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
15	10, 14	anbi12d 460	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
16	15	elabg 2783	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
17	4, 9, 16	pm5.21nd 869	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
18	2, 17	bitrd 187	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1299   e. wcel 1448   {cab 2086   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641   C_ wss 3021   U.cuni 3683   ` cfv 5059   topGenctg 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-topgen 11923

This theorem is referenced by:  eltg2b  12005  tg1  12010  tgcl  12015  elmopn  12374