Theorem nnuz 9562

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9276	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9278	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9529	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2201	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   class class class wbr 4003   ` cfv 5216   1c1 7811   <_ cle 7992   NNcn 8918   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-z 9253  df-uz 9528

This theorem is referenced by:  elnnuz  9563  eluz2nn  9565  uznnssnn  9576  eluznn  9599  fzssnn  10067  fseq1p1m1  10093  fz01or  10110  nnsplit  10136  elfzo1  10189  exp3vallem  10520  exp3val  10521  facnn  10706  fac0  10707  bcm1k  10739  bcval5  10742  bcpasc  10745  seq3coll  10821  recvguniq  11003  resqrexlemf  11015  climuni  11300  climrecvg1n  11355  climcvg1nlem  11356  summodclem3  11387  summodclem2a  11388  fsum3  11394  sum0  11395  isumz  11396  fsumcl2lem  11405  fsumadd  11413  fsummulc2  11455  isumnn0nn  11500  divcnv  11504  trireciplem  11507  trirecip  11508  expcnvap0  11509  expcnv  11511  geo2lim  11523  geoisum1  11526  geoisum1c  11527  cvgratnnlemnexp  11531  cvgratnnlemseq  11533  cvgratnnlemrate  11537  cvgratnn  11538  mertenslem2  11543  prodmodclem3  11582  prodmodclem2a  11583  fprodseq  11590  prod0  11592  prod1dc  11593  fprodssdc  11597  fprodmul  11598  ege2le3  11678  nninfdcex  11953  gcdsupex  11957  gcdsupcl  11958  nnmindc  12034  nnminle  12035  lcmval  12062  lcmcllem  12066  lcmledvds  12069  isprm3  12117  phicl2  12213  phibndlem  12215  odzcllem  12241  odzdvds  12244  pcmptcl  12339  pcmpt  12340  pockthlem  12353  pockthg  12354  1arith  12364  ennnfonelemjn  12402  ssnnctlemct  12446  nninfdclemf  12449  nninfdclemp1  12450  mulgval  12985  mulgfng  12986  mulgnnp1  12990  mulgnnsubcl  12994  mulgnn0z  13008  mulgnndir  13010  mulgpropdg  13023  lmtopcnp  13720  lgsval  14375  lgscllem  14378  lgsval2lem  14381  lgsval4a  14393  lgsneg  14395  lgsdir  14406  lgsdilem2  14407  lgsdi  14408  lgsne0  14409  cvgcmp2nlemabs  14750  cvgcmp2n  14751  trilpolemcl  14755  trilpolemisumle  14756  trilpolemgt1  14757  trilpolemeq1  14758  trilpolemlt1  14759  nconstwlpolem0  14780  nconstwlpolemgt0  14781