Theorem nn0uz 9757

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9471	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9457	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9724	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2253	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   0cc0 7999   <_ cle 8182   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9760  2eluzge0  9770  eluznn0  9794  fseq1p1m1  10290  fz01or  10307  fznn0sub2  10324  nn0split  10332  fzossnn0  10373  frecfzennn  10648  frechashgf1o  10650  xnn0nnen  10659  exple1  10817  bcval5  10985  bcpasc  10988  hashcl  11003  hashfzo0  11045  zfz1isolemsplit  11060  ccatval2  11133  ccatass  11143  ccatrn  11144  swrdccat2  11203  wrdeqs1cat  11252  cats1un  11253  cats1fvd  11298  binom1dif  11998  isumnn0nn  12004  arisum2  12010  expcnvre  12014  explecnv  12016  geoserap  12018  geolim  12022  geolim2  12023  geoisum  12028  geoisumr  12029  mertenslemub  12045  mertenslemi1  12046  mertenslem2  12047  mertensabs  12048  efcllemp  12169  ef0lem  12171  efval  12172  eff  12174  efcvg  12177  efcvgfsum  12178  reefcl  12179  ege2le3  12182  efcj  12184  eftlcvg  12198  eftlub  12201  effsumlt  12203  ef4p  12205  efgt1p2  12206  efgt1p  12207  eflegeo  12212  eirraplem  12288  bitsfzolem  12465  bitsfzo  12466  bitsfi  12468  bitsinv1lem  12472  bitsinv1  12473  nninfctlemfo  12561  alginv  12569  algcvg  12570  algcvga  12573  algfx  12574  eucalgcvga  12580  eucalg  12581  phiprmpw  12744  prmdiv  12757  pcfac  12873  ennnfonelemh  12975  ennnfonelemp1  12977  ennnfonelemom  12979  ennnfonelemkh  12983  ennnfonelemrn  12990  gsumwsubmcl  13529  gsumwmhm  13531  dveflem  15400  ply1termlem  15416  plyaddlem1  15421  plymullem1  15422  plycoeid3  15431  plycolemc  15432  dvply1  15439  0sgmppw  15667  1sgmprm  15668  lgseisenlem1  15749  lgsquadlem2  15757