Theorem tposf2 6326

Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf2	|- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A --> B ) )

Proof of Theorem tposf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5407	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		dffn4 5486	. . . . . . 7 |- ( F Fn A <-> F : A -onto-> ran F )
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> F : A -onto-> ran F )
4		tposfo2 6325	. . . . . 6 |- ( Rel A -> ( F : A -onto-> ran F -> tpos F : `' A -onto-> ran F ) )
5	3, 4	syl5 32	. . . . 5 |- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A -onto-> ran F ) )
6	5	imp 124	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A -onto-> ran F )
7		fof 5480	. . . 4 |- (tpos F : `' A -onto-> ran F -> tpos F : `' A --> ran F )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A --> ran F )
9		frn 5416	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
10	9	adantl 277	. . 3 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> ran F C_ B )
11		fss 5419	. . 3 |- ( (tpos F : `' A --> ran F /\ ran F C_ B ) -> tpos F : `' A --> B )
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( Rel A /\ F : A --> B ) -> tpos F : `' A --> B )
13	12	ex 115	1 |- ( Rel A -> ( F : A --> B -> tpos F : `' A --> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   C_ wss 3157   `'ccnv 4662   ran crn 4664   Rel wrel 4668   Fn wfn 5253   -->wf 5254   -onto->wfo 5256  tpos ctpos 6302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fo 5264  df-fv 5266  df-tpos 6303

This theorem is referenced by:  tposf  6330