Theorem nnuz 9973

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9677	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9679	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9938	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   1c1 8186   <_ cle 8367   NNcn 9313   ZZcz 9653   ZZ>=cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  elnnuz  9974  eluz2nn  9981  uznnssnn  9992  eluznn  10015  fzssnn  10490  fseq1p1m1  10517  fz01or  10534  nnsplit  10560  elfzo1  10619  nninfdcex  10688  exp3vallem  10997  exp3val  10998  facnn  11186  fac0  11187  bcm1k  11219  bcval5  11222  bcpasc  11225  seq3coll  11315  recvguniq  11782  resqrexlemf  11794  climuni  12083  climrecvg1n  12138  climcvg1nlem  12139  summodclem3  12171  summodclem2a  12172  fsum3  12178  sum0  12179  isumz  12180  fsumcl2lem  12189  fsumadd  12197  fsummulc2  12239  isumnn0nn  12284  divcnv  12288  trireciplem  12291  trirecip  12292  expcnvap0  12293  expcnv  12295  geo2lim  12307  geoisum1  12310  geoisum1c  12311  cvgratnnlemnexp  12315  cvgratnnlemseq  12317  cvgratnnlemrate  12321  cvgratnn  12322  mertenslem2  12327  prodmodclem3  12366  prodmodclem2a  12367  fprodseq  12374  prod0  12376  prod1dc  12377  fprodssdc  12381  fprodmul  12382  ege2le3  12462  gcdsupex  12758  gcdsupcl  12759  nnmindc  12835  nnminle  12836  lcmval  12865  lcmcllem  12869  lcmledvds  12872  isprm3  12920  phicl2  13020  phibndlem  13022  odzcllem  13049  odzdvds  13052  pcmptcl  13149  pcmpt  13150  pockthlem  13163  pockthg  13164  1arith  13174  4sqlem13m  13210  4sqlem14  13211  4sqlem17  13214  4sqlem18  13215  prmlem1a  13249  ballotfilem2  13285  ballotfilem1ri  13335  ennnfonelemjn  13350  ssnnctlemct  13394  nninfdclemf  13397  nninfdclemp1  13398  mulgval  13983  mulgfng  13985  mulgnnp1  13991  mulgnnsubcl  13995  mulgnn0z  14010  mulgnndir  14012  mulgpropdg  14025  gsump1  14246  lmtopcnp  15493  birthdaylem2  16243  ppiprm  16276  ppinprm  16277  chtprm  16278  chtnprm  16279  bposlem5  16332  lgsval  16345  lgscllem  16348  lgsval2lem  16351  lgsval4a  16363  lgsneg  16365  lgsdir  16376  lgsdilem2  16377  lgsdi  16378  lgsne0  16379  gausslemma2dlem3  16404  lgseisenlem4  16414  lgsquadlem2  16419  cvgcmp2nlemabs  17304  cvgcmp2n  17305  trilpolemcl  17310  trilpolemisumle  17311  trilpolemgt1  17312  trilpolemeq1  17313  trilpolemlt1  17314  nconstwlpolem0  17337  nconstwlpolemgt0  17338