Theorem nnuz 9893

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9603	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9605	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9858	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2258	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   class class class wbr 4111   ` cfv 5354   1c1 8130   <_ cle 8311   NNcn 9239   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by:  elnnuz  9894  eluz2nn  9901  uznnssnn  9912  eluznn  9935  fzssnn  10405  fseq1p1m1  10432  fz01or  10449  nnsplit  10475  elfzo1  10534  nninfdcex  10601  exp3vallem  10906  exp3val  10907  facnn  11093  fac0  11094  bcm1k  11126  bcval5  11129  bcpasc  11132  seq3coll  11218  recvguniq  11684  resqrexlemf  11696  climuni  11982  climrecvg1n  12037  climcvg1nlem  12038  summodclem3  12070  summodclem2a  12071  fsum3  12077  sum0  12078  isumz  12079  fsumcl2lem  12088  fsumadd  12096  fsummulc2  12138  isumnn0nn  12183  divcnv  12187  trireciplem  12190  trirecip  12191  expcnvap0  12192  expcnv  12194  geo2lim  12206  geoisum1  12209  geoisum1c  12210  cvgratnnlemnexp  12214  cvgratnnlemseq  12216  cvgratnnlemrate  12220  cvgratnn  12221  mertenslem2  12226  prodmodclem3  12265  prodmodclem2a  12266  fprodseq  12273  prod0  12275  prod1dc  12276  fprodssdc  12280  fprodmul  12281  ege2le3  12361  gcdsupex  12657  gcdsupcl  12658  nnmindc  12734  nnminle  12735  lcmval  12764  lcmcllem  12768  lcmledvds  12771  isprm3  12819  phicl2  12915  phibndlem  12917  odzcllem  12944  odzdvds  12947  pcmptcl  13044  pcmpt  13045  pockthlem  13058  pockthg  13059  1arith  13069  4sqlem13m  13105  4sqlem14  13106  4sqlem17  13109  4sqlem18  13110  ballotfilem2  13149  ennnfonelemjn  13170  ssnnctlemct  13214  nninfdclemf  13217  nninfdclemp1  13218  mulgval  13856  mulgfng  13858  mulgnnp1  13864  mulgnnsubcl  13868  mulgnn0z  13883  mulgnndir  13885  mulgpropdg  13898  lmtopcnp  15132  lgsval  15894  lgscllem  15897  lgsval2lem  15900  lgsval4a  15912  lgsneg  15914  lgsdir  15925  lgsdilem2  15926  lgsdi  15927  lgsne0  15928  gausslemma2dlem3  15953  lgseisenlem4  15963  lgsquadlem2  15968  cvgcmp2nlemabs  16833  cvgcmp2n  16834  trilpolemcl  16838  trilpolemisumle  16839  trilpolemgt1  16840  trilpolemeq1  16841  trilpolemlt1  16842  nconstwlpolem0  16866  nconstwlpolemgt0  16867  gfsump1  16885