Theorem zletr 9648

Description: Transitive law of ordering for integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zletr	|- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( J <_ K /\ K <_ L ) -> J <_ L ) )

Proof of Theorem zletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9602	. 2 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
2		zre 9602	. 2 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
3		zre 9602	. 2 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
4		letr 8373	. 2 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( J <_ K /\ K <_ L ) -> J <_ L ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1316	1 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( J <_ K /\ K <_ L ) -> J <_ L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4115   RRcr 8143   <_ cle 8326   ZZcz 9598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-pre-ltwlin 8257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-xp 4761  df-cnv 4763  df-iota 5318  df-fv 5366  df-ov 6062  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-neg 8465  df-z 9599

This theorem is referenced by:  uztrn  9893  uzss  9897  elfz0ubfz0  10485