Theorem uzval 9503

Description: The value of the upper integers function. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzval	|- ( N e. ZZ -> ( ZZ>= ` N ) = { k e. ZZ | N <_ k } )

Distinct variable group:   k, N

Proof of Theorem uzval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4001	. . 3 |- ( j = N -> ( j <_ k <-> N <_ k ) )
2	1	rabbidv 2724	. 2 |- ( j = N -> { k e. ZZ | j <_ k } = { k e. ZZ | N <_ k } )
3		df-uz 9502	. 2 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
4		zex 9235	. . 3 |- ZZ e. _V
5	4	rabex 4142	. 2 |- { k e. ZZ | N <_ k } e. _V
6	2, 3, 5	fvmpt 5585	1 |- ( N e. ZZ -> ( ZZ>= ` N ) = { k e. ZZ | N <_ k } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2146   {crab 2457   class class class wbr 3998   ` cfv 5208   <_ cle 7967   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-ov 5868  df-neg 8105  df-z 9227  df-uz 9502

This theorem is referenced by:  eluz1  9505  nn0uz  9535  nnuz  9536  algfx  12019