Theorem zletr 9265

Description: Transitive law of ordering for integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zletr	|- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( J <_ K /\ K <_ L ) -> J <_ L ) )

Proof of Theorem zletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9220	. 2 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
2		zre 9220	. 2 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
3		zre 9220	. 2 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
4		letr 8006	. 2 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( J <_ K /\ K <_ L ) -> J <_ L ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1276	1 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( J <_ K /\ K <_ L ) -> J <_ L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 974   e. wcel 2142   class class class wbr 3990   RRcr 7777   <_ cle 7959   ZZcz 9216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-pre-ltwlin 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-br 3991  df-opab 4052  df-xp 4618  df-cnv 4620  df-iota 5162  df-fv 5208  df-ov 5860  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-neg 8097  df-z 9217

This theorem is referenced by:  uztrn  9507  uzss  9511  elfz0ubfz0  10085