Theorem tpostpos2 6430

Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos2	|- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> tpos tpos F = F )

Proof of Theorem tpostpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpostpos 6429	. 2 |- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
2		relrelss 5263	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) <-> F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
3		ssun1 3370	. . . . . 6 |- ( _V X. _V ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } )
4		xpss1 4836	. . . . . 6 |- ( ( _V X. _V ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) -> ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
6		sstr 3235	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
7	5, 6	mpan2 425	. . . 4 |- ( F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
8	2, 7	sylbi 121	. . 3 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
9		df-ss 3213	. . 3 |- ( F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) <-> ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) = F )
10	8, 9	sylib 122	. 2 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) = F )
11	1, 10	eqtrid 2276	1 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> tpos tpos F = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   _Vcvv 2802   u. cun 3198   i^i cin 3199   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   X. cxp 4723   dom cdm 4725   Rel wrel 4730  tpos ctpos 6409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-tpos 6410

This theorem is referenced by: (None)