Theorem tpostpos2 6431

Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos2	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → tpos tpos 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem tpostpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpostpos 6430	. 2 ⊢ tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
2		relrelss 5263	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ ((V × V) × V))
3		ssun1 3370	. . . . . 6 ⊢ (V × V) ⊆ ((V × V) ∪ {∅})
4		xpss1 4836	. . . . . 6 ⊢ ((V × V) ⊆ ((V × V) ∪ {∅}) → ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)
6		sstr 3235	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⊆ ((V × V) × V) ∧ ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
7	5, 6	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ ((V × V) × V) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
8	2, 7	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
9		df-ss 3213	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V) ↔ (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) = 𝐹)
10	8, 9	sylib 122	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) = 𝐹)
11	1, 10	eqtrid 2276	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → tpos tpos 𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397  Vcvv 2802   ∪ cun 3198   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {csn 3669   × cxp 4723  dom cdm 4725  Rel wrel 4730  tpos ctpos 6410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-tpos 6411

This theorem is referenced by: (None)