Theorem nn0uz 9793

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9506	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9492	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9759	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2254	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2201   {crab 2513   class class class wbr 4087   ` cfv 5325   0cc0 8034   <_ cle 8217   NN0cn0 9404   ZZcz 9481   ZZ>=cuz 9757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-inn 9146  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9796  2eluzge0  9811  eluznn0  9835  fseq1p1m1  10331  fz01or  10348  fznn0sub2  10365  nn0split  10373  fzossnn0  10414  frecfzennn  10691  frechashgf1o  10693  xnn0nnen  10702  exple1  10860  bcval5  11028  bcpasc  11031  hashcl  11046  hashfzo0  11090  zfz1isolemsplit  11105  ccatval2  11181  ccatass  11191  ccatrn  11192  swrdccat2  11258  wrdeqs1cat  11307  cats1un  11308  cats1fvd  11353  binom1dif  12068  isumnn0nn  12074  arisum2  12080  expcnvre  12084  explecnv  12086  geoserap  12088  geolim  12092  geolim2  12093  geoisum  12098  geoisumr  12099  mertenslemub  12115  mertenslemi1  12116  mertenslem2  12117  mertensabs  12118  efcllemp  12239  ef0lem  12241  efval  12242  eff  12244  efcvg  12247  efcvgfsum  12248  reefcl  12249  ege2le3  12252  efcj  12254  eftlcvg  12268  eftlub  12271  effsumlt  12273  ef4p  12275  efgt1p2  12276  efgt1p  12277  eflegeo  12282  eirraplem  12358  bitsfzolem  12535  bitsfzo  12536  bitsfi  12538  bitsinv1lem  12542  bitsinv1  12543  nninfctlemfo  12631  alginv  12639  algcvg  12640  algcvga  12643  algfx  12644  eucalgcvga  12650  eucalg  12651  phiprmpw  12814  prmdiv  12827  pcfac  12943  ennnfonelemh  13045  ennnfonelemp1  13047  ennnfonelemom  13049  ennnfonelemkh  13053  ennnfonelemrn  13060  gsumwsubmcl  13599  gsumwmhm  13601  dveflem  15476  ply1termlem  15492  plyaddlem1  15497  plymullem1  15498  plycoeid3  15507  plycolemc  15508  dvply1  15515  0sgmppw  15743  1sgmprm  15744  lgseisenlem1  15825  lgsquadlem2  15833  clwwlknonex2lem1  16314  eupth2lemsfi  16355  depindlem1  16383  gfsump1  16749