Theorem tposf2 6173

Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf2	|- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A --> B ) )

Proof of Theorem tposf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5280	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		dffn4 5359	. . . . . . 7 |- ( F Fn A <-> F : A -onto-> ran F )
3	1, 2	sylib 121	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> F : A -onto-> ran F )
4		tposfo2 6172	. . . . . 6 |- ( Rel A -> ( F : A -onto-> ran F -> tpos F : `' A -onto-> ran F ) )
5	3, 4	syl5 32	. . . . 5 |- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A -onto-> ran F ) )
6	5	imp 123	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A -onto-> ran F )
7		fof 5353	. . . 4 |- (tpos F : `' A -onto-> ran F -> tpos F : `' A --> ran F )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A --> ran F )
9		frn 5289	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
10	9	adantl 275	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> ran F C_ B )
11		fss 5292	. . 3 |- ( (tpos F : `' A --> ran F /\ ran F C_ B ) -> tpos F : `' A --> B )
12	8, 10, 11	syl2anc 409	. 2 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A --> B )
13	12	ex 114	1 |- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A --> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   C_ wss 3076   `'ccnv 4546   ran crn 4548   Rel wrel 4552   Fn wfn 5126   -->wf 5127   -onto->wfo 5129  tpos ctpos 6149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fo 5137  df-fv 5139  df-tpos 6150

This theorem is referenced by:  tposf  6177