Theorem nnuz 9719

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9431	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9433	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9685	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2231	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2178   {crab 2490   class class class wbr 4059   ` cfv 5290   1c1 7961   <_ cle 8143   NNcn 9071   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  elnnuz  9720  eluz2nn  9722  uznnssnn  9733  eluznn  9756  fzssnn  10225  fseq1p1m1  10251  fz01or  10268  nnsplit  10294  elfzo1  10351  nninfdcex  10417  exp3vallem  10722  exp3val  10723  facnn  10909  fac0  10910  bcm1k  10942  bcval5  10945  bcpasc  10948  seq3coll  11024  recvguniq  11421  resqrexlemf  11433  climuni  11719  climrecvg1n  11774  climcvg1nlem  11775  summodclem3  11806  summodclem2a  11807  fsum3  11813  sum0  11814  isumz  11815  fsumcl2lem  11824  fsumadd  11832  fsummulc2  11874  isumnn0nn  11919  divcnv  11923  trireciplem  11926  trirecip  11927  expcnvap0  11928  expcnv  11930  geo2lim  11942  geoisum1  11945  geoisum1c  11946  cvgratnnlemnexp  11950  cvgratnnlemseq  11952  cvgratnnlemrate  11956  cvgratnn  11957  mertenslem2  11962  prodmodclem3  12001  prodmodclem2a  12002  fprodseq  12009  prod0  12011  prod1dc  12012  fprodssdc  12016  fprodmul  12017  ege2le3  12097  gcdsupex  12393  gcdsupcl  12394  nnmindc  12470  nnminle  12471  lcmval  12500  lcmcllem  12504  lcmledvds  12507  isprm3  12555  phicl2  12651  phibndlem  12653  odzcllem  12680  odzdvds  12683  pcmptcl  12780  pcmpt  12781  pockthlem  12794  pockthg  12795  1arith  12805  4sqlem13m  12841  4sqlem14  12842  4sqlem17  12845  4sqlem18  12846  ennnfonelemjn  12888  ssnnctlemct  12932  nninfdclemf  12935  nninfdclemp1  12936  mulgval  13573  mulgfng  13575  mulgnnp1  13581  mulgnnsubcl  13585  mulgnn0z  13600  mulgnndir  13602  mulgpropdg  13615  lmtopcnp  14837  lgsval  15596  lgscllem  15599  lgsval2lem  15602  lgsval4a  15614  lgsneg  15616  lgsdir  15627  lgsdilem2  15628  lgsdi  15629  lgsne0  15630  gausslemma2dlem3  15655  lgseisenlem4  15665  lgsquadlem2  15670  cvgcmp2nlemabs  16173  cvgcmp2n  16174  trilpolemcl  16178  trilpolemisumle  16179  trilpolemgt1  16180  trilpolemeq1  16181  trilpolemlt1  16182  nconstwlpolem0  16204  nconstwlpolemgt0  16205