Theorem nnuz 9563

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9277	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9279	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9530	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2201	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   class class class wbr 4004   ` cfv 5217   1c1 7812   <_ cle 7993   NNcn 8919   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-z 9254  df-uz 9529

This theorem is referenced by:  elnnuz  9564  eluz2nn  9566  uznnssnn  9577  eluznn  9600  fzssnn  10068  fseq1p1m1  10094  fz01or  10111  nnsplit  10137  elfzo1  10190  exp3vallem  10521  exp3val  10522  facnn  10707  fac0  10708  bcm1k  10740  bcval5  10743  bcpasc  10746  seq3coll  10822  recvguniq  11004  resqrexlemf  11016  climuni  11301  climrecvg1n  11356  climcvg1nlem  11357  summodclem3  11388  summodclem2a  11389  fsum3  11395  sum0  11396  isumz  11397  fsumcl2lem  11406  fsumadd  11414  fsummulc2  11456  isumnn0nn  11501  divcnv  11505  trireciplem  11508  trirecip  11509  expcnvap0  11510  expcnv  11512  geo2lim  11524  geoisum1  11527  geoisum1c  11528  cvgratnnlemnexp  11532  cvgratnnlemseq  11534  cvgratnnlemrate  11538  cvgratnn  11539  mertenslem2  11544  prodmodclem3  11583  prodmodclem2a  11584  fprodseq  11591  prod0  11593  prod1dc  11594  fprodssdc  11598  fprodmul  11599  ege2le3  11679  nninfdcex  11954  gcdsupex  11958  gcdsupcl  11959  nnmindc  12035  nnminle  12036  lcmval  12063  lcmcllem  12067  lcmledvds  12070  isprm3  12118  phicl2  12214  phibndlem  12216  odzcllem  12242  odzdvds  12245  pcmptcl  12340  pcmpt  12341  pockthlem  12354  pockthg  12355  1arith  12365  ennnfonelemjn  12403  ssnnctlemct  12447  nninfdclemf  12450  nninfdclemp1  12451  mulgval  12986  mulgfng  12987  mulgnnp1  12991  mulgnnsubcl  12995  mulgnn0z  13010  mulgnndir  13012  mulgpropdg  13025  lmtopcnp  13753  lgsval  14408  lgscllem  14411  lgsval2lem  14414  lgsval4a  14426  lgsneg  14428  lgsdir  14439  lgsdilem2  14440  lgsdi  14441  lgsne0  14442  cvgcmp2nlemabs  14783  cvgcmp2n  14784  trilpolemcl  14788  trilpolemisumle  14789  trilpolemgt1  14790  trilpolemeq1  14791  trilpolemlt1  14792  nconstwlpolem0  14813  nconstwlpolemgt0  14814