Theorem tposf2 6539

Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf2	|- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A --> B ) )

Proof of Theorem tposf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5533	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		dffn4 5621	. . . . . . 7 |- ( F Fn A <-> F : A -onto-> ran F )
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> F : A -onto-> ran F )
4		tposfo2 6538	. . . . . 6 |- ( Rel A -> ( F : A -onto-> ran F -> tpos F : `' A -onto-> ran F ) )
5	3, 4	syl5 32	. . . . 5 |- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A -onto-> ran F ) )
6	5	imp 124	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A -onto-> ran F )
7		fof 5615	. . . 4 |- (tpos F : `' A -onto-> ran F -> tpos F : `' A --> ran F )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A --> ran F )
9		frn 5542	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
10	9	adantl 277	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> ran F C_ B )
11		fss 5546	. . 3 |- ( (tpos F : `' A --> ran F /\ ran F C_ B ) -> tpos F : `' A --> B )
12	8, 10, 11	syl2anc 415	. 2 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A --> B )
13	12	ex 115	1 |- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A --> B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   C_ wss 3220   `'ccnv 4773   ran crn 4775   Rel wrel 4779   Fn wfn 5372   -->wf 5373   -onto->wfo 5375  tpos ctpos 6515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-tpos 6516

This theorem is used by:  tposf  6543