Theorem nn0uz 9852

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9565	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9551	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9818	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2255	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   0cc0 8092   <_ cle 8274   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9855  2eluzge0  9870  eluznn0  9894  fseq1p1m1  10391  fz01or  10408  fznn0sub2  10425  nn0split  10433  fzossnn0  10474  frecfzennn  10751  frechashgf1o  10753  xnn0nnen  10762  exple1  10920  bcval5  11088  bcpasc  11091  hashcl  11106  hashfzo0  11150  zfz1isolemsplit  11165  ccatval2  11241  ccatass  11251  ccatrn  11252  swrdccat2  11318  wrdeqs1cat  11367  cats1un  11368  cats1fvd  11413  binom1dif  12128  isumnn0nn  12134  arisum2  12140  expcnvre  12144  explecnv  12146  geoserap  12148  geolim  12152  geolim2  12153  geoisum  12158  geoisumr  12159  mertenslemub  12175  mertenslemi1  12176  mertenslem2  12177  mertensabs  12178  efcllemp  12299  ef0lem  12301  efval  12302  eff  12304  efcvg  12307  efcvgfsum  12308  reefcl  12309  ege2le3  12312  efcj  12314  eftlcvg  12328  eftlub  12331  effsumlt  12333  ef4p  12335  efgt1p2  12336  efgt1p  12337  eflegeo  12342  eirraplem  12418  bitsfzolem  12595  bitsfzo  12596  bitsfi  12598  bitsinv1lem  12602  bitsinv1  12603  nninfctlemfo  12691  alginv  12699  algcvg  12700  algcvga  12703  algfx  12704  eucalgcvga  12710  eucalg  12711  phiprmpw  12874  prmdiv  12887  pcfac  13003  ennnfonelemh  13105  ennnfonelemp1  13107  ennnfonelemom  13109  ennnfonelemkh  13113  ennnfonelemrn  13120  gsumwsubmcl  13659  gsumwmhm  13661  dveflem  15537  ply1termlem  15553  plyaddlem1  15558  plymullem1  15559  plycoeid3  15568  plycolemc  15569  dvply1  15576  0sgmppw  15807  1sgmprm  15808  lgseisenlem1  15889  lgsquadlem2  15897  clwwlknonex2lem1  16378  eupth2lemsfi  16419  depindlem1  16447  gfsump1  16815