Theorem tpostpos2 6214

Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos2	|- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> tpos tpos F = F )

Proof of Theorem tpostpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpostpos 6213	. 2 |- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
2		relrelss 5114	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) <-> F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
3		ssun1 3271	. . . . . 6 |- ( _V X. _V ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } )
4		xpss1 4698	. . . . . 6 |- ( ( _V X. _V ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) -> ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
6		sstr 3136	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
7	5, 6	mpan2 422	. . . 4 |- ( F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
8	2, 7	sylbi 120	. . 3 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
9		df-ss 3115	. . 3 |- ( F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) <-> ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) = F )
10	8, 9	sylib 121	. 2 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) = F )
11	1, 10	syl5eq 2202	1 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> tpos tpos F = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   _Vcvv 2712   u. cun 3100   i^i cin 3101   C_ wss 3102   (/)c0 3395   {csn 3561   X. cxp 4586   dom cdm 4588   Rel wrel 4593  tpos ctpos 6193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-fv 5180  df-tpos 6194

This theorem is referenced by: (None)