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Theorem eltg2 12231
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, V, y

Proof of Theorem eltg2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval2 12229 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } )
21eleq2d 2209 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A  e.  { z  |  ( z 
C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } ) )
3 elex 2697 . . . 4  |-  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  ->  A  e.  _V )
43adantl 275 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } )  ->  A  e.  _V )
5 uniexg 4361 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  e.  _V )
6 ssexg 4067 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  U. B  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
75, 6sylan2 284 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
87ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  U. B )  ->  A  e.  _V )
98adantrr 470 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )  ->  A  e.  _V )
10 sseq1 3120 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z  C_  U. B  <->  A  C_  U. B
) )
11 sseq2 3121 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  A ) )
1211anbi2d 459 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  z
)  <->  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1312rexbidv 2438 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z )  <->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1413raleqbi1dv 2634 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1510, 14anbi12d 464 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) )  <->  ( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
1615elabg 2830 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  <-> 
( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
174, 9, 16pm5.21nd 901 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  <-> 
( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
182, 17bitrd 187 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686    C_ wss 3071   U.cuni 3736   ` cfv 5123   topGenctg 12144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12150
This theorem is referenced by:  eltg2b  12232  tg1  12237  tgcl  12242  elmopn  12624  xmettx  12688
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