Theorem nnuz 9686

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9398	. 2 |- NN = { k e. ZZ | 1 <_ k }
2		1z 9400	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		uzval 9652	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 1 ) = { k e. ZZ | 1 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2229	1 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   class class class wbr 4045   ` cfv 5272   1c1 7928   <_ cle 8110   NNcn 9038   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  elnnuz  9687  eluz2nn  9689  uznnssnn  9700  eluznn  9723  fzssnn  10192  fseq1p1m1  10218  fz01or  10235  nnsplit  10261  elfzo1  10316  nninfdcex  10382  exp3vallem  10687  exp3val  10688  facnn  10874  fac0  10875  bcm1k  10907  bcval5  10910  bcpasc  10913  seq3coll  10989  recvguniq  11339  resqrexlemf  11351  climuni  11637  climrecvg1n  11692  climcvg1nlem  11693  summodclem3  11724  summodclem2a  11725  fsum3  11731  sum0  11732  isumz  11733  fsumcl2lem  11742  fsumadd  11750  fsummulc2  11792  isumnn0nn  11837  divcnv  11841  trireciplem  11844  trirecip  11845  expcnvap0  11846  expcnv  11848  geo2lim  11860  geoisum1  11863  geoisum1c  11864  cvgratnnlemnexp  11868  cvgratnnlemseq  11870  cvgratnnlemrate  11874  cvgratnn  11875  mertenslem2  11880  prodmodclem3  11919  prodmodclem2a  11920  fprodseq  11927  prod0  11929  prod1dc  11930  fprodssdc  11934  fprodmul  11935  ege2le3  12015  gcdsupex  12311  gcdsupcl  12312  nnmindc  12388  nnminle  12389  lcmval  12418  lcmcllem  12422  lcmledvds  12425  isprm3  12473  phicl2  12569  phibndlem  12571  odzcllem  12598  odzdvds  12601  pcmptcl  12698  pcmpt  12699  pockthlem  12712  pockthg  12713  1arith  12723  4sqlem13m  12759  4sqlem14  12760  4sqlem17  12763  4sqlem18  12764  ennnfonelemjn  12806  ssnnctlemct  12850  nninfdclemf  12853  nninfdclemp1  12854  mulgval  13491  mulgfng  13493  mulgnnp1  13499  mulgnnsubcl  13503  mulgnn0z  13518  mulgnndir  13520  mulgpropdg  13533  lmtopcnp  14755  lgsval  15514  lgscllem  15517  lgsval2lem  15520  lgsval4a  15532  lgsneg  15534  lgsdir  15545  lgsdilem2  15546  lgsdi  15547  lgsne0  15548  gausslemma2dlem3  15573  lgseisenlem4  15583  lgsquadlem2  15588  cvgcmp2nlemabs  16008  cvgcmp2n  16009  trilpolemcl  16013  trilpolemisumle  16014  trilpolemgt1  16015  trilpolemeq1  16016  trilpolemlt1  16017  nconstwlpolem0  16039  nconstwlpolemgt0  16040