Theorem nn0uz 9630

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9345	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9331	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9597	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2217	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   class class class wbr 4030   ` cfv 5255   0cc0 7874   <_ cle 8057   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9633  2eluzge0  9643  eluznn0  9667  fseq1p1m1  10163  fz01or  10180  fznn0sub2  10197  nn0split  10205  fzossnn0  10245  frecfzennn  10500  frechashgf1o  10502  xnn0nnen  10511  exple1  10669  bcval5  10837  bcpasc  10840  hashcl  10855  hashfzo0  10897  zfz1isolemsplit  10912  binom1dif  11633  isumnn0nn  11639  arisum2  11645  expcnvre  11649  explecnv  11651  geoserap  11653  geolim  11657  geolim2  11658  geoisum  11663  geoisumr  11664  mertenslemub  11680  mertenslemi1  11681  mertenslem2  11682  mertensabs  11683  efcllemp  11804  ef0lem  11806  efval  11807  eff  11809  efcvg  11812  efcvgfsum  11813  reefcl  11814  ege2le3  11817  efcj  11819  eftlcvg  11833  eftlub  11836  effsumlt  11838  ef4p  11840  efgt1p2  11841  efgt1p  11842  eflegeo  11847  eirraplem  11923  nninfctlemfo  12180  alginv  12188  algcvg  12189  algcvga  12192  algfx  12193  eucalgcvga  12199  eucalg  12200  phiprmpw  12363  prmdiv  12376  pcfac  12491  ennnfonelemh  12564  ennnfonelemp1  12566  ennnfonelemom  12568  ennnfonelemkh  12572  ennnfonelemrn  12579  gsumwsubmcl  13071  gsumwmhm  13073  dveflem  14905  ply1termlem  14921  plyaddlem1  14926  plymullem1  14927  plycolemc  14936  dvply1  14943  lgseisenlem1  15227  lgsquadlem2  15235