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Theorem xpsspw 4538
Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpsspw  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )

Proof of Theorem xpsspw
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4444 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  ->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
2 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3dfop 3616 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  =  { { x } ,  { x ,  y } }
5 snssi 3576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  A )
6 ssun3 3163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x }  C_  A  ->  { x }  C_  ( A  u.  B
) )
75, 6syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  ( A  u.  B ) )
87adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x }  C_  ( A  u.  B
) )
9 sseq1 3045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { x }  ->  ( z  C_  ( A  u.  B )  <->  { x }  C_  ( A  u.  B )
) )
108, 9syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  =  {
x }  ->  z  C_  ( A  u.  B
) ) )
11 df-pr 3448 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
12 snssi 3576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  C_  B )
13 ssun4 3164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { y }  C_  B  ->  { y }  C_  ( A  u.  B
) )
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  C_  ( A  u.  B ) )
157, 14anim12i 331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { x }  C_  ( A  u.  B
)  /\  { y }  C_  ( A  u.  B ) ) )
16 unss 3172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x }  C_  ( A  u.  B
)  /\  { y }  C_  ( A  u.  B ) )  <->  ( {
x }  u.  {
y } )  C_  ( A  u.  B
) )
1715, 16sylib 120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { x }  u.  { y } ) 
C_  ( A  u.  B ) )
1811, 17syl5eqss 3068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  C_  ( A  u.  B ) )
19 sseq1 3045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { x ,  y }  ->  (
z  C_  ( A  u.  B )  <->  { x ,  y }  C_  ( A  u.  B
) ) )
2018, 19syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  =  {
x ,  y }  ->  z  C_  ( A  u.  B )
) )
2110, 20jaod 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  =  { x }  \/  z  =  { x ,  y } )  ->  z  C_  ( A  u.  B )
) )
22 vex 2622 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
2322elpr 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { { x } ,  { x ,  y } }  <->  ( z  =  { x }  \/  z  =  { x ,  y } ) )
2422elpw 3431 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P ( A  u.  B )  <->  z  C_  ( A  u.  B
) )
2521, 23, 243imtr4g 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  { { x } ,  { x ,  y } }  ->  z  e.  ~P ( A  u.  B ) ) )
2625ssrdv 3029 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { { x } ,  { x ,  y } }  C_  ~P ( A  u.  B
) )
274, 26syl5eqss 3068 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  -> 
<. x ,  y >.  C_ 
~P ( A  u.  B ) )
28 sseq1 3045 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  C_  ~P ( A  u.  B
)  <->  <. x ,  y
>.  C_  ~P ( A  u.  B ) ) )
2928biimpar 291 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  C_  ~P ( A  u.  B
) )  ->  z  C_ 
~P ( A  u.  B ) )
3027, 29sylan2 280 . . . . 5  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  z  C_  ~P ( A  u.  B
) )
3130exlimivv 1824 . . . 4  |-  ( E. x E. y ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  z  C_  ~P ( A  u.  B
) )
321, 31syl 14 . . 3  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  ->  z  C_ 
~P ( A  u.  B ) )
3322elpw 3431 . . 3  |-  ( z  e.  ~P ~P ( A  u.  B )  <->  z 
C_  ~P ( A  u.  B ) )
3432, 33sylibr 132 . 2  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  ->  z  e.  ~P ~P ( A  u.  B ) )
3534ssriv 3027 1  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438    u. cun 2995    C_ wss 2997   ~Pcpw 3425   {csn 3441   {cpr 3442   <.cop 3444    X. cxp 4426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-opab 3892  df-xp 4434
This theorem is referenced by:  unixpss  4539  xpexg  4540
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