Theorem nnuz 9967

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9672	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9674	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9932	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   1c1 8180   <_ cle 8361   NNcn 9306   ZZcz 9648   ZZ>=cuz 9930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-z 9649  df-uz 9931

This theorem is used by:  elnnuz  9968  eluz2nn  9975  uznnssnn  9986  eluznn  10009  fzssnn  10484  fseq1p1m1  10511  fz01or  10528  nnsplit  10554  elfzo1  10613  nninfdcex  10682  exp3vallem  10990  exp3val  10991  facnn  11179  fac0  11180  bcm1k  11212  bcval5  11215  bcpasc  11218  seq3coll  11308  recvguniq  11775  resqrexlemf  11787  climuni  12075  climrecvg1n  12130  climcvg1nlem  12131  summodclem3  12163  summodclem2a  12164  fsum3  12170  sum0  12171  isumz  12172  fsumcl2lem  12181  fsumadd  12189  fsummulc2  12231  isumnn0nn  12276  divcnv  12280  trireciplem  12283  trirecip  12284  expcnvap0  12285  expcnv  12287  geo2lim  12299  geoisum1  12302  geoisum1c  12303  cvgratnnlemnexp  12307  cvgratnnlemseq  12309  cvgratnnlemrate  12313  cvgratnn  12314  mertenslem2  12319  prodmodclem3  12358  prodmodclem2a  12359  fprodseq  12366  prod0  12368  prod1dc  12369  fprodssdc  12373  fprodmul  12374  ege2le3  12454  gcdsupex  12750  gcdsupcl  12751  nnmindc  12827  nnminle  12828  lcmval  12857  lcmcllem  12861  lcmledvds  12864  isprm3  12912  phicl2  13012  phibndlem  13014  odzcllem  13041  odzdvds  13044  pcmptcl  13141  pcmpt  13142  pockthlem  13155  pockthg  13156  1arith  13166  4sqlem13m  13202  4sqlem14  13203  4sqlem17  13206  4sqlem18  13207  prmlem1a  13241  ballotfilem2  13277  ballotfilem1ri  13327  ennnfonelemjn  13342  ssnnctlemct  13386  nninfdclemf  13389  nninfdclemp1  13390  mulgval  13974  mulgfng  13976  mulgnnp1  13982  mulgnnsubcl  13986  mulgnn0z  14001  mulgnndir  14003  mulgpropdg  14016  gsump1  14206  lmtopcnp  15400  birthdaylem2  16145  ppiprm  16170  ppinprm  16171  bposlem5  16213  lgsval  16221  lgscllem  16224  lgsval2lem  16227  lgsval4a  16239  lgsneg  16241  lgsdir  16252  lgsdilem2  16253  lgsdi  16254  lgsne0  16255  gausslemma2dlem3  16280  lgseisenlem4  16290  lgsquadlem2  16295  cvgcmp2nlemabs  17179  cvgcmp2n  17180  trilpolemcl  17184  trilpolemisumle  17185  trilpolemgt1  17186  trilpolemeq1  17187  trilpolemlt1  17188  nconstwlpolem0  17211  nconstwlpolemgt0  17212