Theorem nnuz 9211

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 8930	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 8932	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9178	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2123	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1299   e. wcel 1448   {crab 2379   class class class wbr 3875   ` cfv 5059   1c1 7501   <_ cle 7673   NNcn 8578   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-z 8907  df-uz 9177

This theorem is referenced by:  elnnuz  9212  eluz2nn  9214  uznnssnn  9222  eluznn  9244  fzssnn  9689  fseq1p1m1  9715  fz01or  9732  nnsplit  9755  elfzo1  9808  exp3vallem  10135  exp3val  10136  facnn  10314  fac0  10315  bcm1k  10347  bcval5  10350  bcpasc  10353  seq3coll  10426  recvguniq  10607  resqrexlemf  10619  climuni  10901  climrecvg1n  10956  climcvg1nlem  10957  summodclem3  10988  summodclem2a  10989  fsum3  10995  sum0  10996  isumz  10997  fsumcl2lem  11006  fsumadd  11014  fsummulc2  11056  isumnn0nn  11101  divcnv  11105  trireciplem  11108  trirecip  11109  expcnvap0  11110  expcnv  11112  geo2lim  11124  geoisum1  11127  geoisum1c  11128  cvgratnnlemnexp  11132  cvgratnnlemseq  11134  cvgratnnlemrate  11138  cvgratnn  11139  mertenslem2  11144  ege2le3  11175  gcdsupex  11441  gcdsupcl  11442  lcmval  11537  lcmcllem  11541  lcmledvds  11544  isprm3  11592  phicl2  11682  phibndlem  11684  ennnfonelemjn  11707  lmtopcnp  12200  cvgcmp2nlemabs  12811  cvgcmp2n  12812  trilpolemcl  12814  trilpolemisumle  12815  trilpolemgt1  12816  trilpolemeq1  12817  trilpolemlt1  12818