ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zletr Unicode version

Theorem zletr 9319
Description: Transitive law of ordering for integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
zletr  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( J  <_  K  /\  K  <_  L )  ->  J  <_  L
) )

Proof of Theorem zletr
StepHypRef Expression
1 zre 9274 . 2  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
2 zre 9274 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
3 zre 9274 . 2  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
4 letr 8057 . 2  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( J  <_  K  /\  K  <_  L )  ->  J  <_  L
) )
51, 2, 3, 4syl3an 1290 1  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( J  <_  K  /\  K  <_  L )  ->  J  <_  L
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 979    e. wcel 2159   class class class wbr 4017   RRcr 7827    <_ cle 8010   ZZcz 9270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-pre-ltwlin 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-xp 4646  df-cnv 4648  df-iota 5192  df-fv 5238  df-ov 5893  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-neg 8148  df-z 9271
This theorem is referenced by:  uztrn  9561  uzss  9565  elfz0ubfz0  10142
  Copyright terms: Public domain W3C validator