Theorem xpsspw 4738

Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpsspw	|- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Proof of Theorem xpsspw

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4642	. . . 4 |- ( z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
2		vex 2740	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2740	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	dfop 3777	. . . . . . 7 |- <. x , y >. = { { x } , { x , y } }
5		snssi 3736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
6		ssun3 3300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x } C_ A -> { x } C_ ( A u. B ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> { x } C_ ( A u. B ) )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x } C_ ( A u. B ) )
9		sseq1 3178	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { x } -> ( z C_ ( A u. B ) <-> { x } C_ ( A u. B ) ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = { x } -> z C_ ( A u. B ) ) )
11		df-pr 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- { x , y } = ( { x } u. { y } )
12		snssi 3736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. B -> { y } C_ B )
13		ssun4 3301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y } C_ B -> { y } C_ ( A u. B ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> { y } C_ ( A u. B ) )
15	7, 14	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) )
16		unss 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) <-> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
18	11, 17	eqsstrid 3201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } C_ ( A u. B ) )
19		sseq1 3178	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { x , y } -> ( z C_ ( A u. B ) <-> { x , y } C_ ( A u. B ) ) )
20	18, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = { x , y } -> z C_ ( A u. B ) ) )
21	10, 20	jaod 717	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z = { x } \/ z = { x , y } ) -> z C_ ( A u. B ) ) )
22		vex 2740	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
23	22	elpr 3613	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { { x } , { x , y } } <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
24	22	elpw 3581	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P ( A u. B ) <-> z C_ ( A u. B ) )
25	21, 23, 24	3imtr4g 205	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z e. { { x } , { x , y } } -> z e. ~P ( A u. B ) ) )
26	25	ssrdv 3161	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { { x } , { x , y } } C_ ~P ( A u. B ) )
27	4, 26	eqsstrid 3201	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) )
28		sseq1 3178	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z C_ ~P ( A u. B ) <-> <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) ) )
29	28	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( z = <. x , y >. /\ <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
30	27, 29	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
31	30	exlimivv 1896	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
32	1, 31	syl 14	. . 3 |- ( z e. ( A X. B ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
33	22	elpw 3581	. . 3 |- ( z e. ~P ~P ( A u. B ) <-> z C_ ~P ( A u. B ) )
34	32, 33	sylibr 134	. 2 |- ( z e. ( A X. B ) -> z e. ~P ~P ( A u. B ) )
35	34	ssriv 3159	1 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   u. cun 3127   C_ wss 3129   ~Pcpw 3575   {csn 3592   {cpr 3593   <.cop 3595   X. cxp 4624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-opab 4065  df-xp 4632

This theorem is referenced by:  unixpss  4739  xpexg  4740