Theorem uzval 9011

Description: The value of the upper integers function. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzval	|- ( N e. ZZ -> ( ZZ>= ` N ) = { k e. ZZ | N <_ k } )

Distinct variable group:   k, N

Proof of Theorem uzval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3846	. . 3 |- ( j = N -> ( j <_ k <-> N <_ k ) )
2	1	rabbidv 2608	. 2 |- ( j = N -> { k e. ZZ | j <_ k } = { k e. ZZ | N <_ k } )
3		df-uz 9010	. 2 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
4		zex 8749	. . 3 |- ZZ e. _V
5	4	rabex 3981	. 2 |- { k e. ZZ | N <_ k } e. _V
6	2, 3, 5	fvmpt 5375	1 |- ( N e. ZZ -> ( ZZ>= ` N ) = { k e. ZZ | N <_ k } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1289   e. wcel 1438   {crab 2363   class class class wbr 3843   ` cfv 5010   <_ cle 7513   ZZcz 8740   ZZ>=cuz 9009

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fv 5018  df-ov 5647  df-neg 7646  df-z 8741  df-uz 9010

This theorem is referenced by:  eluz1  9013  nn0uz  9043  nnuz  9044  ialgfx  11299