Theorem nnuz 9639

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9352	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9354	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9605	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2220	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4034   ` cfv 5259   1c1 7882   <_ cle 8064   NNcn 8992   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-z 9329  df-uz 9604

This theorem is referenced by:  elnnuz  9640  eluz2nn  9642  uznnssnn  9653  eluznn  9676  fzssnn  10145  fseq1p1m1  10171  fz01or  10188  nnsplit  10214  elfzo1  10268  nninfdcex  10329  exp3vallem  10634  exp3val  10635  facnn  10821  fac0  10822  bcm1k  10854  bcval5  10857  bcpasc  10860  seq3coll  10936  recvguniq  11162  resqrexlemf  11174  climuni  11460  climrecvg1n  11515  climcvg1nlem  11516  summodclem3  11547  summodclem2a  11548  fsum3  11554  sum0  11555  isumz  11556  fsumcl2lem  11565  fsumadd  11573  fsummulc2  11615  isumnn0nn  11660  divcnv  11664  trireciplem  11667  trirecip  11668  expcnvap0  11669  expcnv  11671  geo2lim  11683  geoisum1  11686  geoisum1c  11687  cvgratnnlemnexp  11691  cvgratnnlemseq  11693  cvgratnnlemrate  11697  cvgratnn  11698  mertenslem2  11703  prodmodclem3  11742  prodmodclem2a  11743  fprodseq  11750  prod0  11752  prod1dc  11753  fprodssdc  11757  fprodmul  11758  ege2le3  11838  gcdsupex  12134  gcdsupcl  12135  nnmindc  12211  nnminle  12212  lcmval  12241  lcmcllem  12245  lcmledvds  12248  isprm3  12296  phicl2  12392  phibndlem  12394  odzcllem  12421  odzdvds  12424  pcmptcl  12521  pcmpt  12522  pockthlem  12535  pockthg  12536  1arith  12546  4sqlem13m  12582  4sqlem14  12583  4sqlem17  12586  4sqlem18  12587  ennnfonelemjn  12629  ssnnctlemct  12673  nninfdclemf  12676  nninfdclemp1  12677  mulgval  13262  mulgfng  13264  mulgnnp1  13270  mulgnnsubcl  13274  mulgnn0z  13289  mulgnndir  13291  mulgpropdg  13304  lmtopcnp  14496  lgsval  15255  lgscllem  15258  lgsval2lem  15261  lgsval4a  15273  lgsneg  15275  lgsdir  15286  lgsdilem2  15287  lgsdi  15288  lgsne0  15289  gausslemma2dlem3  15314  lgseisenlem4  15324  lgsquadlem2  15329  cvgcmp2nlemabs  15686  cvgcmp2n  15687  trilpolemcl  15691  trilpolemisumle  15692  trilpolemgt1  15693  trilpolemeq1  15694  trilpolemlt1  15695  nconstwlpolem0  15717  nconstwlpolemgt0  15718