ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpostpos2 Unicode version

Theorem tpostpos2 6214
Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos2  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  -> tpos tpos  F  =  F )

Proof of Theorem tpostpos2
StepHypRef Expression
1 tpostpos 6213 . 2  |- tpos tpos  F  =  ( F  i^i  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)
2 relrelss 5114 . . . 4  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  <->  F  C_  (
( _V  X.  _V )  X.  _V ) )
3 ssun1 3271 . . . . . 6  |-  ( _V 
X.  _V )  C_  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )
4 xpss1 4698 . . . . . 6  |-  ( ( _V  X.  _V )  C_  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  ->  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  C_  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )  C_  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
6 sstr 3136 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  /\  (
( _V  X.  _V )  X.  _V )  C_  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )  ->  F  C_  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )
75, 6mpan2 422 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  F  C_  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)
82, 7sylbi 120 . . 3  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  ->  F  C_  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )
9 df-ss 3115 . . 3  |-  ( F 
C_  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V )  <->  ( F  i^i  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )  =  F )
108, 9sylib 121 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  ->  ( F  i^i  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V ) )  =  F )
111, 10syl5eq 2202 1  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  -> tpos tpos  F  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335   _Vcvv 2712    u. cun 3100    i^i cin 3101    C_ wss 3102   (/)c0 3395   {csn 3561    X. cxp 4586   dom cdm 4588   Rel wrel 4593  tpos ctpos 6193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-fv 5180  df-tpos 6194
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator