Theorem nnuz 9361

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9078	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9080	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9328	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2163	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2420   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   1c1 7621   <_ cle 7801   NNcn 8720   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  elnnuz  9362  eluz2nn  9364  uznnssnn  9372  eluznn  9394  fzssnn  9848  fseq1p1m1  9874  fz01or  9891  nnsplit  9914  elfzo1  9967  exp3vallem  10294  exp3val  10295  facnn  10473  fac0  10474  bcm1k  10506  bcval5  10509  bcpasc  10512  seq3coll  10585  recvguniq  10767  resqrexlemf  10779  climuni  11062  climrecvg1n  11117  climcvg1nlem  11118  summodclem3  11149  summodclem2a  11150  fsum3  11156  sum0  11157  isumz  11158  fsumcl2lem  11167  fsumadd  11175  fsummulc2  11217  isumnn0nn  11262  divcnv  11266  trireciplem  11269  trirecip  11270  expcnvap0  11271  expcnv  11273  geo2lim  11285  geoisum1  11288  geoisum1c  11289  cvgratnnlemnexp  11293  cvgratnnlemseq  11295  cvgratnnlemrate  11299  cvgratnn  11300  mertenslem2  11305  prodmodclem3  11344  prodmodclem2a  11345  ege2le3  11377  gcdsupex  11646  gcdsupcl  11647  lcmval  11744  lcmcllem  11748  lcmledvds  11751  isprm3  11799  phicl2  11890  phibndlem  11892  ennnfonelemjn  11915  lmtopcnp  12419  cvgcmp2nlemabs  13227  cvgcmp2n  13228  trilpolemcl  13230  trilpolemisumle  13231  trilpolemgt1  13232  trilpolemeq1  13233  trilpolemlt1  13234