Theorem nnuz 9631

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9344	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9346	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9597	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2217	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   class class class wbr 4030   ` cfv 5255   1c1 7875   <_ cle 8057   NNcn 8984   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-z 9321  df-uz 9596

This theorem is referenced by:  elnnuz  9632  eluz2nn  9634  uznnssnn  9645  eluznn  9668  fzssnn  10137  fseq1p1m1  10163  fz01or  10180  nnsplit  10206  elfzo1  10260  exp3vallem  10614  exp3val  10615  facnn  10801  fac0  10802  bcm1k  10834  bcval5  10837  bcpasc  10840  seq3coll  10916  recvguniq  11142  resqrexlemf  11154  climuni  11439  climrecvg1n  11494  climcvg1nlem  11495  summodclem3  11526  summodclem2a  11527  fsum3  11533  sum0  11534  isumz  11535  fsumcl2lem  11544  fsumadd  11552  fsummulc2  11594  isumnn0nn  11639  divcnv  11643  trireciplem  11646  trirecip  11647  expcnvap0  11648  expcnv  11650  geo2lim  11662  geoisum1  11665  geoisum1c  11666  cvgratnnlemnexp  11670  cvgratnnlemseq  11672  cvgratnnlemrate  11676  cvgratnn  11677  mertenslem2  11682  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  fprodseq  11729  prod0  11731  prod1dc  11732  fprodssdc  11736  fprodmul  11737  ege2le3  11817  nninfdcex  12093  gcdsupex  12097  gcdsupcl  12098  nnmindc  12174  nnminle  12175  lcmval  12204  lcmcllem  12208  lcmledvds  12211  isprm3  12259  phicl2  12355  phibndlem  12357  odzcllem  12383  odzdvds  12386  pcmptcl  12483  pcmpt  12484  pockthlem  12497  pockthg  12498  1arith  12508  4sqlem13m  12544  4sqlem14  12545  4sqlem17  12548  4sqlem18  12549  ennnfonelemjn  12562  ssnnctlemct  12606  nninfdclemf  12609  nninfdclemp1  12610  mulgval  13195  mulgfng  13197  mulgnnp1  13203  mulgnnsubcl  13207  mulgnn0z  13222  mulgnndir  13224  mulgpropdg  13237  lmtopcnp  14429  lgsval  15161  lgscllem  15164  lgsval2lem  15167  lgsval4a  15179  lgsneg  15181  lgsdir  15192  lgsdilem2  15193  lgsdi  15194  lgsne0  15195  gausslemma2dlem3  15220  lgseisenlem4  15230  lgsquadlem2  15235  cvgcmp2nlemabs  15592  cvgcmp2n  15593  trilpolemcl  15597  trilpolemisumle  15598  trilpolemgt1  15599  trilpolemeq1  15600  trilpolemlt1  15601  nconstwlpolem0  15623  nconstwlpolemgt0  15624