Theorem nnuz 9958

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9668	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9670	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9923	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   1c1 8180   <_ cle 8361   NNcn 9304   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  elnnuz  9959  eluz2nn  9966  uznnssnn  9977  eluznn  10000  fzssnn  10474  fseq1p1m1  10501  fz01or  10518  nnsplit  10544  elfzo1  10603  nninfdcex  10672  exp3vallem  10977  exp3val  10978  facnn  11165  fac0  11166  bcm1k  11198  bcval5  11201  bcpasc  11204  seq3coll  11294  recvguniq  11761  resqrexlemf  11773  climuni  12059  climrecvg1n  12114  climcvg1nlem  12115  summodclem3  12147  summodclem2a  12148  fsum3  12154  sum0  12155  isumz  12156  fsumcl2lem  12165  fsumadd  12173  fsummulc2  12215  isumnn0nn  12260  divcnv  12264  trireciplem  12267  trirecip  12268  expcnvap0  12269  expcnv  12271  geo2lim  12283  geoisum1  12286  geoisum1c  12287  cvgratnnlemnexp  12291  cvgratnnlemseq  12293  cvgratnnlemrate  12297  cvgratnn  12298  mertenslem2  12303  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  fprodseq  12350  prod0  12352  prod1dc  12353  fprodssdc  12357  fprodmul  12358  ege2le3  12438  gcdsupex  12734  gcdsupcl  12735  nnmindc  12811  nnminle  12812  lcmval  12841  lcmcllem  12845  lcmledvds  12848  isprm3  12896  phicl2  12992  phibndlem  12994  odzcllem  13021  odzdvds  13024  pcmptcl  13121  pcmpt  13122  pockthlem  13135  pockthg  13136  1arith  13146  4sqlem13m  13182  4sqlem14  13183  4sqlem17  13186  4sqlem18  13187  ballotfilem2  13228  ballotfilem1ri  13278  ennnfonelemjn  13293  ssnnctlemct  13337  nninfdclemf  13340  nninfdclemp1  13341  mulgval  13925  mulgfng  13927  mulgnnp1  13933  mulgnnsubcl  13937  mulgnn0z  13952  mulgnndir  13954  mulgpropdg  13967  gsump1  14157  lmtopcnp  15351  birthdaylem2  16088  lgsval  16123  lgscllem  16126  lgsval2lem  16129  lgsval4a  16141  lgsneg  16143  lgsdir  16154  lgsdilem2  16155  lgsdi  16156  lgsne0  16157  gausslemma2dlem3  16182  lgseisenlem4  16192  lgsquadlem2  16197  cvgcmp2nlemabs  17081  cvgcmp2n  17082  trilpolemcl  17086  trilpolemisumle  17087  trilpolemgt1  17088  trilpolemeq1  17089  trilpolemlt1  17090  nconstwlpolem0  17113  nconstwlpolemgt0  17114