Theorem nnuz 9684

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9396	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9398	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9650	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2229	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   class class class wbr 4044   ` cfv 5271   1c1 7926   <_ cle 8108   NNcn 9036   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  elnnuz  9685  eluz2nn  9687  uznnssnn  9698  eluznn  9721  fzssnn  10190  fseq1p1m1  10216  fz01or  10233  nnsplit  10259  elfzo1  10314  nninfdcex  10380  exp3vallem  10685  exp3val  10686  facnn  10872  fac0  10873  bcm1k  10905  bcval5  10908  bcpasc  10911  seq3coll  10987  recvguniq  11306  resqrexlemf  11318  climuni  11604  climrecvg1n  11659  climcvg1nlem  11660  summodclem3  11691  summodclem2a  11692  fsum3  11698  sum0  11699  isumz  11700  fsumcl2lem  11709  fsumadd  11717  fsummulc2  11759  isumnn0nn  11804  divcnv  11808  trireciplem  11811  trirecip  11812  expcnvap0  11813  expcnv  11815  geo2lim  11827  geoisum1  11830  geoisum1c  11831  cvgratnnlemnexp  11835  cvgratnnlemseq  11837  cvgratnnlemrate  11841  cvgratnn  11842  mertenslem2  11847  prodmodclem3  11886  prodmodclem2a  11887  fprodseq  11894  prod0  11896  prod1dc  11897  fprodssdc  11901  fprodmul  11902  ege2le3  11982  gcdsupex  12278  gcdsupcl  12279  nnmindc  12355  nnminle  12356  lcmval  12385  lcmcllem  12389  lcmledvds  12392  isprm3  12440  phicl2  12536  phibndlem  12538  odzcllem  12565  odzdvds  12568  pcmptcl  12665  pcmpt  12666  pockthlem  12679  pockthg  12680  1arith  12690  4sqlem13m  12726  4sqlem14  12727  4sqlem17  12730  4sqlem18  12731  ennnfonelemjn  12773  ssnnctlemct  12817  nninfdclemf  12820  nninfdclemp1  12821  mulgval  13458  mulgfng  13460  mulgnnp1  13466  mulgnnsubcl  13470  mulgnn0z  13485  mulgnndir  13487  mulgpropdg  13500  lmtopcnp  14722  lgsval  15481  lgscllem  15484  lgsval2lem  15487  lgsval4a  15499  lgsneg  15501  lgsdir  15512  lgsdilem2  15513  lgsdi  15514  lgsne0  15515  gausslemma2dlem3  15540  lgseisenlem4  15550  lgsquadlem2  15555  cvgcmp2nlemabs  15971  cvgcmp2n  15972  trilpolemcl  15976  trilpolemisumle  15977  trilpolemgt1  15978  trilpolemeq1  15979  trilpolemlt1  15980  nconstwlpolem0  16002  nconstwlpolemgt0  16003