Theorem nn0uz 9562

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9278	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9264	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9530	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2201	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   class class class wbr 4004   ` cfv 5217   0cc0 7811   <_ cle 7993   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9565  2eluzge0  9575  eluznn0  9599  fseq1p1m1  10094  fz01or  10111  fznn0sub2  10128  nn0split  10136  fzossnn0  10175  frecfzennn  10426  frechashgf1o  10428  exple1  10576  bcval5  10743  bcpasc  10746  hashcl  10761  hashfzo0  10803  zfz1isolemsplit  10818  binom1dif  11495  isumnn0nn  11501  arisum2  11507  expcnvre  11511  explecnv  11513  geoserap  11515  geolim  11519  geolim2  11520  geoisum  11525  geoisumr  11526  mertenslemub  11542  mertenslemi1  11543  mertenslem2  11544  mertensabs  11545  efcllemp  11666  ef0lem  11668  efval  11669  eff  11671  efcvg  11674  efcvgfsum  11675  reefcl  11676  ege2le3  11679  efcj  11681  eftlcvg  11695  eftlub  11698  effsumlt  11700  ef4p  11702  efgt1p2  11703  efgt1p  11704  eflegeo  11709  eirraplem  11784  alginv  12047  algcvg  12048  algcvga  12051  algfx  12052  eucalgcvga  12058  eucalg  12059  phiprmpw  12222  prmdiv  12235  pcfac  12348  ennnfonelemh  12405  ennnfonelemp1  12407  ennnfonelemom  12409  ennnfonelemkh  12413  ennnfonelemrn  12420  dveflem  14190  lgseisenlem1  14453