Theorem xpsspw 4771

Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpsspw	|- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Proof of Theorem xpsspw

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4675	. . . 4 |- ( z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
2		vex 2763	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2763	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	dfop 3803	. . . . . . 7 |- <. x , y >. = { { x } , { x , y } }
5		snssi 3762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
6		ssun3 3324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x } C_ A -> { x } C_ ( A u. B ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> { x } C_ ( A u. B ) )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x } C_ ( A u. B ) )
9		sseq1 3202	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { x } -> ( z C_ ( A u. B ) <-> { x } C_ ( A u. B ) ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = { x } -> z C_ ( A u. B ) ) )
11		df-pr 3625	. . . . . . . . . . . 12 |- { x , y } = ( { x } u. { y } )
12		snssi 3762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. B -> { y } C_ B )
13		ssun4 3325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y } C_ B -> { y } C_ ( A u. B ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> { y } C_ ( A u. B ) )
15	7, 14	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) )
16		unss 3333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) <-> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
18	11, 17	eqsstrid 3225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } C_ ( A u. B ) )
19		sseq1 3202	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { x , y } -> ( z C_ ( A u. B ) <-> { x , y } C_ ( A u. B ) ) )
20	18, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = { x , y } -> z C_ ( A u. B ) ) )
21	10, 20	jaod 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z = { x } \/ z = { x , y } ) -> z C_ ( A u. B ) ) )
22		vex 2763	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
23	22	elpr 3639	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { { x } , { x , y } } <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
24	22	elpw 3607	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P ( A u. B ) <-> z C_ ( A u. B ) )
25	21, 23, 24	3imtr4g 205	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z e. { { x } , { x , y } } -> z e. ~P ( A u. B ) ) )
26	25	ssrdv 3185	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { { x } , { x , y } } C_ ~P ( A u. B ) )
27	4, 26	eqsstrid 3225	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) )
28		sseq1 3202	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z C_ ~P ( A u. B ) <-> <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) ) )
29	28	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( z = <. x , y >. /\ <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
30	27, 29	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
31	30	exlimivv 1908	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
32	1, 31	syl 14	. . 3 |- ( z e. ( A X. B ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
33	22	elpw 3607	. . 3 |- ( z e. ~P ~P ( A u. B ) <-> z C_ ~P ( A u. B ) )
34	32, 33	sylibr 134	. 2 |- ( z e. ( A X. B ) -> z e. ~P ~P ( A u. B ) )
35	34	ssriv 3183	1 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   u. cun 3151   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   {csn 3618   {cpr 3619   <.cop 3621   X. cxp 4657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091  df-xp 4665

This theorem is referenced by:  unixpss  4772  xpexg  4773