Theorem xpsspw 4691

Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpsspw	|- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Proof of Theorem xpsspw

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4595	. . . 4 |- ( z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
2		vex 2712	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2712	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	dfop 3736	. . . . . . 7 |- <. x , y >. = { { x } , { x , y } }
5		snssi 3696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
6		ssun3 3268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x } C_ A -> { x } C_ ( A u. B ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> { x } C_ ( A u. B ) )
8	7	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x } C_ ( A u. B ) )
9		sseq1 3147	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { x } -> ( z C_ ( A u. B ) <-> { x } C_ ( A u. B ) ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = { x } -> z C_ ( A u. B ) ) )
11		df-pr 3563	. . . . . . . . . . . 12 |- { x , y } = ( { x } u. { y } )
12		snssi 3696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. B -> { y } C_ B )
13		ssun4 3269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y } C_ B -> { y } C_ ( A u. B ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> { y } C_ ( A u. B ) )
15	7, 14	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) )
16		unss 3277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) <-> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
17	15, 16	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
18	11, 17	eqsstrid 3170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } C_ ( A u. B ) )
19		sseq1 3147	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { x , y } -> ( z C_ ( A u. B ) <-> { x , y } C_ ( A u. B ) ) )
20	18, 19	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = { x , y } -> z C_ ( A u. B ) ) )
21	10, 20	jaod 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z = { x } \/ z = { x , y } ) -> z C_ ( A u. B ) ) )
22		vex 2712	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
23	22	elpr 3577	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { { x } , { x , y } } <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
24	22	elpw 3545	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P ( A u. B ) <-> z C_ ( A u. B ) )
25	21, 23, 24	3imtr4g 204	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z e. { { x } , { x , y } } -> z e. ~P ( A u. B ) ) )
26	25	ssrdv 3130	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { { x } , { x , y } } C_ ~P ( A u. B ) )
27	4, 26	eqsstrid 3170	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) )
28		sseq1 3147	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z C_ ~P ( A u. B ) <-> <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) ) )
29	28	biimpar 295	. . . . . 6 |- ( ( z = <. x , y >. /\ <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
30	27, 29	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
31	30	exlimivv 1873	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
32	1, 31	syl 14	. . 3 |- ( z e. ( A X. B ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
33	22	elpw 3545	. . 3 |- ( z e. ~P ~P ( A u. B ) <-> z C_ ~P ( A u. B ) )
34	32, 33	sylibr 133	. 2 |- ( z e. ( A X. B ) -> z e. ~P ~P ( A u. B ) )
35	34	ssriv 3128	1 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Syntax hints:   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 2125   u. cun 3096   C_ wss 3098   ~Pcpw 3539   {csn 3556   {cpr 3557   <.cop 3559   X. cxp 4577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-ext 2136

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-opab 4022  df-xp 4585

This theorem is referenced by:  unixpss  4692  xpexg  4693