Theorem nnuz 9853

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9564	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9566	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9818	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2255	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   1c1 8093   <_ cle 8274   NNcn 9202   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  elnnuz  9854  eluz2nn  9861  uznnssnn  9872  eluznn  9895  fzssnn  10365  fseq1p1m1  10391  fz01or  10408  nnsplit  10434  elfzo1  10493  nninfdcex  10560  exp3vallem  10865  exp3val  10866  facnn  11052  fac0  11053  bcm1k  11085  bcval5  11088  bcpasc  11091  seq3coll  11169  recvguniq  11635  resqrexlemf  11647  climuni  11933  climrecvg1n  11988  climcvg1nlem  11989  summodclem3  12021  summodclem2a  12022  fsum3  12028  sum0  12029  isumz  12030  fsumcl2lem  12039  fsumadd  12047  fsummulc2  12089  isumnn0nn  12134  divcnv  12138  trireciplem  12141  trirecip  12142  expcnvap0  12143  expcnv  12145  geo2lim  12157  geoisum1  12160  geoisum1c  12161  cvgratnnlemnexp  12165  cvgratnnlemseq  12167  cvgratnnlemrate  12171  cvgratnn  12172  mertenslem2  12177  prodmodclem3  12216  prodmodclem2a  12217  fprodseq  12224  prod0  12226  prod1dc  12227  fprodssdc  12231  fprodmul  12232  ege2le3  12312  gcdsupex  12608  gcdsupcl  12609  nnmindc  12685  nnminle  12686  lcmval  12715  lcmcllem  12719  lcmledvds  12722  isprm3  12770  phicl2  12866  phibndlem  12868  odzcllem  12895  odzdvds  12898  pcmptcl  12995  pcmpt  12996  pockthlem  13009  pockthg  13010  1arith  13020  4sqlem13m  13056  4sqlem14  13057  4sqlem17  13060  4sqlem18  13061  ennnfonelemjn  13103  ssnnctlemct  13147  nninfdclemf  13150  nninfdclemp1  13151  mulgval  13789  mulgfng  13791  mulgnnp1  13797  mulgnnsubcl  13801  mulgnn0z  13816  mulgnndir  13818  mulgpropdg  13831  lmtopcnp  15061  lgsval  15823  lgscllem  15826  lgsval2lem  15829  lgsval4a  15841  lgsneg  15843  lgsdir  15854  lgsdilem2  15855  lgsdi  15856  lgsne0  15857  gausslemma2dlem3  15882  lgseisenlem4  15892  lgsquadlem2  15897  cvgcmp2nlemabs  16764  cvgcmp2n  16765  trilpolemcl  16769  trilpolemisumle  16770  trilpolemgt1  16771  trilpolemeq1  16772  trilpolemlt1  16773  nconstwlpolem0  16796  nconstwlpolemgt0  16797  gfsump1  16815