Theorem nnuz 9654

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9367	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9369	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9620	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2220	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4034   ` cfv 5259   1c1 7897   <_ cle 8079   NNcn 9007   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  elnnuz  9655  eluz2nn  9657  uznnssnn  9668  eluznn  9691  fzssnn  10160  fseq1p1m1  10186  fz01or  10203  nnsplit  10229  elfzo1  10283  nninfdcex  10344  exp3vallem  10649  exp3val  10650  facnn  10836  fac0  10837  bcm1k  10869  bcval5  10872  bcpasc  10875  seq3coll  10951  recvguniq  11177  resqrexlemf  11189  climuni  11475  climrecvg1n  11530  climcvg1nlem  11531  summodclem3  11562  summodclem2a  11563  fsum3  11569  sum0  11570  isumz  11571  fsumcl2lem  11580  fsumadd  11588  fsummulc2  11630  isumnn0nn  11675  divcnv  11679  trireciplem  11682  trirecip  11683  expcnvap0  11684  expcnv  11686  geo2lim  11698  geoisum1  11701  geoisum1c  11702  cvgratnnlemnexp  11706  cvgratnnlemseq  11708  cvgratnnlemrate  11712  cvgratnn  11713  mertenslem2  11718  prodmodclem3  11757  prodmodclem2a  11758  fprodseq  11765  prod0  11767  prod1dc  11768  fprodssdc  11772  fprodmul  11773  ege2le3  11853  gcdsupex  12149  gcdsupcl  12150  nnmindc  12226  nnminle  12227  lcmval  12256  lcmcllem  12260  lcmledvds  12263  isprm3  12311  phicl2  12407  phibndlem  12409  odzcllem  12436  odzdvds  12439  pcmptcl  12536  pcmpt  12537  pockthlem  12550  pockthg  12551  1arith  12561  4sqlem13m  12597  4sqlem14  12598  4sqlem17  12601  4sqlem18  12602  ennnfonelemjn  12644  ssnnctlemct  12688  nninfdclemf  12691  nninfdclemp1  12692  mulgval  13328  mulgfng  13330  mulgnnp1  13336  mulgnnsubcl  13340  mulgnn0z  13355  mulgnndir  13357  mulgpropdg  13370  lmtopcnp  14570  lgsval  15329  lgscllem  15332  lgsval2lem  15335  lgsval4a  15347  lgsneg  15349  lgsdir  15360  lgsdilem2  15361  lgsdi  15362  lgsne0  15363  gausslemma2dlem3  15388  lgseisenlem4  15398  lgsquadlem2  15403  cvgcmp2nlemabs  15763  cvgcmp2n  15764  trilpolemcl  15768  trilpolemisumle  15769  trilpolemgt1  15770  trilpolemeq1  15771  trilpolemlt1  15772  nconstwlpolem0  15794  nconstwlpolemgt0  15795