Theorem uzval 9923

Description: The value of the upper integers function. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzval	|- ( N e. ZZ -> ( ZZ>= ` N ) = { k e. ZZ | N <_ k } )

Distinct variable group:   k, N

Proof of Theorem uzval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4133	. . 3 |- ( j = N -> ( j <_ k <-> N <_ k ) )
2	1	rabbidv 2810	. 2 |- ( j = N -> { k e. ZZ | j <_ k } = { k e. ZZ | N <_ k } )
3		df-uz 9922	. 2 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
4		zex 9653	. . 3 |- ZZ e. _V
5	4	rabex 4280	. 2 |- { k e. ZZ | N <_ k } e. _V
6	2, 3, 5	fvmpt 5782	1 |- ( N e. ZZ -> ( ZZ>= ` N ) = { k e. ZZ | N <_ k } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  eluz1  9925  nn0uz  9957  nnuz  9958  algfx  12830