Theorem eltg2 13638

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg2	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, V, y

Proof of Theorem eltg2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval2 13636	. . 3 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } )
2	1	eleq2d 2247	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } ) )
3		elex 2750	. . . 4 |- ( A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } -> A e. _V )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } ) -> A e. _V )
5		uniexg 4441	. . . . . 6 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
6		ssexg 4144	. . . . . 6 |- ( ( A C_ U. B /\ U. B e. _V ) -> A e. _V )
7	5, 6	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A C_ U. B /\ B e. V ) -> A e. _V )
8	7	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A C_ U. B ) -> A e. _V )
9	8	adantrr 479	. . 3 |- ( ( B e. V /\ ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) -> A e. _V )
10		sseq1 3180	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z C_ U. B <-> A C_ U. B ) )
11		sseq2 3181	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( y C_ z <-> y C_ A ) )
12	11	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( ( x e. y /\ y C_ z ) <-> ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
13	12	rexbidv 2478	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) <-> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
14	13	raleqbi1dv 2681	. . . . 5 |- ( z = A -> ( A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
15	10, 14	anbi12d 473	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
16	15	elabg 2885	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
17	4, 9, 16	pm5.21nd 916	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. { z | ( z C_ U. B /\ A. x e. z E. y e. B ( x e. y /\ y C_ z ) ) } <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
18	2, 17	bitrd 188	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   U.cuni 3811   ` cfv 5218   topGenctg 12708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-topgen 12714

This theorem is referenced by:  eltg2b  13639  tg1  13644  tgcl  13649  elmopn  14031  xmettx  14095