Theorem tposf2 6047

Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf2	|- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A --> B ) )

Proof of Theorem tposf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5174	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		dffn4 5252	. . . . . . 7 |- ( F Fn A <-> F : A -onto-> ran F )
3	1, 2	sylib 121	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> F : A -onto-> ran F )
4		tposfo2 6046	. . . . . 6 |- ( Rel A -> ( F : A -onto-> ran F -> tpos F : `' A -onto-> ran F ) )
5	3, 4	syl5 32	. . . . 5 |- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A -onto-> ran F ) )
6	5	imp 123	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A -onto-> ran F )
7		fof 5246	. . . 4 |- (tpos F : `' A -onto-> ran F -> tpos F : `' A --> ran F )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A --> ran F )
9		frn 5182	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
10	9	adantl 272	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> ran F C_ B )
11		fss 5185	. . 3 |- ( (tpos F : `' A --> ran F /\ ran F C_ B ) -> tpos F : `' A --> B )
12	8, 10, 11	syl2anc 404	. 2 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A --> B )
13	12	ex 114	1 |- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A --> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   C_ wss 3000   `'ccnv 4451   ran crn 4453   Rel wrel 4457   Fn wfn 5023   -->wf 5024   -onto->wfo 5026  tpos ctpos 6023

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fo 5034  df-fv 5036  df-tpos 6024

This theorem is referenced by:  tposf  6051