Theorem xpsspw 4864

Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpsspw	|- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Proof of Theorem xpsspw

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4767	. . . 4 |- ( z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
2		vex 2818	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2818	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	dfop 3884	. . . . . . 7 |- <. x , y >. = { { x } , { x , y } }
5		snssi 3840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
6		ssun3 3386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x } C_ A -> { x } C_ ( A u. B ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> { x } C_ ( A u. B ) )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x } C_ ( A u. B ) )
9		sseq1 3263	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { x } -> ( z C_ ( A u. B ) <-> { x } C_ ( A u. B ) ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = { x } -> z C_ ( A u. B ) ) )
11		df-pr 3698	. . . . . . . . . . . 12 |- { x , y } = ( { x } u. { y } )
12		snssi 3840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. B -> { y } C_ B )
13		ssun4 3387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y } C_ B -> { y } C_ ( A u. B ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> { y } C_ ( A u. B ) )
15	7, 14	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) )
16		unss 3395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) <-> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
18	11, 17	eqsstrid 3286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } C_ ( A u. B ) )
19		sseq1 3263	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { x , y } -> ( z C_ ( A u. B ) <-> { x , y } C_ ( A u. B ) ) )
20	18, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = { x , y } -> z C_ ( A u. B ) ) )
21	10, 20	jaod 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z = { x } \/ z = { x , y } ) -> z C_ ( A u. B ) ) )
22		vex 2818	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
23	22	elpr 3712	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { { x } , { x , y } } <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
24	22	elpw 3677	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P ( A u. B ) <-> z C_ ( A u. B ) )
25	21, 23, 24	3imtr4g 205	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z e. { { x } , { x , y } } -> z e. ~P ( A u. B ) ) )
26	25	ssrdv 3246	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { { x } , { x , y } } C_ ~P ( A u. B ) )
27	4, 26	eqsstrid 3286	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) )
28		sseq1 3263	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z C_ ~P ( A u. B ) <-> <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) ) )
29	28	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( z = <. x , y >. /\ <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
30	27, 29	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
31	30	exlimivv 1948	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
32	1, 31	syl 14	. . 3 |- ( z e. ( A X. B ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
33	22	elpw 3677	. . 3 |- ( z e. ~P ~P ( A u. B ) <-> z C_ ~P ( A u. B ) )
34	32, 33	sylibr 134	. 2 |- ( z e. ( A X. B ) -> z e. ~P ~P ( A u. B ) )
35	34	ssriv 3244	1 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   u. cun 3211   C_ wss 3213   ~Pcpw 3671   {csn 3691   {cpr 3692   <.cop 3694   X. cxp 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-opab 4174  df-xp 4757

This theorem is referenced by:  unixpss  4865  xpexg  4866