Theorem nnuz 9758

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9470	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9472	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9724	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2253	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   1c1 8000   <_ cle 8182   NNcn 9110   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  elnnuz  9759  eluz2nn  9761  uznnssnn  9772  eluznn  9795  fzssnn  10264  fseq1p1m1  10290  fz01or  10307  nnsplit  10333  elfzo1  10391  nninfdcex  10457  exp3vallem  10762  exp3val  10763  facnn  10949  fac0  10950  bcm1k  10982  bcval5  10985  bcpasc  10988  seq3coll  11064  recvguniq  11506  resqrexlemf  11518  climuni  11804  climrecvg1n  11859  climcvg1nlem  11860  summodclem3  11891  summodclem2a  11892  fsum3  11898  sum0  11899  isumz  11900  fsumcl2lem  11909  fsumadd  11917  fsummulc2  11959  isumnn0nn  12004  divcnv  12008  trireciplem  12011  trirecip  12012  expcnvap0  12013  expcnv  12015  geo2lim  12027  geoisum1  12030  geoisum1c  12031  cvgratnnlemnexp  12035  cvgratnnlemseq  12037  cvgratnnlemrate  12041  cvgratnn  12042  mertenslem2  12047  prodmodclem3  12086  prodmodclem2a  12087  fprodseq  12094  prod0  12096  prod1dc  12097  fprodssdc  12101  fprodmul  12102  ege2le3  12182  gcdsupex  12478  gcdsupcl  12479  nnmindc  12555  nnminle  12556  lcmval  12585  lcmcllem  12589  lcmledvds  12592  isprm3  12640  phicl2  12736  phibndlem  12738  odzcllem  12765  odzdvds  12768  pcmptcl  12865  pcmpt  12866  pockthlem  12879  pockthg  12880  1arith  12890  4sqlem13m  12926  4sqlem14  12927  4sqlem17  12930  4sqlem18  12931  ennnfonelemjn  12973  ssnnctlemct  13017  nninfdclemf  13020  nninfdclemp1  13021  mulgval  13659  mulgfng  13661  mulgnnp1  13667  mulgnnsubcl  13671  mulgnn0z  13686  mulgnndir  13688  mulgpropdg  13701  lmtopcnp  14924  lgsval  15683  lgscllem  15686  lgsval2lem  15689  lgsval4a  15701  lgsneg  15703  lgsdir  15714  lgsdilem2  15715  lgsdi  15716  lgsne0  15717  gausslemma2dlem3  15742  lgseisenlem4  15752  lgsquadlem2  15757  cvgcmp2nlemabs  16400  cvgcmp2n  16401  trilpolemcl  16405  trilpolemisumle  16406  trilpolemgt1  16407  trilpolemeq1  16408  trilpolemlt1  16409  nconstwlpolem0  16431  nconstwlpolemgt0  16432