Theorem eltg2 12847

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg2	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, V, y

Proof of Theorem eltg2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval2 12845	. . 3 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } )
2	1	eleq2d 2240	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } ) )
3		elex 2741	. . . 4 |- ( A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } -> A e. _V )
4	3	adantl 275	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } ) -> A e. _V )
5		uniexg 4424	. . . . . 6 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
6		ssexg 4128	. . . . . 6 |- ( ( A C_ U. B /\ U. B e. _V ) -> A e. _V )
7	5, 6	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( A C_ U. B /\ B e. V ) -> A e. _V )
8	7	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A C_ U. B ) -> A e. _V )
9	8	adantrr 476	. . 3 |- ( ( B e. V /\ ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) -> A e. _V )
10		sseq1 3170	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z C_ U. B <-> A C_ U. B ) )
11		sseq2 3171	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( y C_ z <-> y C_ A ) )
12	11	anbi2d 461	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( ( x e. y /\ y C_ z ) <-> ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
13	12	rexbidv 2471	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) <-> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
14	13	raleqbi1dv 2673	. . . . 5 |- ( z = A -> ( A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
15	10, 14	anbi12d 470	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
16	15	elabg 2876	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
17	4, 9, 16	pm5.21nd 911	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
18	2, 17	bitrd 187	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   U.cuni 3796   ` cfv 5198   topGenctg 12594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topgen 12600

This theorem is referenced by:  eltg2b  12848  tg1  12853  tgcl  12858  elmopn  13240  xmettx  13304