Theorem nnuz 9453

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9170	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9172	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9420	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2178	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 2125   {crab 2436   class class class wbr 3961   ` cfv 5163   1c1 7712   <_ cle 7892   NNcn 8812   ZZcz 9146   ZZ>=cuz 9418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-z 9147  df-uz 9419

This theorem is referenced by:  elnnuz  9454  eluz2nn  9456  uznnssnn  9467  eluznn  9489  fzssnn  9948  fseq1p1m1  9974  fz01or  9991  nnsplit  10014  elfzo1  10067  exp3vallem  10398  exp3val  10399  facnn  10578  fac0  10579  bcm1k  10611  bcval5  10614  bcpasc  10617  seq3coll  10690  recvguniq  10872  resqrexlemf  10884  climuni  11167  climrecvg1n  11222  climcvg1nlem  11223  summodclem3  11254  summodclem2a  11255  fsum3  11261  sum0  11262  isumz  11263  fsumcl2lem  11272  fsumadd  11280  fsummulc2  11322  isumnn0nn  11367  divcnv  11371  trireciplem  11374  trirecip  11375  expcnvap0  11376  expcnv  11378  geo2lim  11390  geoisum1  11393  geoisum1c  11394  cvgratnnlemnexp  11398  cvgratnnlemseq  11400  cvgratnnlemrate  11404  cvgratnn  11405  mertenslem2  11410  prodmodclem3  11449  prodmodclem2a  11450  fprodseq  11457  prod0  11459  prod1dc  11460  fprodssdc  11464  fprodmul  11465  ege2le3  11545  gcdsupex  11813  gcdsupcl  11814  lcmval  11912  lcmcllem  11916  lcmledvds  11919  isprm3  11967  phicl2  12058  phibndlem  12060  ennnfonelemjn  12090  lmtopcnp  12597  cvgcmp2nlemabs  13552  cvgcmp2n  13553  trilpolemcl  13557  trilpolemisumle  13558  trilpolemgt1  13559  trilpolemeq1  13560  trilpolemlt1  13561  nconstwlpolem0  13582  nconstwlpolemgt0  13583