Theorem tpostpos2 6266

Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos2	|- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> tpos tpos F = F )

Proof of Theorem tpostpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpostpos 6265	. 2 |- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
2		relrelss 5156	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) <-> F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
3		ssun1 3299	. . . . . 6 |- ( _V X. _V ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } )
4		xpss1 4737	. . . . . 6 |- ( ( _V X. _V ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) -> ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
6		sstr 3164	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
7	5, 6	mpan2 425	. . . 4 |- ( F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
8	2, 7	sylbi 121	. . 3 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
9		df-ss 3143	. . 3 |- ( F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) <-> ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) = F )
10	8, 9	sylib 122	. 2 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) = F )
11	1, 10	eqtrid 2222	1 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> tpos tpos F = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   _Vcvv 2738   u. cun 3128   i^i cin 3129   C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   X. cxp 4625   dom cdm 4627   Rel wrel 4632  tpos ctpos 6245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-tpos 6246

This theorem is referenced by: (None)