Theorem nn0uz 9685

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9399	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9385	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9652	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2229	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   class class class wbr 4045   ` cfv 5272   0cc0 7927   <_ cle 8110   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9688  2eluzge0  9698  eluznn0  9722  fseq1p1m1  10218  fz01or  10235  fznn0sub2  10252  nn0split  10260  fzossnn0  10301  frecfzennn  10573  frechashgf1o  10575  xnn0nnen  10584  exple1  10742  bcval5  10910  bcpasc  10913  hashcl  10928  hashfzo0  10970  zfz1isolemsplit  10985  ccatval2  11057  ccatass  11067  ccatrn  11068  swrdccat2  11127  binom1dif  11831  isumnn0nn  11837  arisum2  11843  expcnvre  11847  explecnv  11849  geoserap  11851  geolim  11855  geolim2  11856  geoisum  11861  geoisumr  11862  mertenslemub  11878  mertenslemi1  11879  mertenslem2  11880  mertensabs  11881  efcllemp  12002  ef0lem  12004  efval  12005  eff  12007  efcvg  12010  efcvgfsum  12011  reefcl  12012  ege2le3  12015  efcj  12017  eftlcvg  12031  eftlub  12034  effsumlt  12036  ef4p  12038  efgt1p2  12039  efgt1p  12040  eflegeo  12045  eirraplem  12121  bitsfzolem  12298  bitsfzo  12299  bitsfi  12301  bitsinv1lem  12305  bitsinv1  12306  nninfctlemfo  12394  alginv  12402  algcvg  12403  algcvga  12406  algfx  12407  eucalgcvga  12413  eucalg  12414  phiprmpw  12577  prmdiv  12590  pcfac  12706  ennnfonelemh  12808  ennnfonelemp1  12810  ennnfonelemom  12812  ennnfonelemkh  12816  ennnfonelemrn  12823  gsumwsubmcl  13361  gsumwmhm  13363  dveflem  15231  ply1termlem  15247  plyaddlem1  15252  plymullem1  15253  plycoeid3  15262  plycolemc  15263  dvply1  15270  0sgmppw  15498  1sgmprm  15499  lgseisenlem1  15580  lgsquadlem2  15588