ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpostpos2 GIF version

Theorem tpostpos2 6128
Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos2 ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → tpos tpos 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem tpostpos2
StepHypRef Expression
1 tpostpos 6127 . 2 tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
2 relrelss 5033 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ ((V × V) × V))
3 ssun1 3207 . . . . . 6 (V × V) ⊆ ((V × V) ∪ {∅})
4 xpss1 4617 . . . . . 6 ((V × V) ⊆ ((V × V) ∪ {∅}) → ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)
6 sstr 3073 . . . . 5 ((𝐹 ⊆ ((V × V) × V) ∧ ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
75, 6mpan2 419 . . . 4 (𝐹 ⊆ ((V × V) × V) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
82, 7sylbi 120 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
9 df-ss 3052 . . 3 (𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V) ↔ (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) = 𝐹)
108, 9sylib 121 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) = 𝐹)
111, 10syl5eq 2160 1 ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → tpos tpos 𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  Vcvv 2658  cun 3037  cin 3038  wss 3039  c0 3331  {csn 3495   × cxp 4505  dom cdm 4507  Rel wrel 4512  tpos ctpos 6107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-fv 5099  df-tpos 6108
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator