Theorem nn0uz 9636

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9351	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9337	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9603	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2220	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4033   ` cfv 5258   0cc0 7879   <_ cle 8062   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9639  2eluzge0  9649  eluznn0  9673  fseq1p1m1  10169  fz01or  10186  fznn0sub2  10203  nn0split  10211  fzossnn0  10251  frecfzennn  10518  frechashgf1o  10520  xnn0nnen  10529  exple1  10687  bcval5  10855  bcpasc  10858  hashcl  10873  hashfzo0  10915  zfz1isolemsplit  10930  binom1dif  11652  isumnn0nn  11658  arisum2  11664  expcnvre  11668  explecnv  11670  geoserap  11672  geolim  11676  geolim2  11677  geoisum  11682  geoisumr  11683  mertenslemub  11699  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  mertensabs  11702  efcllemp  11823  ef0lem  11825  efval  11826  eff  11828  efcvg  11831  efcvgfsum  11832  reefcl  11833  ege2le3  11836  efcj  11838  eftlcvg  11852  eftlub  11855  effsumlt  11857  ef4p  11859  efgt1p2  11860  efgt1p  11861  eflegeo  11866  eirraplem  11942  bitsfzolem  12118  bitsfzo  12119  nninfctlemfo  12207  alginv  12215  algcvg  12216  algcvga  12219  algfx  12220  eucalgcvga  12226  eucalg  12227  phiprmpw  12390  prmdiv  12403  pcfac  12519  ennnfonelemh  12621  ennnfonelemp1  12623  ennnfonelemom  12625  ennnfonelemkh  12629  ennnfonelemrn  12636  gsumwsubmcl  13128  gsumwmhm  13130  dveflem  14962  ply1termlem  14978  plyaddlem1  14983  plymullem1  14984  plycoeid3  14993  plycolemc  14994  dvply1  15001  0sgmppw  15229  1sgmprm  15230  lgseisenlem1  15311  lgsquadlem2  15319