Theorem uzval 9328

Description: The value of the upper integers function. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzval	|- ( N e. ZZ -> ( ZZ>= ` N ) = { k e. ZZ | N <_ k } )

Distinct variable group:   k, N

Proof of Theorem uzval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3932	. . 3 |- ( j = N -> ( j <_ k <-> N <_ k ) )
2	1	rabbidv 2675	. 2 |- ( j = N -> { k e. ZZ | j <_ k } = { k e. ZZ | N <_ k } )
3		df-uz 9327	. 2 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
4		zex 9063	. . 3 |- ZZ e. _V
5	4	rabex 4072	. 2 |- { k e. ZZ | N <_ k } e. _V
6	2, 3, 5	fvmpt 5498	1 |- ( N e. ZZ -> ( ZZ>= ` N ) = { k e. ZZ | N <_ k } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2420   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  eluz1  9330  nn0uz  9360  nnuz  9361  algfx  11733