Theorem fof 5615

Description: An onto mapping is a mapping. (Contributed by NM, 3-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fof	|- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )

Proof of Theorem fof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqimss 3302	. . 3 |- ( ran F = B -> ran F C_ B )
2	1	anim2i 342	. 2 |- ( ( F Fn A /\ ran F = B ) -> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
3		df-fo 5383	. 2 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F Fn A /\ ran F = B ) )
4		df-f 5381	. 2 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
5	2, 3, 4	3imtr4i 201	1 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   C_ wss 3220   ran crn 4775   Fn wfn 5372   -->wf 5373   -onto->wfo 5375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233  df-f 5381  df-fo 5383

This theorem is used by:  fofun  5616  fofn  5617  dffo2  5619  foima  5620  resdif  5661  ffoss  5672  fconstfvm  5933  cocan2  5994  foeqcnvco  5996  focdmex  6344  algrflem  6465  algrflemg  6466  tposf2  6539  mapfoss  6947  mapsn  6972  ssdomg  7065  fopwdom  7136  fidcenumlemrks  7270  fidcenumlemr  7272  ctmlemr  7449  ctm  7450  ctssdclemn0  7451  ctssdccl  7452  ctssdc  7454  enumctlemm  7455  enumct  7456  fodjuomnilemdc  7485  exmidfodomrlemr  7555  exmidfodomrlemrALT  7556  suplocexprlemdisj  8088  suplocexprlemub  8091  wrdsymb  11348  ennnfonelemdc  13342  ennnfonelemg  13346  ennnfonelemp1  13349  ennnfonelemhdmp1  13352  ennnfonelemkh  13355  ennnfonelemhf1o  13356  ennnfonelemex  13357  ennnfonelemhom  13358  ctinfomlemom  13370  ctinf  13373  ctiunctlemudc  13380  ctiunctlemf  13381  omctfn  13386  imasival  13680  imasbas  13681  imasplusg  13682  imasmulr  13683  imasaddfnlemg  13688  imasaddvallemg  13689  imasaddflemg  13690  imasmnd2  13812  imasgrp2  13966  mhmid  13971  mhmmnd  13972  mhmfmhm  13973  ghmgrp  13974  ghmfghm  14214  imasring  14453  znunit  15078  znrrg  15079  dvrecap  15905  gausslemma2dlem1f1o  16345  subctctexmid  17196  pw1nct  17199