Theorem nnuz 9576

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9290	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9292	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9543	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2211	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1363   e. wcel 2158   {crab 2469   class class class wbr 4015   ` cfv 5228   1c1 7825   <_ cle 8006   NNcn 8932   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-z 9267  df-uz 9542

This theorem is referenced by:  elnnuz  9577  eluz2nn  9579  uznnssnn  9590  eluznn  9613  fzssnn  10081  fseq1p1m1  10107  fz01or  10124  nnsplit  10150  elfzo1  10203  exp3vallem  10534  exp3val  10535  facnn  10720  fac0  10721  bcm1k  10753  bcval5  10756  bcpasc  10759  seq3coll  10835  recvguniq  11017  resqrexlemf  11029  climuni  11314  climrecvg1n  11369  climcvg1nlem  11370  summodclem3  11401  summodclem2a  11402  fsum3  11408  sum0  11409  isumz  11410  fsumcl2lem  11419  fsumadd  11427  fsummulc2  11469  isumnn0nn  11514  divcnv  11518  trireciplem  11521  trirecip  11522  expcnvap0  11523  expcnv  11525  geo2lim  11537  geoisum1  11540  geoisum1c  11541  cvgratnnlemnexp  11545  cvgratnnlemseq  11547  cvgratnnlemrate  11551  cvgratnn  11552  mertenslem2  11557  prodmodclem3  11596  prodmodclem2a  11597  fprodseq  11604  prod0  11606  prod1dc  11607  fprodssdc  11611  fprodmul  11612  ege2le3  11692  nninfdcex  11967  gcdsupex  11971  gcdsupcl  11972  nnmindc  12048  nnminle  12049  lcmval  12076  lcmcllem  12080  lcmledvds  12083  isprm3  12131  phicl2  12227  phibndlem  12229  odzcllem  12255  odzdvds  12258  pcmptcl  12353  pcmpt  12354  pockthlem  12367  pockthg  12368  1arith  12378  ennnfonelemjn  12416  ssnnctlemct  12460  nninfdclemf  12463  nninfdclemp1  12464  mulgval  13016  mulgfng  13018  mulgnnp1  13022  mulgnnsubcl  13026  mulgnn0z  13041  mulgnndir  13043  mulgpropdg  13056  lmtopcnp  14021  lgsval  14676  lgscllem  14679  lgsval2lem  14682  lgsval4a  14694  lgsneg  14696  lgsdir  14707  lgsdilem2  14708  lgsdi  14709  lgsne0  14710  cvgcmp2nlemabs  15052  cvgcmp2n  15053  trilpolemcl  15057  trilpolemisumle  15058  trilpolemgt1  15059  trilpolemeq1  15060  trilpolemlt1  15061  nconstwlpolem0  15083  nconstwlpolemgt0  15084