Theorem nn0uz 9575

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9291	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9277	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9543	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2211	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1363   e. wcel 2158   {crab 2469   class class class wbr 4015   ` cfv 5228   0cc0 7824   <_ cle 8006   NN0cn0 9189   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9578  2eluzge0  9588  eluznn0  9612  fseq1p1m1  10107  fz01or  10124  fznn0sub2  10141  nn0split  10149  fzossnn0  10188  frecfzennn  10439  frechashgf1o  10441  exple1  10589  bcval5  10756  bcpasc  10759  hashcl  10774  hashfzo0  10816  zfz1isolemsplit  10831  binom1dif  11508  isumnn0nn  11514  arisum2  11520  expcnvre  11524  explecnv  11526  geoserap  11528  geolim  11532  geolim2  11533  geoisum  11538  geoisumr  11539  mertenslemub  11555  mertenslemi1  11556  mertenslem2  11557  mertensabs  11558  efcllemp  11679  ef0lem  11681  efval  11682  eff  11684  efcvg  11687  efcvgfsum  11688  reefcl  11689  ege2le3  11692  efcj  11694  eftlcvg  11708  eftlub  11711  effsumlt  11713  ef4p  11715  efgt1p2  11716  efgt1p  11717  eflegeo  11722  eirraplem  11797  alginv  12060  algcvg  12061  algcvga  12064  algfx  12065  eucalgcvga  12071  eucalg  12072  phiprmpw  12235  prmdiv  12248  pcfac  12361  ennnfonelemh  12418  ennnfonelemp1  12420  ennnfonelemom  12422  ennnfonelemkh  12426  ennnfonelemrn  12433  dveflem  14458  lgseisenlem1  14721