Theorem nn0uz 9683

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9397	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9383	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9650	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2229	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   class class class wbr 4044   ` cfv 5271   0cc0 7925   <_ cle 8108   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9686  2eluzge0  9696  eluznn0  9720  fseq1p1m1  10216  fz01or  10233  fznn0sub2  10250  nn0split  10258  fzossnn0  10299  frecfzennn  10571  frechashgf1o  10573  xnn0nnen  10582  exple1  10740  bcval5  10908  bcpasc  10911  hashcl  10926  hashfzo0  10968  zfz1isolemsplit  10983  ccatval2  11054  ccatass  11064  ccatrn  11065  swrdccat2  11124  binom1dif  11798  isumnn0nn  11804  arisum2  11810  expcnvre  11814  explecnv  11816  geoserap  11818  geolim  11822  geolim2  11823  geoisum  11828  geoisumr  11829  mertenslemub  11845  mertenslemi1  11846  mertenslem2  11847  mertensabs  11848  efcllemp  11969  ef0lem  11971  efval  11972  eff  11974  efcvg  11977  efcvgfsum  11978  reefcl  11979  ege2le3  11982  efcj  11984  eftlcvg  11998  eftlub  12001  effsumlt  12003  ef4p  12005  efgt1p2  12006  efgt1p  12007  eflegeo  12012  eirraplem  12088  bitsfzolem  12265  bitsfzo  12266  bitsfi  12268  bitsinv1lem  12272  bitsinv1  12273  nninfctlemfo  12361  alginv  12369  algcvg  12370  algcvga  12373  algfx  12374  eucalgcvga  12380  eucalg  12381  phiprmpw  12544  prmdiv  12557  pcfac  12673  ennnfonelemh  12775  ennnfonelemp1  12777  ennnfonelemom  12779  ennnfonelemkh  12783  ennnfonelemrn  12790  gsumwsubmcl  13328  gsumwmhm  13330  dveflem  15198  ply1termlem  15214  plyaddlem1  15219  plymullem1  15220  plycoeid3  15229  plycolemc  15230  dvply1  15237  0sgmppw  15465  1sgmprm  15466  lgseisenlem1  15547  lgsquadlem2  15555