Theorem nn0uz 9966

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9673	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9659	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9932	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   0cc0 8179   <_ cle 8361   NN0cn0 9567   ZZcz 9648   ZZ>=cuz 9930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931

This theorem is used by:  elnn0uz  9969  2eluzge0  9984  eluznn0  10008  fseq1p1m1  10511  fz01or  10528  fznn0sub2  10545  nn0split  10553  fzossnn0  10594  frecfzennn  10876  frechashgf1o  10878  xnn0nnen  10887  exple1  11045  bcval5  11215  bcpasc  11218  hashcl  11234  hashfzo0  11278  hashf1  11301  zfz1isolemsplit  11304  ccatval2  11380  ccatass  11390  ccatrn  11391  swrdccat2  11457  wrdeqs1cat  11506  cats1un  11507  cats1fvd  11552  binom1dif  12270  isumnn0nn  12276  arisum2  12282  expcnvre  12286  explecnv  12288  geoserap  12290  geolim  12294  geolim2  12295  geoisum  12300  geoisumr  12301  mertenslemub  12317  mertenslemi1  12318  mertenslem2  12319  mertensabs  12320  efcllemp  12441  ef0lem  12443  efval  12444  eff  12446  efcvg  12449  efcvgfsum  12450  reefcl  12451  ege2le3  12454  efcj  12456  eftlcvg  12470  eftlub  12473  effsumlt  12475  ef4p  12477  efgt1p2  12478  efgt1p  12479  eflegeo  12484  eirraplem  12560  bitsfzolem  12737  bitsfzo  12738  bitsfi  12740  bitsinv1lem  12744  bitsinv1  12745  nninfctlemfo  12833  alginv  12841  algcvg  12842  algcvga  12845  algfx  12846  eucalgcvga  12852  eucalg  12853  phiprmpw  13020  prmdiv  13033  pcfac  13149  ennnfonelemh  13344  ennnfonelemp1  13346  ennnfonelemom  13348  ennnfonelemkh  13352  ennnfonelemrn  13359  gzsumwsubmcl  13850  gzsumwmhm  13852  gsump1  14206  dveflem  15876  ply1termlem  15892  plyaddlem1  15897  plymullem1  15898  plycoeid3  15907  plycolemc  15908  dvply1  15915  log2tlbndlog2  16139  log2ublem2  16141  birthdaylem3  16146  0sgmppw  16188  1sgmprm  16189  lgseisenlem1  16287  lgsquadlem2  16295  clwwlknonex2lem1  16776  eupth2lemsfi  16817  depindlem1  16845