Theorem nn0uz 9360

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9079	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9065	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9328	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2163	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2420   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   0cc0 7620   <_ cle 7801   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9363  2eluzge0  9370  eluznn0  9393  fseq1p1m1  9874  fz01or  9891  fznn0sub2  9905  nn0split  9913  fzossnn0  9952  frecfzennn  10199  frechashgf1o  10201  exple1  10349  bcval5  10509  bcpasc  10512  hashcl  10527  hashfzo0  10569  zfz1isolemsplit  10581  binom1dif  11256  isumnn0nn  11262  arisum2  11268  expcnvre  11272  explecnv  11274  geoserap  11276  geolim  11280  geolim2  11281  geoisum  11286  geoisumr  11287  mertenslemub  11303  mertenslemi1  11304  mertenslem2  11305  mertensabs  11306  efcllemp  11364  ef0lem  11366  efval  11367  eff  11369  efcvg  11372  efcvgfsum  11373  reefcl  11374  ege2le3  11377  efcj  11379  eftlcvg  11393  eftlub  11396  effsumlt  11398  ef4p  11400  efgt1p2  11401  efgt1p  11402  eflegeo  11408  eirraplem  11483  alginv  11728  algcvg  11729  algcvga  11732  algfx  11733  eucalgcvga  11739  eucalg  11740  phiprmpw  11898  ennnfonelemh  11917  ennnfonelemp1  11919  ennnfonelemom  11921  ennnfonelemkh  11925  ennnfonelemrn  11932  dveflem  12855