Theorem nn0uz 9718

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9432	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9418	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9685	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2231	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2178   {crab 2490   class class class wbr 4059   ` cfv 5290   0cc0 7960   <_ cle 8143   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9721  2eluzge0  9731  eluznn0  9755  fseq1p1m1  10251  fz01or  10268  fznn0sub2  10285  nn0split  10293  fzossnn0  10334  frecfzennn  10608  frechashgf1o  10610  xnn0nnen  10619  exple1  10777  bcval5  10945  bcpasc  10948  hashcl  10963  hashfzo0  11005  zfz1isolemsplit  11020  ccatval2  11092  ccatass  11102  ccatrn  11103  swrdccat2  11162  wrdeqs1cat  11211  cats1un  11212  binom1dif  11913  isumnn0nn  11919  arisum2  11925  expcnvre  11929  explecnv  11931  geoserap  11933  geolim  11937  geolim2  11938  geoisum  11943  geoisumr  11944  mertenslemub  11960  mertenslemi1  11961  mertenslem2  11962  mertensabs  11963  efcllemp  12084  ef0lem  12086  efval  12087  eff  12089  efcvg  12092  efcvgfsum  12093  reefcl  12094  ege2le3  12097  efcj  12099  eftlcvg  12113  eftlub  12116  effsumlt  12118  ef4p  12120  efgt1p2  12121  efgt1p  12122  eflegeo  12127  eirraplem  12203  bitsfzolem  12380  bitsfzo  12381  bitsfi  12383  bitsinv1lem  12387  bitsinv1  12388  nninfctlemfo  12476  alginv  12484  algcvg  12485  algcvga  12488  algfx  12489  eucalgcvga  12495  eucalg  12496  phiprmpw  12659  prmdiv  12672  pcfac  12788  ennnfonelemh  12890  ennnfonelemp1  12892  ennnfonelemom  12894  ennnfonelemkh  12898  ennnfonelemrn  12905  gsumwsubmcl  13443  gsumwmhm  13445  dveflem  15313  ply1termlem  15329  plyaddlem1  15334  plymullem1  15335  plycoeid3  15344  plycolemc  15345  dvply1  15352  0sgmppw  15580  1sgmprm  15581  lgseisenlem1  15662  lgsquadlem2  15670