ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpostpos2 Unicode version

Theorem tpostpos2 6012
Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos2  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  -> tpos tpos  F  =  F )

Proof of Theorem tpostpos2
StepHypRef Expression
1 tpostpos 6011 . 2  |- tpos tpos  F  =  ( F  i^i  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)
2 relrelss 4944 . . . 4  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  <->  F  C_  (
( _V  X.  _V )  X.  _V ) )
3 ssun1 3161 . . . . . 6  |-  ( _V 
X.  _V )  C_  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )
4 xpss1 4536 . . . . . 6  |-  ( ( _V  X.  _V )  C_  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  ->  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  C_  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)
53, 4ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )  C_  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
6 sstr 3031 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  /\  (
( _V  X.  _V )  X.  _V )  C_  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )  ->  F  C_  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )
75, 6mpan2 416 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  F  C_  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)
82, 7sylbi 119 . . 3  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  ->  F  C_  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )
9 df-ss 3010 . . 3  |-  ( F 
C_  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V )  <->  ( F  i^i  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )  =  F )
108, 9sylib 120 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  ->  ( F  i^i  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V ) )  =  F )
111, 10syl5eq 2132 1  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  -> tpos tpos  F  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289   _Vcvv 2619    u. cun 2995    i^i cin 2996    C_ wss 2997   (/)c0 3284   {csn 3441    X. cxp 4426   dom cdm 4428   Rel wrel 4433  tpos ctpos 5991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-fv 5010  df-tpos 5992
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator