Theorem tposf2 6251

Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf2	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵))

Proof of Theorem tposf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5349	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		dffn4 5428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
4		tposfo2 6250	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 → tpos 𝐹:◡𝐴–onto→ran 𝐹))
5	3, 4	syl5 32	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–onto→ran 𝐹))
6	5	imp 123	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴–onto→ran 𝐹)
7		fof 5422	. . . 4 ⊢ (tpos 𝐹:◡𝐴–onto→ran 𝐹 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶ran 𝐹)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴⟶ran 𝐹)
9		frn 5358	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	9	adantl 275	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
11		fss 5361	. . 3 ⊢ ((tpos 𝐹:◡𝐴⟶ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵)
12	8, 10, 11	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵)
13	12	ex 114	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ⊆ wss 3122  ^◡ccnv 4611  ran crn 4613  Rel wrel 4617   Fn wfn 5195  ⟶wf 5196  –onto→wfo 5198  tpos ctpos 6227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fo 5206  df-fv 5208  df-tpos 6228

This theorem is referenced by:  tposf  6255