Theorem nn0uz 9769

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9482	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9468	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9735	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2253	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   0cc0 8010   <_ cle 8193   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9772  2eluzge0  9782  eluznn0  9806  fseq1p1m1  10302  fz01or  10319  fznn0sub2  10336  nn0split  10344  fzossnn0  10385  frecfzennn  10660  frechashgf1o  10662  xnn0nnen  10671  exple1  10829  bcval5  10997  bcpasc  11000  hashcl  11015  hashfzo0  11058  zfz1isolemsplit  11073  ccatval2  11146  ccatass  11156  ccatrn  11157  swrdccat2  11219  wrdeqs1cat  11268  cats1un  11269  cats1fvd  11314  binom1dif  12014  isumnn0nn  12020  arisum2  12026  expcnvre  12030  explecnv  12032  geoserap  12034  geolim  12038  geolim2  12039  geoisum  12044  geoisumr  12045  mertenslemub  12061  mertenslemi1  12062  mertenslem2  12063  mertensabs  12064  efcllemp  12185  ef0lem  12187  efval  12188  eff  12190  efcvg  12193  efcvgfsum  12194  reefcl  12195  ege2le3  12198  efcj  12200  eftlcvg  12214  eftlub  12217  effsumlt  12219  ef4p  12221  efgt1p2  12222  efgt1p  12223  eflegeo  12228  eirraplem  12304  bitsfzolem  12481  bitsfzo  12482  bitsfi  12484  bitsinv1lem  12488  bitsinv1  12489  nninfctlemfo  12577  alginv  12585  algcvg  12586  algcvga  12589  algfx  12590  eucalgcvga  12596  eucalg  12597  phiprmpw  12760  prmdiv  12773  pcfac  12889  ennnfonelemh  12991  ennnfonelemp1  12993  ennnfonelemom  12995  ennnfonelemkh  12999  ennnfonelemrn  13006  gsumwsubmcl  13545  gsumwmhm  13547  dveflem  15416  ply1termlem  15432  plyaddlem1  15437  plymullem1  15438  plycoeid3  15447  plycolemc  15448  dvply1  15455  0sgmppw  15683  1sgmprm  15684  lgseisenlem1  15765  lgsquadlem2  15773